АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 4, с. 517-521
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.26
СПИРАЛЬНО-ВИНТОВЫЕ волны в УПРУГОЙ цилиндрическои ОБОЛОЧКЕ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
© 2008 г. В. В. Тштекин
Акустический институт им. H.H. Андреева 117036 Москва, ул. Шверника 4.
E-mail: Tyutekin@akin.ru Поступила в редакцию 20.09.07 г.
В статье рассматриваются нормальные спирально-винтовые волны волновода, представляющего собой тонкую упругую оболочку, заполненную жидкостью. Получено дисперсионное уравнение для такого типа волн и приведены его решения для некоторых частных значений параметров задачи.
PACS: 43.20.Mv, 43.35.Cg, 46.40.Cd, 62.30.+d
В научной литературе имеется большое количество работ, посвященных исследованию распространения упруго-жидкостных волн в цилиндрических оболочках, взаимодействующих с жидкостью (см., например, [1-6]). Это связано, с одной стороны, с теоретическим интересом к данной проблеме, с другой - широким практическим применением таких работ. До сих пор в большинстве случаев в обоих этих аспектах рассматривались решения, периодические по углу 6. В этом случае они имеют зависимость от 6 в виде cos n6 или sin n6, где n = 0, 1, ..., что соответствует по 6 стоячей волне.
Рассмотрение непериодических решений (~exp(í'v6) позволило установить возможность существования нормальных волн винтового типа в цилиндрической оболочке [7] и спирально-винтового типа в цилиндрическом акустическом волноводе [8, 9]. В настоящей работе такие решения применяются к задаче о нормальных волнах упругой цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью. В этой задаче, по существу, рассматривается взаимодействие волн, рассмотренных в этих работах.
В качестве уравнения движения оболочки возьмем те же, что и в работе [7]. При наличии жидкости внутри оболочки они могут быть записаны в виде следующей системы:
LU = f,
(1)
где и = (и, V, м>)Т вектор смещения оболочки, Ь -матричный дифференциальный оператор, имеющий вид:
_ д2 1 + а д2 2
Ьп = д?+ 2 а 2 де 2+ р;
, _ j 1 + а_д_
Ll2 - L21 - 2 а ЭzЭ6'
L - L - а А.
Ll3 - -L31 - -adz
L22 -
1 - а д 2 J__d2- ,2.
2+ 2-, _ 2 + kP.
2 dz2 а2де
L - L - I А. L23 - L32 - а2де;
Н 2 1
Ьзз = -112А +-2- кРI;
Здесь г и е - цилиндрические координаты, и и V -смещения по осям г и е, м> - смещение, перпендикулярное к поверхности оболочки, а - ее радиус,
, ^ ,2 рю2 (1 -У2) Н - толщина. Кроме того, кр = -—^-- - квадрат волнового числа продольных волн в пластине, ср - их скорость, р - плотность, Е - модуль Юн-
д2 1 д2
га, а - коэффициент Пуассона, А = —2 + "1—2,
дг а де
f = g(0, 0, p(a))T, коэффициент g = 1 -
2
1 - а
Eh ,
Р
звуковое давление в жидкости, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца
(Д1 + ko)p - 0,
(2)
2
1д
2
1д
2
где Д1 = —т + + —т + -__-__-:, k0 - волновое
~ 2 rдr dz r2де2
д r
число в жидкости.
Кроме уравнений (1) и (2) необходимо использовать граничное условие, заключающееся в равенстве нормальных смещений оболочки и жидкости;
1 Э p
w =----г- при r = a,
РоЮ
2 dr
(3)
где р0 - плотность жидкости.
Решение уравнений (1)-(3) будем искать в виде бегущих волн
I (кг + ve).
