научная статья по теме СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА СКАЛЯРНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АППРОКСИМАЦИЙ ИСКОМЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ В МКЭ ПРИ РАСЧЕТЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК Машиностроение

Текст научной статьи на тему «СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА СКАЛЯРНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АППРОКСИМАЦИЙ ИСКОМЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ В МКЭ ПРИ РАСЧЕТЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

№ 2, 2015

УДК 539.3

© 2015 г. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Киселева Т.А.

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА СКАЛЯРНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АППРОКСИМАЦИЙ ИСКОМЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ В МКЭ ПРИ РАСЧЕТЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК

Волгоградский государственный аграрный университет, Волгоград

Предложены новые варианты формул, задающих срединные поверхности эллипсоида, эллиптических цилиндра и конуса, позволяющие выполнить расчет без особенностей областей определения рассматриваемых оболочек. Изложен алгоритм формирования матрицы жесткости четырехугольного криволинейного конечного элемента с восемнадцатью степенями свободы в узле. На примере расчета кругового цилиндра выполнена верификация разработанного алгоритма при использовании скалярной и векторной аппроксимаций перемещений. Показана эффективность векторной аппроксимации полей перемещений при расчете эллиптического цилиндра с различными условиями закрепления и при его смещении как жесткого целого.

В настоящее время во многих отраслях машиностроения широко используются тонкостенные конструктивные элементы типа оболочек. Несмотря на подробно разработанную теорию оболочек [1—3], аналитическое решение возможно лишь для узкого класса задач. Поэтому широкое распространение получили численные методы расчета, в частности метод конечных элементов (МКЭ) [4—6].

Центральным разделом в конечно-элементном анализе является аппроксимацион-ная процедура искомых неизвестных внутренней области элемента дискретизации через их узловые значения. В настоящее время в МКЭ, в том числе и в широко известных зарубежных программных комплексах типа ABAQUS и т.д., используется скалярная аппроксимация искомых неизвестных, основанная на аппроксимации отдельной компоненты вектора перемещения через узловые значения этой же компоненты, не зависящей от узловых значений остальных двух компонент. Такой подход можно считать вполне приемлемым при расчете толстостенных конструкций как массивных тел в декартовой системе координат. Однако при анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных конструкций из оболочек при использовании криволинейных систем координат скалярная аппроксимация может привести к существенным погрешностям вычислений. В этих случаях наиболее приемлемым является использование векторной аппроксимации искомых неизвестных, позволяющей получать адекватную картину НДС оболочек, в том числе и в случаях смещений их как абсолютно жестких тел.

В настоящей статье излагается алгоритм расчета произвольных непологих оболочек при реализации скалярной и векторной аппроксимаций искомых неизвестных в МКЭ.

Геометрия оболочки. Срединная поверхность произвольной оболочки в декартовой системе координат может быть задана радиус-вектором

И0 = х1 + уj + 1(х, у)к. (1)

Ковариантные векторы локального базиса точки срединной поверхности и их производные определяются дифференцированием (1) по криволинейным координатам а, Р (например, x, y)

о Т>0 0 т»0 /0ч

aа - R,а, aа,в - К,ар- (2)

Если произвольная оболочка имеет в сечении замкнутую линию, например эллипс, то использование формулы (1) не является оптимальным. Так, при рассмотрении в качестве произвольной оболочки эллиптического цилиндра Уг + = 1, эллиптического

b c

y2 z2 (x - a)2 x2 y2 Z2 1

конуса ¿y + —-= 0 или трехосного эллипсоида — + — + — = 1 применение

b c a abc

формулы (2) приводит к необходимости соблюдения дополнительных условий

2 „\2 2 2 2 1 - У- > 0, Í^O- - ^ > 0, 1 - x_ - Z_ > 0

b a b a b

для эллиптического цилиндра, конуса и эллипсоида соответственно. Здесь b и c — параметры эллипса, являющегося поперечным сечением рассматриваемой оболочки, a — параметр эллипсоида или эллиптического конуса.

