Радиотехника и связь
Системы, сети и устройства телекоммуникаций
Кузнецов В.С., доктор технических наук, профессор Национального исследовательского университета «МИЭТ»
СПОСОБ ДОСТИЖЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОЙ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ОПТИМАЛЬНЫМ КАСКАДНЫМ КОДИРОВАНИЕМ
В статье определены необходимые условия достижения малой вероятности ошибки декодирования блокового помехоустойчивого кода (ПК) при приёме в непрерывном канале с аддитивным белым гауссов-ским шумом (АБГШ). Анализ помехоустойчивости выполнен на примере обобщённого каскадного кода второго порядка (ОКК - 2) с двумя однокаскадными подкодами (РП и КП). Символы внутренних кодов этих подкодов передаются с помощью аплитудно-импульсной модуляции (АИМ) по квадратурной оси, с приёмом в мягком канале. Показано, что максимальная помехоустойчивость при фиксированной блоковой длине каскадного кода достигается при оптимальном значении частотной эффективности квадратурного канала yLopt =2,3 бит/(сГц), которое даёт также и максимум произведения —1--Yi энерго-
Ebit 1N0
частотных параметров, задающих пропускную способность непрерывного канала с АБГШ.
Ключевые слова: непрерывный канал с АБГШ, квадратурная модуляция, частотная эффективность, обобщённый каскадный код второго порядка ОКК - 2, равновесный подкод РП, корректирующий подкод КП.
A METHOD OF REACHING MAXIMUM NOISE - IMMUNITY BY OPTIMUM CASCADE CODING
In the paper necessary conditions of attainment of small decoding error probability of block noise-immine code are determined when reception is performed in continuous channel with additive white gaussian noise (AWGN). Noise-immunity analysis is performed for generalized cascade code of the second order (OCC-2) with two one- cascade subcodes (ES and CS). Symbols of internal codes of these subcodes are transmitted with aid of amplitude- impulse modulation (AIM) along quadratutre axis and received in soft channel. It is shown that maximum noise - immunity is achieved with fixed block length of cascade code when frequency effectiveness of quadrature channel is optimal and equal to YI t = 2,3bitI(s • Hz). This numerical value also gives a maximal product
-1--Y, of energy- frequency parameters, determining a capacity of continuous channel with AWGN.
Ebt, 1N 0
Keywords: continuous channel with AWGN,quadrature modulation, frequency efficiency, generalized, cascade code of the second order (OCC-2), equal- weight subcode ES, correcting subcode CS.
Введение
Из анализа лучших достижений в области двоичного помехоустойчивого кодирования в непрерывном канале с АБГШ, представленными самими разработчиками [1], следует, что двоичные ПК практически не способны обеспечить помехоустойчивую передачу информации на границе пропускной способности канала. Для этих целей целесообразно выбрать более эффективные методы модуляции и кодирования. Первым шагом в этом направлении является переход к троичным каскадным кодам с квадратурной схемой модуляции и демодуляции КАМ - 9 [2,3]. C этой схемой модуляции удаётся получить частотную эффективность в групповом канале до 4,5 бит!(с-Гц). Более эффективными являются пятеричные каскадные коды, разработанные автором [3,4,5]. Совместно с квадратурной схемой модуляции КАМ - 25 эти коды обеспечивают частотную эффективность в групповом канале до 5,3 бит/(с-Гц).
Все коды, приведённые в [2 - 5], работают на границе пропускной способности непрерывного канала с АБГШ. Иными словами, суммарная частотная эффективность обеих квадратурных ветвей выбирается равной частотной эффективности группового канала, 2Е^]/¥ = С/¥. Это граничное равенство поддерживается и кодами предлагаемой статьи.
Анализ помехоустойчивости каскадного кода
Рассмотрим передачу информации по непрерывному каналу с АБГШ. Согласно теоремам теории информации, при применении помехоустойчивого кодирования в этом канале высокая помехоустойчивость приёма достигается на больших блоковых длинах кодов. Однако экспоненциальный рост сложности приёма «в целом» (корреляционного декодирования в частности) делает невозможным применение кодов с большим объёмом ансамбля сигналов. Практическим выходом из этого противоречия является переход к каскадному кодированию и декодированию. В этом случае внутренний код декодируется в непрерывеом канале с АБГШ по критерию максимума функции правдоподобия, а внешний код (как правило, это максимальный д- ичный код Рида - Соломона (РС)) - в дискретном канале без памяти (дискретный канал с независимыми ошибками).
Вероятность блоковой ошибки декодирования Q каскадного кода при таком подходе оценивается сверху биномиальной суммой
N
а < I С^с (1 - дс)N -г, (1)
г=Т +1
где: N - длина внешнего кода, Т - число полностью исправляемых ошибок внешним кодом, (с - частота блоковых ошибок декодирования внутреннего кода в непрерывном канале с АБГШ (оценивается интегралом вероятности).
Нас интересует асимптотическое поведение верхней границы в выражении ( 1 ).
При Q<<1 для количественной оценки достоверности приёма достаточно ограничиться первым членом суммы , то есть принять
а « С^с£ *'(1 - с -(Т+1). (2)
Требование Q^8 может быть удовлетворено при (^(^-сс)1'-'^1^ 8^-0, или
дТ+1(1-( / < <1-сс)Т+1 <^0.