U(9, г) = Uoe" p(r, 9, г) = Ро(r)e
i(kz + v9)
(4)
(5)
где и0 = (м0, v0, w0)T и р0 - амплитуды волн соответственно, в оболочке и жидкости, к - неизвестное волновое число, V - произвольный параметр. Подставляя выражение (5) в уравнение (2) и решая полученное уравнение для р0, будем иметь ограниченное при г = 0 решение
Ро (r) = Ао J v( qr)
(6)
Здесь q = ^к20 - к2, А0 - неизвестный коэффициент. Отметим, что условие ограниченности величины р0 выполняется при всех V > 0.
Следуя работе [8], введем в рассмотрение волновое число кв, определяемое выражением
кв = grad ф = кг + 0
и связанное с волновыми числами к и кк = - (кк -волновое число круговых волн) соотношениями
kB = k2 + kl = k2 + V
верхность a0 = arctg . Таким образом, направ-
отсутствует изменение фазы в радиальном направлении.
Как было указано выше, решение (6) при r = 0 является ограниченным, в то время как такая ограниченность для другой физической величины - колебательной скорости - вызывает ограничение значений показателя v [9], который определяются соотношениями v = 0 и v > 1. Первое значение соответствует известным осесиммет-ричным нормальным волнам, которые здесь не рассматриваются.
Из соотношения v = кка = kBa sin а0 следует линейная связь между безразмерной скоростью C = = cB/c0 на поверхности волновода и безразмерной частотой Y = к0а.
C = Y sin a0/v
(7)
Значение V = 1 определяет критические значения этих величин Сг и Yг
^r " ^ r
Cr = Yr sin а
о
(8)
Формулу (7) для размерной величины скорости можно переписать в виде
Ю a sin а,
о
2
k = kB cos а; kk = kB sin а,
где а - угол между вектором kB и осью. Этот угол изменяется при возрастании r от значения 90° на оси волновода до угла "выхода" волны на его по-
v
ka
ление винтовой волны в начале координат перпендикулярно оси волновода, а при увеличении r угол а уменьшается и достигает минимального значения а0 на поверхности волновода [8]. При этом волновой вектор kB образует винтовую линию, лежащую на цилиндрической поверхности любого радиуса а < r < 0. Волновой фронт также является винтовой линией ортогональной волновому вектору. На основании этих свойств винтовых волн их совокупность (во всем объеме волновода) можно трактовать как стоячую спиральную волну, поскольку ее амплитуда зависит от r, но
c =
Требования по периодичности решения (V = п) должны выполняться только для волн кругового типа (а0 = 90°), что соответствует целому числу длин волн по углу е.
Таковы общие свойства спирально-винтовых волн цилиндрических волноводов, не зависящие от граничных условий на их поверхности. Эти условия определяют только зависимость С(^ (величина V переменная) и значения Yг.
Подставляя выражения (4) и (6) в (1) и исключая множитель ехр[е,(кг + получим следующую систему уравнений относительно компонентов вектора и1 = (и0, v0, w0, А0)т:
,2 ,2 1 + а 2^ 1 + а , .а, „
kp - k----- u0—-— vk v0-i -kw0 = 0;
2a У 2 a a
1 + а . Л2 v 1-а.2^ .v n -—— vku0 + I kp - ---— k v0 — i-тW0 = 0;
.а, . v
i - ku0 + i—v 0 —
a
12
+ -2-kP
a
r,2, 2\ 2
h Л 2 v N
h-1 k+v?
(9)
W0- gJ v( qa) А0 = 0;
Р0Ю
qJv + 1 (qa) ---Jv(qa)
А0 = 0
Для получения дисперсионного уравнения относительно величины кв (в оболочке), подставим
2
w0 +
в (10) величины кв и а0, используя указанные выше замены. (Для упрощения записи всюду в дальнейшем будем писать а). В результате, получим следующее матричное уравнение:
А (X, a)U1 = 0
(10)
Здесь A(X, а) - матрица 4 х 4, имеющая составляющие:
2 2
А11 = (1 - c sin а)X - 1;
2
А12 = А 21 = — sin 2 а X
X
А13 = -А31 = i а cos а —;
А22 = (1 - ccos а)X - 1;
X
А 23 = -А 32 = i sin а —;
А 33 = ^ X Ч±-1;
12
m
A34 = -дJv(qY); А43 = 1; A44 = qаJv + 1 (qа) - V Jv(qа); А14 = А 41 = А 24 = А 42 = 0.