С целью устранения отмеченного выше недостатка и непрерывной параметризации срединной поверхности рассчитываемых оболочек радиус-вектор предлагается задавать в виде

R0 = xi + r (x, 9)sin 9j + r (x, 9) cos 9k, (3)

где 0 — угол, отсчитываемый против хода часовой стрелки от оси Oz, в плоскости, перпендикулярной оси Ox.

Входящая в (3) величина r ( x, 9) зависит от рассчитываемой оболочки и для эллиптического цилиндра, конуса и эллипсоида имеет соответствующий вид

(9) = bc/4b2 cos2 9 + c2 sin2 9, r (x, 9) = bcy¡ 1 - x2/a2/Vb2 cos2 9 + c2 sin2 9, (x, 9) = bc (1 - x /a )/4b~2 cos 9 + c sin 9.

При использовании (3) ковариантные векторы локального базиса точки срединной поверхности оболочки и орт нормали определяются выражениями

о т>0 0 „0 0 0 0 , Г~0 Я! = И а2 = И,0, а = а! х а2/Vа , (4)

где а0 = а°а22 — (а|2)2 — детерминант метрического тензора.

Из соотношений (4) можно получить прямую и обратную матричные зависимости

{а0} = [^ (1), (1) = - {а0}, где {аУ = {а°а2а0}, {1} = {1 ] к}.

3x1 3x3 3x1 3x1 3x1 3x1

Положение точки в произвольном слое оболочки, отстоящем от срединной поверхности на расстоянии С, до и после деформирования определяется радиус-векторами

И= И0 + С а0, И < = И+ V. (5)

Входящий в (5) вектор перемещения произвольной точки, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии С, при использовании гипотезы прямой нормали определится выражением

V = V + С(а - а0), (6)

где а — орт нормали к срединой поверхности оболочки в деформированном состоянии.

Входящий в (6) вектор перемещения точки срединной поверхности, его первые и вторые производные по глобальным координатам х и 0 определяются по формулам

Р 0 0 ,р 0.0 ,р 0.0 /-т\

v = Лр + Ш , vla = ГааР + гаа , V ар = ^р + г<х|За , (7)

р

где и , и — тангенциальные и нормальная компоненты вектора перемещения; га, г^р, гар — многочлены, содержащие компоненты вектора перемещения точки

срединной поверхности и их первые (для гр, га) и вторые (для г^р, гар) производные.

Ковариантные компоненты тензора деформаций определяются соотношением механики сплошной среды [7]

= (£а|3 - 8°ар)/2- (8)

Входящие в (8) ковариантные компоненты метрического тензора исходного и деформированного состояний определяются скалярными произведениями соответствую-

г 0 0 0 0 т,0с „с

щих векторов базиса gар = gа ■ %р; gар = %а • %р, где gа = И а; ga = И;а.

Конечный элемент и аппроксимация перемещений. В качестве элемента дискретизации выбирается четырехугольный фрагмент срединной поверхности с узлами г, }, к, ¡, отображаемый на квадрат с локальной системой координат -1 < Е, п ^ 1.

Столбец узловых варьируемых параметров в локальной и глобальной системах координат был выбран в виде

<=|клГ{"}'КГ 1, К}'=|ктК!

1x72 [ 1x24 1x24 1x24 ] 1x72 [ 1х24

где

( Л' ( г ] к I г ] к I г I г ¡г ¡г I )

{Я,У } = {Я Я Я Я Я, \Я,{ Я,\ Я,% Я,ц , •••, Я, л Я,%%, •••, Я,%% Я,цц , •••, Я,цц Я,\п , •••, Я,Щ ,

1x24

( г)' ( г ] к I г ] к I г ¡г ¡г ¡г ¡ \

{Я у} = {ЯТЯ Я Я,хЯ/хЯ,хЯ,хЯ,в, •••, Я,е Я,хх , •••, Я,хх Я,ее, •••, Я,ее Я,х0, •••, Я,х©} •

1x24

гл т 1т 2т т

Здесь под я понимается тангенциальная и , и или нормальная и компонента вектора перемещения узла т (т = г, ], к, ¡) четырехугольного элемента дискретизации.

