Автоматика и телемеханика, Л- 4, 2007
РАС Б 02.30.Yy. 02.50.Cw
© 2007 г. Н.В. МЕДВЕДЕВА, Г.А. ТИМОФЕЕВА, д-р физ.-мат. наук (Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург)
СРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ1
Рассматривается проблема построения доверительных множеств для задачи оценивания с наблюдением для случая, когда в системе присутствуют как случайные возмущения с известными распределениями, так и неопределенные возмущения, информация о которых исчерпывается заданием областей их возможных значений. Сравниваются два подхода: первый, осповап па использовании апостериорных распределений и соотношений фильтра Калмапа для систем с неопределенными параметрами, другой подход связан с построением оптимальных доверительных множеств. Показано, что для рассматриваемой задачи оценивания нелинейные оценки являются более точными.
1. Введение
Во многих случаях функционирование технических и экономических систем происходит на фоне случайных воздействий, и. как правило, статистические характеристики случайных воздействий известны неточно.
Задачи оценивания состояния динамической системы в условиях неполной статистической информации о распределениях случайных возмущений исследуются, начиная с [1. 2]. где были построены рекуррентные соотношения для множеств возможных средних значений фазового состояния. В [3 5] исследовались проблемы нахождения оптимальных линейных оценок для статистически неопределенных систем. В [6] предложены нелинейные процедуры оценивания, основанные на минимизации функции невязки.
В [7] рассматриваются задачи доверительного оценивания состояния многошаговой линейной системы. Предлагаемые там оценки получены па основе объединения доверительных множеств для состояния системы, полученных при различных допустимых значениях неопределенных возмущений. Такой подход позволяет получить алгоритмы оценивания в виде линейных рекуррентных соотношений, которые могут быть реализованы в режиме реального времени. В [8] был предложен новый подход к построению доверительных оценок для статистически неопределенных систем с наблюдением, там же приведены примеры, в которых применение этого подхода приводит к значительному уточнению доверительных оценок по сравнению с полученными с помощью линейных процедур. В данной работе показано, что для задачи оценивания с наблюдением нелинейный метод, предложенный в [8]. дает более точные доверительные оценки, чем метод, основанный на линейной фильтрации [1. 2].
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00434).
2. Постановка задачи и основные определения
Рассмотрим простейшую задачу оценивания вектора х из Мп в условиях неполной статистической информации. Как известно, задача оценивания состояния линейной многошаговой системы с наблюдением сводится к задаче оценивания вектора. Пусть
(1) х = хо + Ql£l,
у = Сх + V + Q'2Í'2■
Здесь х - неизвестный п-вектор системы, у - известный т-вектор наблюдений. Помехи £1, £2 являются независимыми случайными векторам и размерностей п т
(2) Е£1 = 0. Е£2 =0. Е££ = 1{п), Е£2£Т = 1(т)-
Здесь Е - знак математического ожидания, т - знак транспонирования, 1(п) - единичная матрица размера п, 1(т) - единичная матрица размера т, Q1, Q2 - невырожденные матрицы размера п х п и т х т соответственно.
Статистическая информация о векторах х0 £ Мп, V £ Мт отсутствует, известны лишь области их возможных значений
(3) хо £ Хо, V £ V.
где Хо, V - заданные компакты из Мп и Мт соответственно. Для каждого значения неопределенных параметров оценка
(4) х(хо.V) = (1 — ЛС)хо + Л(у - V),
(5) Л = Р1СТЯ-1.
имеет минимальную возможную дисперсию. Причем ковариационная матрица
Е(х — х(хо. го))(х — х(хо. v))т = Р1. и распределение ошибки
(6) е = х — х(хо. V) = (I — ЛС^£ — ЛQ2£2
но зависит от значений неопределенных параметров. Здесь
(7) Р1 = (Р-1 + СТЯ-1С)-1. Ро = QlQТ, Я = Q2QТ■
£1 £2 хх
х
неопределенных параметров хо.и. Сформулируем следующее утверждение.
Л пх т
жест,во Ва является доверительным множеством для случайного вектора
е = е(£1. £2) = (1 — ЛС^£ — ЛQ2£2■
Тогда множество Ха = XX(Л) + Ва является доверительным множеством для вектора х уровня не ниже чем а, т.е. Р{х £ Ха} > а. Здесь
(8) X = X (Л) = (1 — ЛС)Хо +Л(у — V )■
Лемма 1 следует непосредственно из условий (1) (2). так как из них получаем.
п х т Л
Оценки вида X(Л) + Ва традиционно используются в качестве доверительных
Л
множество X (Л) является множеством апостериорных средних значений [2].
Наряду с линейными оценками, рассмотрим другой подход к доверительному оцениванию в задаче оценивания с наблюдением.
Определение 1 ([9]). Случайным информационным множеством X(£*) =
= XX(y,X0,V,£*) будем называть множество состояний системы (1)-(3), совме-
у
£* = Ш.Ш, т.е.
XX(£*) = X + Ql£*) П С+(у — V — Q2£*2),
где С+ - обратный оператор, т.е. С+г = {и £ Мп : г = Си}.
Наряду с системой (1) (3). будем рассматривать, как вспомогательную, систему с неслучайными возмущениями различного вида
(9) х = хо + Qldl, хо £ Xо,
у = Сх + V + Q2d2, V £ V.
Здесь информация о возмущениях dl, d2, хо, V исчерпывается заданием множеств их возможных значений, а именно ограничениями (3) и включением
(10) d = ^1^2}£В.
где В - заданное множество из Мт+п.
Определение 2 ([10]). Информационным множеством системы, (9) (10) называется множество
X(В) = X(у^о^.В) С Мп
такое, что для каждого х £ X(В) найдутся значения неопределенных параметров
хо £ X0t V* £ V, d* £ В, для которых выполнены соотношения (9) при заданном у
Случайное информационное множество X(у. X0, V,£*) - это информационное множество X(В) детерминированной задачи (9)-(10) при В = {£*}.
Определение 3. Множеством допустимых значений случайного вектора £ = {£1.£2} будем называть множество
В0 = В'^^^о^) С Мп+т
значений параметров £1.£2 в задаче (1)-(3), совместимых с наблюдением у при х0 £ XV, V £ V, т.е. множество значений неопределенного параметра d £ Мп+т,
для которых информационное множество детерминированной системы (9) (10)
у
(И) В0 = ^ £ Мп+т : X(у^о^. ВД) = 0} ■
Очевидно, что если у - результат наблюдения в задаче (1)-(3), тогда множество В0(у, X), V) допустимых значений случайного вектора непусто.
Так как вектор х в задаче (1)-(3) по наблюдению у определяется неоднозначно для каждого допустимого значения £* € Мт+п и существует целое множество возможных значений фазового состояния системы случайное информационное множество X(у, Х0, V, £*), то для заданного измеримого множества X С Мп будем рассматривать следующие случайные события: XX(у, Х0, V,£) С X и X(у, Х0, V,£) П X = 0. Введем обозначения для множеств возможных значений случайного вектора £.
Определение 4. Пусть X - некоторое измеримое множество ш М". Максимальным множеством возможных значении случайного вектора £, соответствующим множеству X, будем называть множество В^^) = В+ (X; С С Мп+т значении неопределенного параметра £ в задаче (1)-(3), совместимых с наблюдением у при х € X и х0 € X0t V € V, т.е. множество й € Мп+т, для которых пересечение соответствующего информационного множества детерминированной системы (9)—(10) и X непусто:
(12) В+(X) = ^ € Мп+т : X(у, Xо, V, {й}) П X = 0} .
Определение 5. Пусть X - некоторое множество из М". Минимальным множеством значений случайного вектора £, соответствующим, информационному множеству X, будем называть множество В-^) = В; у^0, V) С Мп+т значений случайного параметра £ в задаче (1)-(3), совместимых с наблюдением у при х0 € X0, V € V и таких, что соответствующее состояние системы принадлежит X при любом допустимом х0 € X0 и V € V, т.е.
(13) В-(X ) = {й € Мп+т : 0 = X (y,Xо,V,{d}) С X}.
Определение 6 ([8]). Множество Xa будем называть доверительным множеством уровня а для фазового состояния системы (1)-(3), если минимальная условная вероятность
(14) Р{х€ Xa | у,хо € Xо,v € V} 4
4 Р^С (у^оМ С Xa | у, хо € Xо,v € V} = а.
Условная вероятность в определении 6 понимается как вероятность, найденная
при выполнении всех условий задачи, т.е. соотношений (1) (3) при известном веку
нельзя. так как при этом теряется смысл задачи оценивания, а доверительные множества могут оказаться пустыми, что противоречит самому понятию доверительного множества. Следующая теорема является прямым следствием определения.
Теорема 1 ([8]). Пусть для множества Xa соответствующие множества В-(Xa; у*^!)^) и В0(у*) значений случайного параметра £, определяющиеся из соотношений (11), (13), измеримы и
Р{£ € В0(у*, X), V)} = 0.
Если
Р{£ € В-^; у*^оУ)} = Р{£ € В0(у*, X), V)} а
то множество Xa является доверительным множеством уровня не ниже чем а для состояния системы, (1) (3).
3 а м о ч а и по 1. Теорема 1 но может быть использована для систем с полной статистической информацией о возмущениях, т.е. при X0 = {х0}, V = {V*}, так как вероятности Р{£ £ В0(у*. {х0}. {V*})} и Р{£ £ В'(X; у*. {х0}. {V*})} равны нулю в случае непрерывных распределений случайных возмущений.
Построение нелинейных доверительных оценок на основе теоремы 1 является достаточно сложной задачей, которая рассматривалась в [8]. Для получения оценок сверху для доверительных множеств будем использовать следующую теорему.
Теорема 2 ([8]). Пусть множество Вр С Мт+п является доверительным множеством уровня /3 для случайной величины £, т.е. Р {£ £ В в} = в, тогда информационное множество XX (В в) = XX (у^о. V. В в) системы (9)-(10) при В = В в является доверительным множеством уровня не ниже чем а = 1 — а'-1(1 — /3) для неизвестных состояний статистически неопределенной системы (1)-(3). Здесь
а1 = Р [X(у. Xо, V. £) = 0} = Р{£ £ В0(у. Xо, V)}.
3. Сравнение двух подходов
х
существуют по крайней мере два возможных подхода. Первый основан на линейных соотношениях и объединении доверительных множеств (лемма 1), второй связан с определением 6. Необходимо сразу отметить, что процедура линейного оценивания значительно проще, чем методы, основанные на определении 6. Однако, есть примеры существенного уточнения доверительных оценок при примен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.