ЖЭТФ, 2012, том 142, вып. 2 (8), стр. 279 281 © 2012
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В УЛЬТРАХОЛОДНЫХ ГАЗАХ С ОБМЕННЫМ И СПИН-ОРБИТАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
Т. Л. Андреева, П. Л. Рубин*
Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии паук 119991, Москва, Россия
Поступила в редакцию 31 января 2012 г.
Исследована динамика спиновых волн в ультрахолодных газах с учетом обменного и спин-орбитального взаимодействий. Используется точный базис атомных состояний с учетом всех вращательных квантовых чисел атома. В гидродинамическом приближении получен закон дисперсии спиновых волн для фермио-нов и бозонов.
Холодные и ультрахолодныо газы продолжают оставаться актуальным объектом теоретических и экспериментальных исследований (см., например, работу [1] и ссылки в ней). Появились работы, в которых исследуются атомы не только в 5-состоянии, но и в Р-состоянии (с ненулевым орбитальным моментом). В работе [2] исследуются атомы индия, галлия , йода In (2 Pi/.2), Ga (2 Pi /2) Л (2 Pi /2) и ряд других. Оказалось, что столкновительная зеемановская релаксация атомов Ga(2Pi/2) и In(2Pi/2) в холодном газе 4Не очень сильно (па много порядков) отличается от соответствующих величии в состоянии 2Рз/2-
В работе [3] получен интересный результат: показано, что ультрахолодный нейтральный газ может вести себя как «не нейтральная плазма» благодаря существованию эффективного электрического заряда, связанного с нейтральными атомами. В результате нейтральные атомы отталкиваются друг от друга так, словно они заряжены. В работе Нату и Мюллера [4] рассматриваются особенности спиновых волн в бозе-газах со спином 1.
Отметим, что по-прежнему не уделяется должного внимания микроскопической структуре квантового больцмановского интеграла столкновений с учетом всех внутренних степеней свободы атома (спин, орбитальный момент и др., см., например, [5, 7]). Последовательное вычисление квантового интеграла столкновений, основанное на цепочке уравнений Боголюбова (с использованием квантовой амплитуды рассеяния или Т-матрицы), позволяет построить теорию спиновых волн в холодных газах без введения
E-mail: rubin'fflsci.lebedev.ru
феноменологических добавок в кинетическое уравнение. Именно такой метод использовался в наших работах по исследованию спиновых волн в холодных парамагнитных газах с атомами в ¿'-состояниях [8].
В нашей предыдущей работе исследовалось влияние спин-орбитального взаимодействия в Р-состоянии на распространение спиновых волн в магнитных ловушках. При этом использовалась упрощенная схема Ь5-взаимодействия, которая может быть использована только для легких атомов. В настоящей работе упрощение снимается и используется точный базис атомных состояний с учетом полного момента .7 = Ь + 5. При этом используются ./-символы Вигиера [9]. Кроме того будет учитываться обменное взаимодействие, которое не рассматривалось в нашей предыдущей работе, посвященной атомам с ненулевым орбитальным моментом [10].
Матрицу рассеяния сталкивающихся атомов (1 и 2) с учетом спин-орбитального взаимодействия можно записать в операторном виде следующим образом:
Г = * + ОД52 + К (Р25'1 + ¿152) . (1)
Первых два слагаемых здесь учитывают обменное взаимодействие частиц, а последнее слагаемое описывает спин-орбитальное взаимодействие атомов (1 явно не зависящая от спинов часть Г-мат-рицы, которая возникает вследствие тождественности сталкивающихся частиц). В тяжелых атомах спин-орбитальное взаимодействие может быть срав-
Т. Л. Андреева, П. Л. Рубин
ЖЭТФ, том 142, вып. 2 (8), 2012
нимо по порядку величины с обменным взаимодействием [11].
Функция Вигнера атомов со спином 1/2 и ненулевым орбитальным моментом в магнитном поле имеет вид
/ (ii).in'. i>..r} = ijгш(р) х
х (6mm"P(P,z)-gilO (lk(P*x) + Mi) -J* (II). II)')) . (2)
Здесь m и ni' проекции момента J. В настоящей работе рассматривается случай J = 1/2, L = 1, S = 1/2. Вектор J имеет две проекции: ±1/2, отвечающие состояниям, которые в магнитном поле имеют разные энергии; //о магнетон Бора; g гиромагнитное отношение; функция ш[р] нормированное на единицу максвелловское распределение атомов по импульсам; п концентрация атомов; M.¡ вектор внешней поляризации, направленный вдоль оси г (в единицах //о); щ(р.х) собственный магнитный момент атома при M¿ = 0; -J1 (id. id') матрица оператора полного момента количества движения. Для вектора М имеет место нормировка \М\ < 1. При этой нормировке \М\ = 1 отвечает полностью поляризованному газу. Все вычисления выполняются с использованием циклических компонент векторов и ¿[-символов Вигнера [9]. Вектор магнитного момента /i. имеет циклические компоненты (//.i, fig, ), причем спиновые волны возникают только на компонентах fi±i.
Как было показано в наших предыдущих работах, основную роль в возникновении спиновой волны в магнитном поле при низких температурах играет мнимая часть члена ухода в интеграле столкновений [8]. Диффузионное затухание спиновой волны определяется действительным членом прихода, который меньше члена ухода в отношении А/Ад, где Л амплитуда упругого рассеяния атомов, а А в дебройлевская длина волны атомов. При низких температурах это отношение много меньше единицы, что обеспечивает слабое затухание спиновой волны при «-рассеянии [5, 8]. В парах рубидия, где наблюдались спиновые волны большой интенсивности при температуре 0.6 мкК, это отношение составляло величину порядка 10 [12] (см. также [5]).