С целью безразмерного представления уравнения (10) здесь введены следующие обозначения:
к h X = — ; Y = kpa; H = - ; c =
1 + а
; n = cp/c0; qa =
22 = Y4n - (Xcos а) ; m = p0/p; v = XYsin а.
Дисперсионное уравнение можно представить в виде
detА(X, а) = 0 (11)
Все выполненные ниже расчеты проводились для водозаполненной оболочки при следующих ее параметрах
а = 0.3; H = 0.1; cp = 5000m/s; n = 3.33; р = 7.8t/m3.
Начнем рассмотрение результатов со случая осесимметричных нормальных волн. Хотя они не относятся к типу спирально-винтовых волн, но могут служить первичным источником при рассмотрении процесса их трансформации при изменении угла а [7].
На рис. 1а представлены безразмерные волновые числа X отдельно для оболочки (кривые 1) и жидкого волновода с абсолютно мягкой (2) и жесткой (3) стенками в зависимости от безразмерной частоты Y. Поскольку эти величины вы-
4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
0
5
_ í—^ (а)
- 3
1b /\ f / /
1a Y / 1d / / /
- 2 i 22 33 II 1 1 1 1 1 1 1
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 1c (б)
4-
3.0 Y
Рис. 1. а) Безразмерные волновые числа осесимметричных (V = 0) нормальных волн для оболочки (1) и для жидкого волновода (2) и (3).
1а - юнговская волна; 1Ь - крутильная волна; 1с - из-гибная волна; М - продольная волна. 2 - с мягкой границей, 3 - с жесткой границей. б) То же, что на рис. 1а для оболочки, заполненной жидкостью. Обозначения те же.
ражены через волновое число продольных волн в оболочке, критические частоты волновода в п раз меньше, а предельные значения волновых чисел в п раз больше, чем при обычном представлении. На рис. 16 представлены те же величины для оболочки с жидкостью, то есть при взаимодействии нормальных волн оболочки и волновода, приведенных на рис. 1а. Из рисунка видно, как эти волны взаимодействуют друг с другом около значений Хр - 1, (кривые 1а и 1с1) соответствующих продольной волне в оболочке. Крутильная волна
p
0 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
4 Y
X 3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
1 X —- --—
2
■ 3
1 1 1 1
4 Y
Рис. 2. а) То же, что на рис. 16 для нормальных винтовых волн с величиной а0 = 30°. б) Безразмерные фазовые скорости нормальных винтовых волн с величиной а0 = 30°. Прямая 0 соответствует критическому значению V = 1.
оболочки X,, = 1.69 (кривая 1^) не взаимодействует с нормальными волнами волновода из-за различия в поляризации. При увеличении частоты Y величины X стремятся к предельному значению Х0 = п = 3.33 (кривая 3).
На рис. 2а приведены данные расчета величины X для угла а = 30° без учета ограничения V > 1, поскольку они дают наглядное представление об изменении взаимодействия нормальных волн оболочки и волновода по сравнению с рис. 16. Так появляется связь волноводных волн с крутильной волной оболочки. На рис. 26 представлены те же данные, пересчитанные на величину безразмерной скорости С = 1/Х и с учетом указанного огра-
Рис. 3. То же, что на рис. 26 для а0 = 60°. Прямая 4 соответствует значению V = 2.
ничения. Видно, что дисперсионные ветви начинаются в точках (Yr, Cr), лежащих на прямой 0, задаваемых соотношением (8). Значения C, при которых происходит наибольшее взаимодействие, отмечены пр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.