Автоматика и телемеханика, Л- 1, 2007
Стохастические системы
PACS 02.50.Lo
© 2007 г. Ю.С. КАН, д-р физ.-мат. наук, A.B. СЫСУЕВ (Московский авиационный институт)
СРАВНЕНИЕ КВАНТИЛЬНОГО И ГАРАНТИРУЮЩЕГО ПОДХОДОВ ПРИ АНАЛИЗЕ СИСТЕМ1
Наихудшее значение кваптили распределения лилейной функции потерь, зависящей от пеопределешго-стохастических параметров, сравнивается явно с максимальной величиной этой функции. Стохастическая неопределенность моделируется распределениями из класса Вармиша.
1. Введение
При анализе функционирования систем в условиях неопределенности часто известно. что неопределенные параметры имеют стохастическую природу, однако их распределения почти неизвестны, но некоторая априорная информация о них все-таки имеется. Например, инженеры часто уверены, что разные неопределенные параметры независимы, они изменяются в известных допустимых диапазонах, их малые отклонения от среднего значения более вероятны, чем большие, и, кроме того, распределения этих параметров симметричны. Возникает вопрос, как выбрать в такой ситуации критерий качества системы, чтобы наиболее адекватно учесть весь объем априорной информации такого рода. Эта проблема не тривиальна, поскольку упомянутая выше априорная информация является нопарамотричоской. По этой причине инженеры зачастую игнорируют априорную информацию и определяют только наихудшее значение функции потерь, принимая во внимание только диапазоны изменения неопределенных параметров. В дальнейшем это значение будет называться максимум потерь. Этот максимум достигается на некоторой наихудшей совокупности значений неопределенных параметров и является, как правило, единственным. Если число неопределенных параметров велико, то реализация такой наихудшей совокупности на практике представляется маловероятной, что порождает определенный пессимизм максимума потерь как оценки качества системы в условиях неопределенности. Использование квантильных критериев качества [1] может в рассматриваемой ситуации дать эффект, так как эти критерии игнорируют некоторые пессимистические маловероятные комбинации. В настоящей статье этот эффект оценивается явно в рамках первого приближения (линейная функция потерь).
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 04-01-00758, 05-08-17963).
2. Постановка задачи
Пусть £ - случайный вектор со значениями в пространстве К", отождествляемом ниже для удобства с пространством элементарных событий, Р - вероятностная мера борелевских подмножеств пространства М", определяющая распределеные вектора £ и заданная соотношением
(1) P(A) = J p(x)d;
где A - произвольное борелевское множество. Относительно плотности вероятности p(x)
классу Бармиша [2]:
• p(x) = pi (xi). ..pn (xn), где pi (xi) - частная плотность вероятности г-й компоненты £i вектор а £, т.е. компоненты £i,.. .,£n вектор а £ независимы;
• для любого г pi (xi) = ^и \xi\ > 1/2;
• г pi (xi) xi
P
стям из класса Бармиша, обозначим посредством Пд. Легко видеть, что при P е Пд распределение случайного вектора £ сосредоточено на единичном кубе
In = { x е Rn : \xi\< 2 ,г = 1,...,nJ.
Пусть c - детерминированный вектор, такой что ||c|| = 1 и f (c,£) = cT£
линейная функция, интерпретируемая как функция потерь. Максимум потерь есть величина
1n
(2) m(c) = max f (c,x) = -J^ \ci\.
X11 n ^
i=i
Часто на практике эта величина принимается как гарантирующая оценка качества системы, так как истинное распределение вектора £ неизвестно.
Рассмотрим более гибкий подход для анализа систем в условиях стохастической неопределенности, описанной классом Пд. Введем в рассмотрение наихудшую квантиль
y*a(c) = sup min {y : P (f (c,£) < y) > a} PenB
где a е (1/2,1) - заданный уровень надежности. Оптимизм такого подхода по отношению к максимуму потерь в абсолютном смысле равен
ha(c) = m(c) - y*a(c).
Также рассмотрим функцию
Mc) = Щ,
m(c)
которая характеризует относительную величину эффекта (преимущества) квантиль-ного подхода по сравнению с гарантирующим. Если эту функцию усреднить по вектору с, т.е. ввести в рассмотрение величину
Ка = Мс [ка (с)] ,
с
ничной сфере {х : ||х|| = 1}, то тем самым можно оценить, каков "в среднем" указанный относительный эффект, если рассмотреть все задачи анализа, встречающиеся
с
Предметом исследования в настоящей статье является оценка характеристик указанного эффекта На(с) и Ка.
3. Некоторые вспомогательные результаты
В этом разделе в общей постановке анализируются наихудшие значения вероятностей и квантилей относительно произвольного класса допустимых распределений. Пусть £ = — произвольный случайный вектор, определенный па вероятностном пространстве (О, F, P), где относительно P известно лишь, что P £ П, а П - некоторое множество вероятностных мер, не обязательно совпадающее с Пв. Пусть также g(x) .......... некоторая борелевская по x £ М" функция. Определим функцию распределе-
(3) F(y, P)= P{g(£) < y}
случайной величины g(£) и функцию квантили
(4) ya(P)=min{y : F(y, P) > а},
где а £ (0,1). Допустим, что g(£) характеризует потери, а класс П - модель стохастической неопределенности. Введем в рассмотрение следующие наихудшие вероятностные показатели качества
(5) F*(y) = mfn F(y, P)
(6) y*a = SUp ya(P).
Pen
Основную проблему, рассматриваемую в данном разделе, можно сформулировать следующим образом. Предположим, что существует наихудшая мера P*(y) £ П в (5), т.е. F*(y) = F (y, P*(y)). Можно ли утверждать, что при некотором y, возможно зависящем от ^^ ^^^ио равенство y*a = ya (P*(y)), т.е. P*(y) - наихудшая мера в (6)?
Лемма 1. Пусть a u b - вещественные числа, такие что b > a и F*(b) > F*(a). Тогда a < ya < b для любого а £ (F* (a), F*(b)).
Доказательство дано в Приложении.
Определение ([3]). Пусть t(y) неубывающая функция вещественного аргумента y. Число z называется корнем уравнения t(y) = 0, если
(7) t(z - е) < 0 < t(z + е)
для любого е > 0. Корень уравнения называется единственным, если оба неравенства в (7) строгие.
Теорема 1. Пусть уа - единственный корень уравнения Р*(у) = а. Тогда у*а = = уа. Если, кроме того, существует вероятностная мера Ра € П такая, что Р*(у) = Р (у, Ра) для любого у, принадлежащего открытой окрестности точки уа, то у*а = уа (Ра).
Доказательство дано в Приложении.
4. Использование принципа равномерности
В [2] установлено следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть S с In - выпуклое множество та кое, что S = —S. Тогда min P(£ е S) = P„(£ е S),
PenB
где Pu - вероятностная мера, для которой случайный вектор £ равномерно распределен на In.
Этот результат известен как принцип равномерности. Близкие результаты и некоторые обобщения можно найти в [4 6]. Рассмотрим множество
Т(y) = {х : f (с,х) < у} .
где у е (0, m(c)). Рассмотрим также множество
S(y) = {х : f (с,х)\<у} ,
удовлетворяющее условиям теоремы 2 для любого у е (0, m(c)). Так как для любой P е Пв вектор — £ распределен так же, как и то
P(£ е Т(у^1^- S(y)).
Поэтому в силу теоремы 2 имеем
min P(£ е Т(у)) = Pu(£ е Т(у)), Pens
т.е. Pu являете н^худшей мерой для F(у, P) = P(£ е Т(у)) для всех у е (0, m(c)). Примем также во внимание, что у*а (с) е (0,m(c)) для вс ех а е (1/2,1). Поэтому-согласно теореме 1
(8) у*а(c)=min {у : Pu (f (c,£) < у) > а} .
Кроме того, из того, что для любого е > 0 и любо го у е (0, m(c))
Pu(\f (c, £) — у\ < е) > 0, Pu(f (c, £) = у) = 0
(за исключением "неинтересного" случая c = 0), вытекает, что функция F^fy) непрерывна и строго возрастает по у е (0, m(c)). Поэтому, учитывая, что наихудшая мера Pu соответствует равномерному распределению вектора £ на In, заключаем, что величина абсолютного эффекта ha(c) может быть найдена из уравнения
(9) тев(Т (m(c) — h)) = 1 — а
относительно h, где mes - мера Лебега, а Т(у) = {х е In : f (c, х) > у}.
5. Нижние границы для характеристик эффекта
Лемма 2. Характеристика На(с) абсолютного эффекта может быть оценена снизу следующим, образом:
(Ю) На(с) > К(с)= ( п!(1 - «Щ
1/п
¿=1
Доказательство дано в Приложении.
Оценим теперь характеристику среднего относительного эффекта, т.е. величину Ка(с), предполагая без ограничения общности неотрицательность всех компонент вектора с. Согласно лемме 2 функцию ка(с) можно оценить снизу:
(11) ка(с) > ка(с) =
2На(с)
П '
Е С
¿=1
Обратим внимание, что с учетом известного неравенства
Пес> п-
1/п
¿=1
¿=1
из (11) следует
- , ч 2(и\(1 - а))1/п 2
ка(с) ----> - « 0,7358
п е
при п
Осреднение по с ЦсУ = 1, правой части (11) приводит к следующему результату. Теорема 3. Ка > Ка, где
(12)
Ка = 2М/П Г (П) П В
1 (п - г)(п +1)
2п
2п
Г
Доказательство дано в Приложении.
Численные значения величины Ка для некоторых п и а приведены в табл. 1. Таблица 1. Нижняя грашща среднего относительного эффекта
а/п 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0,6 0,48 0,44 0,42 0,42 0,41 0,41 0,41 0,41 0,40 0,40
0,7 0,46 0,43 0,42 0,41 0,41 0,41 0,41 0,40 0,40 0,40
0,8 0,44 0,42 0,41 0,41 0,41 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40
0,9 0,41 0,41 0,41 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40
6. Случай функции потерь с детерминированной составляющей
Рассмотрим теперь линейную функцию потерь общего вида
7(со,с,0= С2 + I(с, О,
возникающую при анализе систем в линейном приближении, где. как и выше. I(с, О = ст£, а с0 - детерминированный параметр такой, что
с0 + 1|с||2 = 1.
Очевидно, что
со
m (со, с) = max f (со, с, x) =--+ т(с)
xein 2
y*a(со, с) = sup min jy : P (f (со, с,£) < y) > а) = с0 + y*a(с). PenB ^ v ' J 2
Здесь т(с) и y*a(с) — максимум потерь и наихудшая квантиль для функции потерь f (с, £). По этим причинам член со/2 исчезает в разности
ha (со, с) = т (со, с) - y*a (со, с), и, следовательно,
ha (со ,с) = ha(с).
Таким образом, величину (10) можно использовать в качестве нижней оценки характеристики абсолютного эффекта ha (со,с).
Заметим, что относительная величина эффекта
ка (со, с)
ha(с)
т (со, с) со
Ka = MCOjC
ка (со, с)
где математическое ожидание берется по со, с, имеющим совместное равномерное распределение на единичной сфере в Нп+1.
Теорема 4. Ka > K*, где
(13)
K* = 2-
(n!(1 - а.))1/п r (n+1\ fn+1 1
п 2 y/n +1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.