В статье были реализованы два варианта аппроксимации перемещений внутренней области элемента дискретизации. В первом варианте применялась скалярная аппроксимация перемещений [8], при которой каждая компонента вектора перемещения точки внутренней области конечного элемента аппроксимировалась через узловые значения только этой же компоненты и ее производные

Я = (ф)' {яЛ}, (9)

где {ф}' = {ф1,ф2, •••, ф24} — столбец, содержащий произведения полиномов Эрмита пятой степени [9].

Во втором варианте была реализована векторная аппроксимация перемещений, при которой узловыми варьируемыми параметрами выбираются векторы перемещения, их первые и вторые производные в локальной и глобальной системах координат

Л)1 ( ' ] к ' ' Vу } = {V V V V У,^ ,

1x24

П1 ( I ] к ' ' V у } = {V »V V V

'

, VV

у

1x24

' '

V,0 ",хх =

'

, V,п V

ьее хв>

I

^п

Ъхв

Между столбцами {VЛ} и {Vту} можно установить матричную зависимость {VЛ} = [X] {V ^} = [X] [А] {пу}, где [А] — матрица, элементами которой являются базисные

0т\Т

векторы узловых точек конечного элемента {а

, 0т 0т 0т\ •• 1 1

= {а1 а2 а }, т = ;, ], к, '.

Вектор узловых неизвестных на основе (7) имеет вид

. . 1' 21 ' 1) 2) ) 1к 2к к 11 21 '.И.2'.'

пу\ = {и и и и и и и и и и и и гагага,

' И гагв ,

1x72 ' 1 1в1

' 1 г aa^вв,

' И

1 ав

Столбец узловых неизвестных {пу}, содержащий компоненты векторов (7), можно выразить через столбец узловых неизвестных содержащий компоненты вектора перемещения и\ и2, и и их производные [10] {пу} = [/д] {^У} •

72x1 72х72 72х1

Аппроксимирующее выражение при векторном способе аппроксимации перемещений записывается в виде

V = (ф)1 {VЛ} = (ф)1 [X] [А] {пу} = {у}1 [А] ^у) = {Ау)^у),

1x24 24х1 1x24 24x24 24x72 72x1 1x24 24x72 72x1 1x72 72x1

где {гу} = [Ря]{г/уг1

(10)

Входящие в структуру элементов матрицы-строки {А у} векторы локального базиса узлов конечного элемента можно выразить через векторы локального базиса точки внутренней области четырехугольного элемента дискретизации {а0т} = ^ \й\ 1 {а0} = ^ {а0}. Тогда соотношение (10) с учетом (7) можно записать в виде

<П1

1x3

= {а

Т

[А ]{^у}.

1х3 3x72 72x1

(11)

Из (11) можно получить искомое аппроксимирующее выражение

и и

3x1

п [ь' ]Т У2\ь]]Г У3 [ьк]Т У 4 [ь' ]Т ,-.,У24 ]Т (12)

_ 3x3 3x3 3x3 3x3 3x3

Координаты точек х (см), Э (рад) Напряжения (МПа), прогиб (см) Вариант аппроксимации Известное решение и (см) [11]

скалярная векторная

20 х 20 25 х 25 20 х 20 25 х 25

Точка приложения силы: х = 13,1445; Э = 0 ®хх 120,06 -138,59 -10,24 131,65 -150,34 -10,37 119,89 -139,06 -10,56 131,62 -150,62 -10,53 0,2865

Стее 173,69 -200,94 -16,73 185,16 -212,24 -16,81 173,56 -201,49 -17,08 185,25 -212,49 -16,89

и/2 0,283965 0,28403 0,28398 0,28404

Точка опирания: х = 13,1445; Э = п СТхх 120,06 -138,59 -10,24 131,65 -150,34 -10,37 119,89 -139,06 -10,50 131,62 -150,62 -10,53

Стее 173,69 -200,94 -16,73 185,16 -212,24 -16,81 173,56 -201,49 -17,08 185,25 -212,49 -16,89

Анализируя (12), можно отметить, что при векторном варианте аппроксимации перемещений каждая компонента вектора перемещения точки внутренней области четырехугольного элем

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком