КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 2, с. 125-131
УДК 521.352
СРАВНИТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ АСТЕРОИДОВ, СБЛИЖАЮЩИХСЯ С ЗЕМЛЕЙ НА ПРИМЕРЕ АСТЕРОИДА 99942 АПОФИС © 2014 г. Е. А. Смирнов, Е. И. Тимошкова
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, г. Санкт-Петербург Поступила в редакцию 08.08.2012 г.
Астероид 99942 Апофис является одним из наиболее опасных ныне известных астероидов, сближающихся с Землей. В данной работе на примере астероида Апофис оценивается погрешность прогнозирования его движения с помощью нескольких интеграторов на временном интервале с 2012 г. по 2029 г. Оценивалась величина минимального расстояния между центром Земли и Апофисом на момент сближения 13.IV.2029 года и ее погрешность. Показано, что эта погрешность для разных интеграторов по порядку величин сравнима с влиянием некоторых составляющих динамической модели движения таких, например, как влияние гармоник гравитационного поля Земли, солнечного давления, эффекта Ярковского и других.
DOI: 10.7868/S0023420614020083
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы отмечается многократный количественный рост популяции астероидов и комет за счет вновь открываемых объектов. Среди них особый интерес представляют потенциально опасные для Земли астероиды. Потенциально опасными для Земли (ПОА) принято считать астероиды и кометы, орбиты которых в принятую эпоху сближаются с орбитой Земли до расстояний (MOID) меньших или равных 0.05 а.е. Общее число ПОА в 2008г. составляло 979 астероидов, из них 240 нумерованных. На начало 2012 г. нумерованных ПОА насчитывалось уже 299 (http:// www.jpl.nasa.gov/). В связи с реально существующей опасностью столкновения таких астероидов с Землей возникает необходимость прогнозирования их движения с очень высокой степенью точности. Как видно на примере хорошо известного астероида 99942 Апофис задача высокоточного прогноза движения может оказаться трудно решаемой даже на небольших промежутках времени [4, 10]. Как показано в многочисленных исследованиях, основная трудность связана с прогнозированием орбиты после очень тесного сближения Апофиса с Землей в апреле 2029 г., когда его минимальное расстояние от Земли составит порядка 38 000 км. Это расстояние по оценкам разных исследователей на начало 2009г. вычислялось с ошибкой порядка 1000 км. После уточнения орбиты Апофиса с учетом новых оптических наблюдений минимальное расстояние Апофиса от Земли в 2029 г. согласно работе [12] уменьши-
лось на величину порядка 200 км и приблизило номинальную орбиту астероида к "замочной скважине", ведущей к столкновению в 2036 г. Было показано, что вероятности столкновения Апофиса с Землей в 2036 г., подсчитанные на основе мало отличающихся решений варьируются в достаточно широких пределах. Для примера сошлемся на работу Виноградовой, Кочетовой, Чернетенко и др. [4], где использовались три системы начальных данных — данные самих авторов (ИПА РАН), данные Лаборатории реактивного движения NASA (JPL) и начальные данные из каталога NEODyS. С использованием этих данных был рассчитан характерный размер "замочной скважины", при прохождении через которую 13.IV.2029 года Апофис выйдет на траекторию, приводящую к соударению с Землей в 2036 году. Обращается внимание на имеющиеся несоответствия в оценках параметров орбиты Апофиса и их точности, найденных различными группами исследователей из имеющихся на данный момент наблюдений. Следствием этих несоответствий являются различные оценки вероятности столкновения Земли с Апофисом в период после 2029 года.
Отдельный интерес представляют исследования воздействия малых эффектов на орбиту астероида. В частности, влияние солнечного давления на положение Апофиса составляет 5.7—12.9 км, а эффекта Ярковского — 19.7—40.6 км для номинальной траектории [17]. Кроме того, в той же работе была учтена несферичность Земли с точно-
стью до гармоник восьмого порядка и было выяснено, что вклад возмущений от гармоник третьего порядка в положение астероида составляет 1.256 км, тогда как возмущениями от гармоник более высоких порядков можно пренебречь, так как их значение не превосходит 10 метров. В качестве модели астероида авторами был выбран шар диаметром d = 270 м и плотностью р = 2.7 гм/см3. В более позднем исследовании при использовании сферической модели влияние солнечного давления на минимальное расстояние между Землей и Апофисом в момент сближения оценено в 4 км, а в других моделях — от 1 км до 88 км [26].
Для прогнозирования орбиты астероидов используются методы численного интегрирования уравнений движения. Известно, что при подобных расчетах существует несколько типов погрешностей, которые способны влиять на полученный результат. В первую очередь — это погрешности, связанные с методом интегрирования и погрешности, связанные со свойствами изучаемых движений, таких, например, как устойчивость или хаос. Зачастую хаос не может быть отделен от других типов численных ошибок. Многочисленные исследования динамики ПОА, выполненные в последние десятилетия показали, что численное интегрирование, выполненное разными методами, качественно дает картину движения схожую с тем, как если бы проводилось интегрирование одним и тем же интегратором, но с несколько измененными начальными данными. Но малая разница в начальных данных может вести к существенной модификации траектории движения, особенно для тех астероидов, которые имеют большие изменения своих орбит благодаря тесным сближениям или резонансам.