Согласно утверждению К.Э.Шеннона [6], (1-х)" всегда больше, чем 1- пх, если п положительно. Следовательно, должно выполняться неравенство (СТ+*(1 - N4 )<8^0. Последнее неравенство выполняется всегда, если принять (1- N4) = 0, или
= (с. (3)
В этом случае основной сомножитель в выражении (2) д^1 = (1/№Т+1 ^ 0 при N>>1.
Иными словами, основное назначение внешнего кода - существенное повышение помехоустойчивости каскадно - кодовой конструкции с характеристикой (1).
Для дальнейшего анализа потребуется кодовая конструкция с частотной эффективностью у = Я/Б = 2,3+ 0,3 бит/(сГц). Этим требования удовлетворяет двухкаскадный пятеричный код с символами {0, +а,+са}, разработанный автором. Его параметры представлены в следующем разделе. Код образован произведением каскадного двоичного равновесного подкода (РП) с символами {0,1} на каскадный четверичный корректирующий подкод (КП) с символами {+а,+са}, причём КП передаётся на энергонесущих позициях РП. Символ 0 в РП - пассивный, не энергонесущий. В свою очередь и РП и КП - каскадные коды. РП образован произведением внутреннего двоичного равновесного кода (РК) на внешний максимальный д - ич-ный код Рида - Соломона с параметрами РС^КБ^ощ^). КП образован произведением внутреннего четверичного корректирующего кода (КК) на внешний код РС с теми же параметрами РССМКБ^ог^), но над другим полем, так как основание (р < цк .
Процедура декодирования всего кода построена таким образом, что сначала декодируется каскадный РП и по результатам декодирования РП с высокой вероятностью определяются энергонесущие позиции; затем декодируется каскадный КП. В обоих подкодах используется один и тот же внешний код РС (с одинаковыми параметрами (^К,Ох)), что позволяет примерно в два раза сократить сложность декодирования. Блок-схема приёма приводится на рисунке. Она представлена и в предыдущих работах автора [7].
Рис. Блок-схема приёмной части
Схема содержит квадратурный демодулятор КАМ - 25 и две квадратурные ветви. На выходах демодулятора в каждой ветви имеется выходной фильтр квадратурного канала с видеополосой = Бо = Б = 1/2тт, т=5, далее - мягкий квантователь и декодер пятеричного каскадного кода. Внутренние коды (равновесный и корректирующий) принимаются в непрерывном гауссовском канале с АБГШ по критерию максимума функции правдоподобия. Согласно общепринятым обозначениям, мнимая (вертикальная) и действительная (горизонтальная) оси обозначены на рисунке символами I и Q. Эти символы в качестве индексов добавлены к обозначениям параметров кодов в каждой квадратурной ветви.
Особенность данной схемы заключается в том, что суммарная частотная эффективность группового канала равна сумме частотных эффективностей обеих квадратурных ветвей. Но для реализации этой суммарной частотной эффективности в групповом канале расход энергии на бит в каждом квадратурном канале должен поддерживаться равным расходу энергии на бит в групповом канале. Это обстоятельство подробно описано в предыдущей работе автора [5].
Поскольку коды РП и КП декодируются последовательно друг за другом, то итоговая вероятность блоковой ошибки декодирования всего обобщённого каскадного кода ОКК-2 оценивается суммой вероятностей блоковых ошибок декодирования РП и КП
й=QP+а. (4)
Минимальные евклидовые расстояния РП и КП и их внутренних кодов РК и КК взаимно равны. Но даже в этом случае, как правило, число ближайших кодовых комбинаций к переданной во внутреннем двоичном равновесном коде РК значительно превышает число ближайших кодовых комбинаций к своей переданной комбинации внутреннего корректирующего кода КК. Это приводит к тому, что блоковая вероятность ошибки декодирования равновесного кода РК во столько же раз превышает блоковую вероятность ошибки декодирования корректирующего кода КК, то есть дср > дск. Как следствие, при декодировании внешних кодов РС блоковая вероятность Qр >> Qк и для аналитической оценки итоговой вероятности блоковой ошибки декодирования обобщённого каскаджного кода ОКК-2 достаточно принять
Q - Qр.
Раскроем выражение (3).
1/N = д „ = тр • (1 - Ф(.
(5)
где: N - длина внешнего кода РС, дс,Р - вероятность ошибки на символ внешнего кода РС (принимается равной вероятности блоковой ошибки декодирования внутреннего двоичного РК),
1 X -<2/
тР - число кодовых комбинаций РК, ближайших к переданной, Ф(х) = .— • I е - интеграл вероятности, а2х - квадрат минимального евклидова расстояния между символами внутреннего РК, х = х1 = Х£> = хт - длительность символа РК, равная длительности символа на выходе квадратурного демодулятора, ёхр - минимальное расстояние РК в метрике Хэмминга, N0 - односторонняя спектральная плотность мощности гауссовского шума.
Раскроем отношение а2хШ0.
Согласно выражению (19), а Т = в Пр . Рассматриваемый групповой канал -
N0 2(Па - 1 + С2)
непрерывный канал с АБГШ. Отношение в=ЕъцШ0 в этом канале связано с его частотной эф-
2Г -1
фективностью у выражением
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.