Будем рассматривать атомы в Р-состоянии (орбитальный момент L = 1). Такие атомы, как упоминалось выше, уже исследуются экспериментально. В частности, были обнаружены аномалии в зееманов-ской релаксации холодных атомов галлия и индия в состояниях 2P\jis 2Р?,/2 [1]- При достаточно низких температурах (порядка мкК) Г-матрицу можно
считать но зависящей от угла рассеяния, причем вещественная часть амплитуды рассеяния значительно превышает мнимую. Отношение вещественной и мнимой частей амплитуды рассеяния пропорционально отношению дебройлевской длины волны к длине упругого рассеяния.
Член прихода в Р-состояниях по-прежнему определяет только диффузионное затухание спиновых волн и в холодных газах остается малым (пропорционально отношению мнимой и вещественной частей амплитуды рассеяния). Поэтому в настоящей работе он не рассматривается.
Таким образом, при рассмотрении спиновых воли в холодных газах достаточно вычислить лишь член ухода в интеграле столкновений:
Inm'fax) = ¡(2ж)3П2 J dp i х
Т 1)
ni ni i in^iu:-
/>—/>1 />—/> i
/та mi (Pl)fm2 ra' (P)
т ± f
га' mi гаг газ
rasrai /> — />i /> — />i
x /mima (Pi )/mm2 (P)
(3)
Сначала рассмотрим газ, атомы которого имеют полу целый спин (фермиоиы). После линеаризации интеграла столкновений кинетическое уравнение для магнитного момента в гидродинамическом приближении принимает следующий вид (для перехода иг = | иг' = —
(к • V + г/ — и)(1—1 (р. .(•) =
= V I ш (р') //—1 (р', х) (1р'. (4) Отметим, что одна и та же частота столкновений
V = 7Г3д2МЩ12Г)2 (611о(Л~) + 18 Ие(*) - Ие(0)) (5)
входит как в правую, так и в левую части уравнения для фермионов. Здесь I матричный элемент оператора I в рассматриваемом базисе (.7 = Ь + Б) с учетом тождественности частиц. Частота и; отечнтыва-ется от величины зеемановского сдвига и>о = 2Нц/Н. В гидродинамическом приближении, когда ь> кг', закон дисперсии спиновых волн принимает вид
L0 =
1 2
к v
"з~
(6)
Здесь V средняя тепловая скорость атомов при максвелловском распределении атомов по скоростям.
ЖЭТФ, том 142, вып. 2 (8), 2012
Спиновые волны в ультрахолодных газах
Для бозонов формулы выглядят несколько иначе. Уравнение для магнитного момента принимает вид:
(к • V + г/1 - (р, х) =
= I «' (/>')/'— 1 (/>'. -<:) Ф'- (")
Это уравнение содержит уже две частоты и г/2:
= тг3д2Мщ$П2 (1811е(*) - 2Ео(А')), (8)
Щ = тг3.92Мп//2Й2 (211с(Л') - 1811е(*) - Ие(0)). (9)
Закон дисперсии зависит только от г/2:
7 2 -2 А' г?-
U1 =
Зг/2
(Ю)
Изотопы одного и того же атома могут быть как фермионами, так и бозонами. В этом случае отношение частот V и г/2 принимает вид:
■/ j г/2 =
6R.c(Iv) + 18Ro(f) -Rp(fl) 2 Re (Л') - 18Re(f) -Re(0)'
При повышении температуры I 0 и при условии, что спии-орбитальиое взаимодействие мало, отношение г//г/2 1, как и следовало ожидать.
В заключение отметим, что запись члена ухода в интеграле столкновений холодных атомов с использованном матрицы рассеяния (1) на нулевой угол позволила выявить ряд особенностей в спектрах спиновых волн в газах, связанных с учетом тождественности атомов [8].
Важно подчеркнуть, что спиновые волны в магнитном поле при низких температурах существуют даже в случае, когда Г-матрица (или амплитуда рассеяния) включает только слагаемое I, которое в явном виде от спинов атомов не зависит. Причина этого заключается в том, что учет тождественности частиц приводит к эффективной зависимости динамики магнитного момента от спиновых корреляций;
аналогично тому, как учет тождественности частиц, взаимодействие которых в исходном гамильтониане не зависит от спинов, приводит к эффективному обменному взаимодействию (см. [11]).
Авторы благодарны И. Л. Бойгману за полезные дискуссии. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант Л> 11-02-00200).
ЛИТЕРАТУРА
1. T. V. Tsclierbul et. al., Pliys. Rev. A 80, 040701(R) (2009).
2. M.-J. Lu et. al., Pliys. Rev. A 77, 060701(R) (2008).
3. J. T. Mendonça, Pliys. Rev. A 81, 023421 (2010).
4. S. S. Natu and E. J. Mueller, arXiv:0910.3268vl.
5. J. N. Fuclis, D. M. Cangardt, and F. Laloë, Eur. Pliys. J. D 25, 5775 (2003).
6. R. F. Snider, J. Cliem. Pliys. 32, 1051 (1960).
7. W. J. Mullin and R. J. Ragaii, Pliys. Rev. A 74, 043607(7) (2006).
8. Т. Л. Андреева, П. Л. Рубил, ЖЭТФ 129, 863 (2006): Письма в ЖЭТФ 86, 216 (2007); ЖЭТФ 134, 949 (2008).
9. А. П. Юцис, А. А. Бапдзайтис, Теория момента количества йаитсеиия. о квантовой механике, «Мш-тис«> (1965).
10. Т. Л. Андреева, П. Л. Рубин, Письма в ЖЭТФ 91, 40 (2010).
11. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика. Нерелятиаистская. теория, Физматгиз, Москва (1963).
12. H. J. Lewaiidowski et. al., Pliys. Rev. Lett. 88, 07403 (2002).
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.