Таким образом, прогнозирование движения астероида в рамках одной и той же динамической модели и с одними и теми же начальными данными, но с помощью нескольких различных интеграторов можно рассматривать как некий пучок орбит, достаточно близких в начальный момент времени.
Целью данной работы является сравнительное изучение численного прогнозирования орбиты астероида Апофис с помощью нескольких интеграторов на временном интервале с 2012 г. по 2029 г. При этом проводится исследование и сопоставление точности методов численного интегрирования орбиты, таких как симплектический метод Йошиды [20, 25], самостартующий метод Эрмита [21], интегратор Эверхарта [16], восьми-шаговый метод типа предиктор-корректор (далее — ПК-8 [18]), метод Паркера—Сочаки [23, 24], экстраполяционный метод Булирша—Штера,
Гибридный интегратор, (два последних — [13]), а также оценка величины погрешности каждого из интеграторов. В работе мы не будем отдельно останавливаться на схемах указанных интеграторов, с которыми можно ознакомиться в оригинальных работах, ссылки на которые приводятся по ходу текста и в списке литературы.
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Для прогнозирования орбиты астероида Апофис в ряде работ [2, 4] был выбран интегратор Эверхарта [3, 12, 16]. Как известно, это — неявный одношаговый метод типа Рунге—Кутты, который использует полиномиальные разложения правых частей уравнений движения по времени, опираясь на приближение производных высоких порядков разделенными разностями, которое дает сравнительно большую погрешность метода в случае интегрирования вблизи особой точки дифференциального уравнения [7—9].
При использовании других численных методов, в которых реализуются иные интеграционные схемы временных рядов для правых частей уравнений движения, мы будем иметь и различные погрешности при прогнозировании движения на одном и том же интервале времени, связанные именно с самим методом. Поскольку эту погрешность метода при решении нелинейных задач сложно (или даже невозможно) отделить от малых погрешностей в начальных данных, то получаемые с помощью различных интеграторов результаты будем интерпретировать как спектр орбит с близкими начальными параметрами в начальный момент времени.
Нами были использованы программы из работы одного из авторов [8] реализующие некоторые из вышеописанных методов. Для реализации интеграторов и сопутствующего программного обеспечения нами был выбран ruby (http://ruby-lang.org) — современный язык программирования, дающий возможность быстро разрабатывать понятные и гибкие программы. В нем отсутствуют ограничения на количество знаков в дробной части вещественных чисел, так как последние могут быть представлены в виде строк, что позволяет практически избежать погрешности округления при выборе достаточно большой длины строки (мы остановились на 100 значащих цифрах).
Для оценки корректности работы интеграторов применялось несколько проверок. В частности:
1. Интегрирование вперед—назад по времени.
2. Интегрирование задачи двух тел и задачи трех тел с известным теоретическим решением [6, 22].
3. Интегрирование орбит планет Солнечной системы.
Одним из способов определения достоверности работы вышеуказанных интеграторов является вычисление сохраняющихся величин в кепле-ровой задаче:
N 2 N
М:М /
Таблица 1
Е = У^ - к2 У ,, У 2т< у к
I=1
ь =
Х<?/х р)
1=1
где E - полная энергия системы, L - полный угловой момент, p, q — обобщенные координаты [15]. Для сравнения интеграторов различного порядка и с различным шагом интегрирования нами было зафиксировано значение разности полной энергии до и после интегрирования (подробнее см. стр. 464—465, [15]). В результате тестирования выяснено, что на модельных задачах интеграторы работают корректно, а различия между ними минимальны.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОРБИТЫ АПОФИСА
Интегрирование уравнений движения Апофи-са проводилось в рамках следующей модели: гелиоцентрическая прямоугольная система координат, наличие возмущений от больших планет и Плутона, учет несферичности Земли с точностью до гармоники 2 порядка при входе астероида в сферу действия планеты [5, 6, 11, 17]. Мы не принимали во внимание эффект Ярковского и солнечное давление, хотя их влияние может присутствовать (см. [4, 17, 26]).
Уравнения движения, в приближении пренебрежимо малой массы астероида, выглядят следующим образом:
^ -к2 4+к к У
Л X
т,
XI - X X,
+ А.
Величина Значение Погрешность 1ст
а, Аи 0.92229566353022296 6.418 10- -9
е, град 0.19109046710277425 3.116 10- -8
град 3.3319428620301363 9.737 10- -7
ю,град 204.42937718964077 3.082 10- -5
О, град 126.42419150026129
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.