ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2015, том 79, № 4, с. 549-555
УДК 539.171.12
СПИНОВАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ НУКЛОНОВ. ПРЕДЕЛЫ НИЗКИХ И ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР
© 2015 г. А. И. Серый
Учреждение образования Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина
E-mail: alexey_sery@mail.ru
Рассматривается проблема объяснения происхождения магнитных полей белых карликов с водородными оболочками и Сверхновых II типа через спиновую поляризацию нуклонов. Вопрос о ферромагнетизме электронно-нуклонной системы с контактным ядерным взаимодействием, зависящим от спина и изоспина, рассматривается при плотностях на 2 и более порядков ниже плотности ядерного насыщения при высоких и низких температурах через минимум плотности энергии при конечных степенях спиновой поляризации и через критерий Стонера. Показана важность учета обменной и корреляционной кулоновской энергии. Установлено, что возникновение спиновой поляризации энергетически выгодно при плотностях протонов и нейтронов порядка 1030—1031 см-3 и 1035—1036 см-3. Показано, что первая область плотностей существует благодаря обменной кулонов-ской энергии, влияние которой ослабляется корреляционной кулоновской энергией.
DOI: 10.7868/S0367676515040274
ВВЕДЕНИЕ
Проблема происхождения магнитных полей белых карликов с водородными оболочками и Сверхновых II типа представляет интерес для современной астрофизики. Для решения этой проблемы предлагаются различные модели [1—6], но при этом мало внимания уделяется подходу, связанному со спиновой поляризацией нуклонов, который широко применяется при плотностях порядка плотности ядерного насыщения для объяснения происхождения магнитных полей нейтронных звезд [7, 8].
В данной работе исследуется вырожденная и невырожденная электронно-нейтронно-протон-ная и электронно-протонная плазма. В невырожденном пределе при взрывах Сверхновых II типа в течение короткого времени существуют оба варианта плазмы [9], в расплавленных оболочках водородных белых карликов — только электронно-протонная плазма (в течение длительного времени). Особый интерес вызывает определение диапазонов плотностей протонов и нейтронов, в которых выполняется критерий ферромагнетизма Стонера в объектах исследования, а также магнитные поля, возникающие в результате спиновой поляризации нуклонов в объектах исследования. В дальнейшем рассмотрении этих проблем используются следующие приближения. Прене-брегается радиационным захватом нейтронов и бета-процессами в электронно-нуклонной плазме, так как в электронно-протонном веществе такой проблемы не существует, а при наличии нейтронов это допустимо при малом времени жизни системы. Далее, амплитуды нуклон-нуклонного
рассеяния в пределе крайнего вырождения приравниваются к соответствующим длинам рассеяния. Плотности обеих плазм считаются малыми по сравнению с плотностью ядерного насыщения, что позволяет использовать ферми-газовый подход, а обменную и корреляционную энергию учитывать лишь для кулоновского взаимодействия. С другой стороны, эти же плотности считаются достаточно большими для того, чтобы критерий Стонера не выполнялся для электронов (это позволяет не учитывать их энергию, так как она не меняется в отсутствие спиновой поляризации). Не учитываются эффекты сверхтекучести в нуклонной среде и квантование Ландау для электронов и протонов в предположении, что индукция возникающих магнитных полей значительно меньше швингеровских значений.
1. ПРЕДЕЛ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
1.1. Энергия при конечной поляризации в пределе низких температур
Энергию, связанную с магнитным полем, будем считать малой по сравнению с остальными составляющими. Электронно-нуклонную (в том числе электронно-протонную) систему будем рассматривать как идеальный ферми-газ. Тогда плотность полной энергии такой вырожденной системы будет включать плотность энергии идеального ферми-газа wp,w„ [10] с учетом ядерной мпис1 [11, 12], обменной ^ехск [10] и корреляционной ^согг энергии нуклонов, но без учета энергии покоя. В результате полную энергию системы можно считать функцией четырех аргументов — концентра-
ций протонов пр и нейтронов пп, а также соответствующих спиновых поляризаций р0р, р0п:
^пр (пр, пп,Рор,Роп) = X ^ + ™пиа + ™ехсИ + ™согг', (!)
