ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 436, № 6, с. 731-732
МАТЕМАТИКА
УДК 519.984
спектральный анализ одного класса
разностных операторов шредингера © 2011 г. Аг. Х. Ханмамедов, Г. М. Масмалиев
Представлено академиком В.А. Ильиным 20.09.2010 г. Поступило 19.10.2010 г.
В работах [1, 2] на основании теоремы Реллиха (см., например, [3]) получены достаточные условия дискретности спектра полуограниченного снизу разностного оператора Шредингера. С другой стороны, в [2] изучена обратная задача по двум спектрам такого оператора. В последней задаче для получения некоторых оценок существенно используется полуограниченность разностного оператора Шредингера.
Пусть /2 [0,да) — гильбертово пространство по-
следовательностей у = {уп}", таких что ^ |уп
< да.
п=0
Бакинский государственный университет, Азербайджан
Институт математики и механики Национальной академии наук Азербайджана, Баку
задачи можно избавиться от некоторых установленных в [5] условий.
1. На основании установленной в [6, 7] связи между разностными операторами Шредингера и Дирака доказывается
Те о р е м а 1. Пусть ап ^ да при п ^ да и оператор Ь самосопряжен. Тогда спектр оператора Ь чисто дискретен, если выполняется одно из следующих условий:
Через Ь обозначим минимальный замкнутый оператор, порожденный в í2 [0,да) разностным выражением
(¿У) п = ап-1Уп-1 + апУп+1, ап > 0, п > 0,
и граничным условием у_1 = 0. Будем предполагать оператор Ь неограниченным и самосопряженным. Достаточное условие самосопряженности оператора Ь дает теорема Карлемана (см., например, [4]).
Заметим, что найденные в [1, 2] условия не позволяют исследовать вопрос дискретности спектра оператора Ь. Более того, оператор Ь не может быть ограниченным снизу, поскольку его спектр симметричен относительно точки X = 0 (см., например, [4]).
В настоящем сообщении указаны достаточные условия дискретности спектра оператора Ь. Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости обратной задачи по двум спектрам разностного уравнения Ьу = Ху. Отметим, что последний вопрос для разностного уравнения Шредингера более общего вида рассмотрен также в [5]. Однако полученные нами результаты показывают, что при решении обратной
1) Нш ,
[а2п+1
а2п
а
2п+2 [ _ а2п+1
= Я+ < 1,
2) Цш
а
2п+2
п^са [а2п+1 "2п+и
Первый случай характеризуется тем, что число 0 является собственным значением оператора Ь, второй — что это число не является его собственным значением.
Следует отметить, что при нарушении условий (1), (2) утверждение теоремы 1, вообще говоря, перестает быть справедливым. Так, например, для опера-
= я > 1.
(1)
(2)
тора Ь с коэффициентом ап =
п +1 2
, п = 0, 1, ..., мы
имеем я + = я - = 1. Однако такой оператор, как показано в [8], имеет непрерывный спектр, заполняющий всю действительную ось. С другой стороны,
для ап = па (1 + —), где а > 1 и сп+2 = сп, оператор Ь
имеет [9] при |с1 -с2| > а -1 чисто дискретный спектр.
2. Рассмотрим якобиеву матрицу
(0 а0
/ =
а0 0 а 0 а.
0 0 1 0 0 а
2 ■
Введем также первую укороченную матрицу У1 (по отношению к матрице У), полученную путем вычеркивания первой строки и первого столбца матрицы У. Обозначим через Ь1 минимальный замкнутый оператор, порожденный с помощью
зо
2
732
ХАНМАМЕДОВ, МАСМАЛИЕВ
матрицы 11 в £ 2. Спектры операторов Ь и Ь1 будем называть двумя спектрами уравнения Ьу = Ху.
Для определенности примем, что число Х = 0 не является собственным значением оператора Ь.
Пусть {±Хп}", где 0 < X0 < X < ..., спектр оператора Ь. Тогда спектр оператора Ь1 имеет вид (±ц п}", где ц0 = 0, причем числа цп и Хп перемежаются. Обозначим через ап квадрат нормы собственного вектора оператора Ь, соответствующего собственному значению Хп (симметричным собственным значениям соответствуют равные нормировочные числа ап). Тогда [2] спектральная функция р(Х) оператора Ь имеет вид
р(Х) = X а-1.
±х„<х
п>1
2
М- п
С помощью последней оценки выводятся формулы
ад 2 2
а= 2 П jFff•
2 к=1 X о - X k
2 2 ^ 2 2 а-1 = 1 hf-bi П п = 1,2,...
п TI 2 л 2 X ± ч 2 л 2
2 X п - X 0 кФп Xп - X к
(4)
Xп ^ да, цп ^ да при п ^ да). Для того чтобы эти последовательности были двумя спектрами некоторого уравнения Ьу = Ху, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) числа цп и Хп перемежаются, т.е.
Ц0 < Х0 < И < '1 < И2 < '2 < ...;
2) имеет место оценка
I
п=1
X п - И п
X п
< да;
3) определенные формулами (4) величины an при
каждом m, ству
m = 0, 1, 2, ..., удовлетворяют неравен-
I
л 2m -
X п а п
< да.
Через Рп(Х) и 0п(Х) обозначим решения уравнения (£у)п = Хуп, п > 0, а-1 = 1 с условиями Р-1(Х) = = б0(Х) = 0, Р0(Х) = 1, Й(Х) = а-1. Оказывается, что положительные корни многочленов Р2п(Х) и Р2п+2(Х) (или 02п(Х) и 02п+2(Х)) перемежаются. Пользуясь последним фактом, как и в [2], получаем оценку
Л 2 2
X К-^п <да.
п=1
Согласно (3), (4) задание спектров (±Х п} " и (±ц п} " полностью определяет спектральную функцию р(Х) оператора Ь. Используя предложенный в [4] метод решения обратной задачи по спектральной мере dp(Х) получаем следующее утверждение.
Теорем а 2. Пусть заданы две последовательности вещественных чисел {±Хп}", (±цп} (ц0 = 0,
Замечание. В случае, когда число X = 0 служит собственным значением оператора L, условие 1) теоремы 2 следует заменить условием
0 = Х0 < ц0 < < < ...
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.
2. Гусейнов Г.Ш. // Мат. заметки. 1978. Т. 23. № 5. С. 709-719.
3. Молчанов А.М. // Тр. МО. 1953. Т. 2. С. 169-200.
4. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук. думка, 1965.
5. Silva L.O., Weder R. // Math. Phys., Anal., Geom., 2006. V 9. № 3. P. 263-290.
6. Ханмамедов Аг.Х. // Мат. сб. 2005. Т. 196. № 10. С. 137-160.
7. Ханмамедов Аг.Х. // Д АН. 2009. Т. 409. № 4. С. 451454.
8. Березанский Ю.М. // Укр. мат. журн. 1985. Т. 37. № 3. С. 352-355.
9. Лиус Октавио С.П. Асимптотические методы спектрального анализа эрмитовых матриц Якоби. Дис. канд. физ.-мат. наук. СПб.: СПб. гос. ун-т, 2003.
со
зо
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 436 № 6 2011
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.