i= p,n \2/3,2
3 (6п2) ^ ( 5/3 5/3 ) .
w¡ = ^-+ n- ), г = p, n;
10mt
w,
= 2 g^^- + gj (Пр+Пп+ + npn-) +
nucí
i = p,n
+glp (np+nn- + Пр-ПП;), ni± = n (1 ± Рог), n, + — ni - TT _ 2 j tÍ i \
, gnp = 2J npat, gnp = J np (at + as ),
ni
poí =
-nt-
Jj =
gii = Jiiai,
nh
*
m =
mj
щт.
m¡ + mj
w.
exch
)
V3
8n3
-(( + n?);
3mpc npa
wcorr = W0(F (X+ ) + F(X-)), wwo = ^^
(2)
2 2
a
ñc
X± =
nñ (6n2np±)
V3
4mpca
(5)
F (X) = J| ln
1 +
X
+ -
X
P (s) P (s)
^ ln fl + PO
P2 (s) l X
P2 (s )ds,
P (s) = 1 - s arctg I1),
(3)
(4)
где Т3г — проекции изоспинов нуклонов.
Выражение для wcoГI. несложно получить из
д
выражения для частной производной а—^согг,
да
которое приведено, например, в [13]. При этом длины рассеяния (в фм) равны [11]: а( = 5.42, а8 = = —23.7, ар = —17.83, ап = —17.2. При наличии электронного фона можно положить ар « ап = —17.2.
Дифференцируя (2—5) по п±, получим выражения для соответствующих химических потенциалов. Записывая равенства химических потенциалов нуклонов с противоположными проекциями спина, получим еще два уравнения:
2
e
о
п
eI¿ = E¿, i = n, p,
i (6n2nt±)У + + n + ti + /1 "--2m- giintT + g"p nj± + g"p njT + (2 + )Л±,
4r =
T3 j = -Ty,
(6)
w о X±
л±W Z F(X) 3n
p±
+1»
|P(s)ds - X± Iln 11 + P^
7 (6n2np±
V3
Если считать пр, пп параметрами с заданными значениями, система (6) может быть решена относительно р0 р0п. Нас прежде всего интересуют такие решения, для которых ^„р (пр,пп,р0р,р0п) < < ™пр (пр,пп,0,0). К примеру, при пр ~ 1030—1031 см-3 получаем р0р ~ 0.9, и это значение мало меняется
при пп ~ 1032—1035 см-3. При этом р0п--0.01 при
пп ~ 1032 см—3, р0п ~ —0.0001 при пп ~ 1035 см—3. Соответствующие зависимости представлены на рис. 1. Учитывая направления спинов и собственных магнитных моментов протонов и нейтронов, можно сделать вывод, что должна иметь место поляризация системы с преимущественной сона-правленностью собственных магнитных моментов протонной и нейтронной подсистем.
Индукция магнитного поля при спиновой поляризации дается формулой [14]:
В = (1 + 4пх) Н = = (х-1 + 4п) / ) 4п1 = я X пр'У 1. (7)
г=п, р
где I — намагниченность, х — магнитная воспри-вК
имчивость, ц Я =--ядерный магнетон, у =
2трс
= 2.793, у п = —1.913. С приведенными выше значениями п и«, р0р, Роп имеем В ~ 109 Гс.
7.2. Критерий Стонера в пределе низких температур
Будем искать критерий Стонера как условие понижения плотности энергии при спиновых флуктуациях. Для этого в формулах (2—5) положим р0р = р0п = 0, после чего рассмотрим их при
п п ~ -л,
--¡- и п± = — + 5п..л|, а затем определим раз- щение составляющей энергии идеального фер-
.. 'Л 1)
2 2 ность плотностей энергии:
= ^ + 5^1 + 5*£ск + Ь™рСог
(8)
,=п, р
В затравочном магнитном поле 5В смещение ядерной энергии определим согласно (3), а сме-
ми-газа запишем в форме, использованной, например, в [13] для одноатомного газа:
1 (8%)2 + (5%)2 = у (8% - 5%)2^
2v(v 4vn,■
у 8щ = у (п) + (8па) = у
2v о,
<=п,р ,=п,р
,п, Vоi = , = (3п2п, 2 Й; 2п Й
,=п,р ,=п, р
,= р,
5^пис1 = у £,,5%5% + ёпр (5ппП5прП + 5пп15пр1) + ёпр (5ппП5пр1 + 5пп15прП) = ,=п, р
= -1 у ёа (5пп - 5%)2 - 2яП (5п,п - 5%)' ё = -
(9)
(10)
где V0 : — плотности числа состояний нуклонов на л , - - , /1 , ^ Л ехск , . сотт\ ,,4
границе Ферми. * = 1 = + (^ + 73)(Дёех + ^рр )'(14)
Аналогично, ограничиваясь квадратичными слагаемыми по Ъпр^ - 8пр^, для флуктуации плотности обменной и корреляционной энергий протонов, исходя из (4), (5), получим
1 ехск 2пв"
Аёрр =
з^еХск=-
е2 (бп2)^3 Сп У/34 ( -5пр,)2 3 9п2 ;
8п
/
■ /
8^р =
сотт
сай
| Р (ж)ds -
2(3п2)2/3 пр3 о
\
( -8пр^ )2>
(11)
пЙ2О
1бшрп13 (3п2) 1
О =
■+Ю I-
Г [ш Г1 + Р^
1 I X ) Р (ж) + X]
ds, X = . (12)
4шрса
А СОТТ Аёрр =~
2саЙ
»13
р о
(3п 2 п
(3п2пр)
-го
| Р (ж )ds
пЙ 2О
1/3 /
4Шрп'р (3п )
При концентрациях, рассматриваемых в данной работе, интегралы в (12) сходятся.
Определим зависимость в (8) только от Ъпр^, Ьпр±. Для этого достаточно получить связь между Ъпр^ и 5пи|, используя соотношение
5пл = -5п , = р, п. (13)
В формулах (6) положим р0р = р0п = 0, после че-
п,- п,- <-.
го рассмотрим их при п± и п,± = + выполняя разложения до первых степеней 5п^ включительно и учитывая (13). В результате получаем в пределе 5 В = 0:
vоigЬnj'[ .
8п,т = —, ■ = п, р; Tзj = -Ту, к,
Подставляя (14) в (9), (10) приходим к выводу, что условие < 0 в (8) эквивалентно условию
VоpVопё2 р^п > 0. (15)
Для электронов критерий Стонера получается из (15) при пп = 0, ёрр = 0 путем замены массы
\Р0п\ 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
0.2
0.4
0.6
0.8 1.0 и„, 1030 см-3
Рис. 1. Зависимость р0п от пп при заданных значениях пр в пределе низких температур: Л — пр = 7 • 1030 см-3, Р0р « 0.945; □ — пр = 2 • 1031 см-3, р0р « 0.903.
0
Рис. 2. Критерий Стонера в пределе низких температур при пр ~ 1030—1031 см—3 : Л — с учетом ядерной и обменной кулоновской энергии; □ — с учетом ядерной, обменной кулоновской и корреляционной кулоновской энергии (область ферромагнетизма в каждом случае расположена выше соответствующей кривой).
1ё(«и, см 3) 37.0
36.5 ^ \
36.0 : 35.5
35 0 ................................
35.0 35.5 36.0 36.5
1ё(«р, см—3)
Рис. 3. То же, что и на рис. 2, при пр ~ 1035—1036 см—3: Л — с учетом только ядерной энергии; □ — с учетом ядерной, обменной и корреляционной кулоновских энергий.
протона тр на массу электрона те. Без учета кор-
реляционной энергии получаем
2 2 е те
2п%4
V0е > 0.
(16)
Численно это дает пе < 7.35 • 1021 см—3, что сравнимо с концентрациями свободных электронов в ферромагнетиках, но гораздо меньше концентраций, рассматриваемых в данной работе. При учете еще и корреляционной энергии критерий только ужесточится, т.е. пренебрежение ферромагнетизмом эле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.