УДК 681.586.772.005
СРАВНИТЕЛЬНЫМ АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ РАБОТЫ ЕМКОСТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
Э.А. Кудряш«в
Предложена модель емкостных преобразователей (ЕП) с модуляцией воздушного зазора, учитывающая влияние малых отклонений размеров воздушных зазоров от их номинальных значений, а также паразитной емкости между рабочими электродами. Получены зависимости приведенного смещения нуля, вариаций чувствительности и коэффициента нелинейных искажений от упомянутых параметров для ряда алгоритмов работы ЕП.
введение
Емкостные датчики, известные с давних пор, получают сегодня все большее распространение. Это связано с простотой их изготовления средствами интегральной технологии и достижениями микроэлектроники, позволяющими реализовать разнообразные алгоритмы работы интегральных емкостных датчиков [1...3]. К их числу относятся дифференциальные алгоритмы:
У\(х) = (С2(х)-С,(х))/С0,
у2(х) = (С2(х) - С] (х))/(С] (х) + С2(х)),
у3(х) = С0/С,(х)-С0/С2(х),
(1)
а также упрощенные, квазидифференциальные алгоритмы:
у4(х) = С0/С,(0)-С0/С2(х), у5(х) = 1-С0(0)/С2(х).
(2)
В алгоритмах (1) и (2) С](х) и С2(х) — проходные емкости между подвижным и неподвижным электродами двух ЕП, включенных в дифференциальную измерительную цепь; Су — емкость конденсатора измерительной цепи. В литературе наиболее детально исследован классический дифференциальный алгоритм у\(х). Свойства же остальных из упомянутых алгоритмов, применяемых все чаще, изучены в гораздо меньшей степени. Ниже дается сравнительный анализ этих алгоритмов.
реальные уравнения преобразования емкостных преобразователей
Свойства алгоритмов (1) и (2) удобно исследовать на примере простейших ЕП с плоскими рабочими электродами. Уравнения преобразования подобных ЕП имеют вид:
С,(х) = С(0)((1 +а+Ь+пц) +с), С,(х) = С(0)((1 + а-Ь-тг)1 + с).
(3)
В выражениях (3) безразмерные параметры а и Ь характеризуют степень технологических разбросов воздушных зазоров Н] и //2 дифференциального ЕП относительно их номинального значения Щ\ а = 0,5(//] + + //2)/#о — 1, Ь = 0,5(Я] — //2)/#о. Параметр а характеризует симметричную, а Ь — антисимметричную составляющие упомянутых разбросов. В интегральных конструкциях ЕП параметры а и Ь могут достигать значений +0,1 и более, что связано с трудностями формирования и контроля толщины воздушных зазоров, составляющей единицы микрометров.
Пусть хт — амплитуда смещения подвижного электрода. В этом случае текущее перемещение х подвижного электрода удобно представить в виде х/II{) = пц, где т = хт/Щ — глубина модуляции воздушного зазора, а I — нормированная входная величина емкостного датчика, изменяющаяся в пределах —1 < I ^ 1.
Безразмерный параметр с = Сп/С(0), где Сп — паразитная емкость, а С(0) — расчетное значение проходной емкости между рабочими электродами ЕП при воздушных зазорах, равных IIРазмер паразитной емкости зависит от конструкции и способа включения рабочих электродов. Минимальные значения паразитной емкости Сп достигаются в многоэлектродных конструкциях ЕП [4, 5]. В них дополнительно используются экранирующие электроды, изолированные от рабочих. Обычно экранирующие электроды соединены с корпусом датчика. В таких ЕП большая часть силовых линий поля рассеяния рабочих электродов разрывается, замыкаясь на экран. Паразитная емкость Сп при этом определяется остаточными полями рассеяния между рабочими электродами, контактами разъемов, шинами печатных плат, выводами операционных усилителей, с которыми соединены рабочие электроды. Таким образом удается снизить значение емкостного отношения с до нескольких процентов.
методика сравнительного анализа
Любой из алгоритмов (1) и (2) с учетом реальных уравнений преобразования ЕП (3) может быть аппрок-
10
Вепвогв & БузгетБ • № 7.2001
симирован ограниченным степенным рядом на промежутке —1 < z < 1
y(z, да, а, Ь, с) = А (а, Ь, с) + В(т, a, b, c)z2 +
+ D(m, a, h, c)z3. (4)
Точность подобной аппроксимации удобно контролировать по значению приведенной погрешности
Yflfe да, а, Ь, с) = Hz, т, а, Ь с) -y(z. m, а, Ь с) у( 1, да, a, b, с)-у{-1, да, а, Ь, с)
Наибольшая точность аппроксимации достигается путем вычисления коэффициентов ряда (4) с помощью метода наименьших квадратов (МПК). В этом случае значения погрешности аппроксимации на интервале —1 < z í 1 и при значениях параметров да < 0,6; |а| <0,1; |6| < 0,1; с < 0,05 не превышают 2-10"3 % и 5-10"6 % соответственно для алгоритмов yj(z) и yj(z)- Для сравнения укажем, что при вычислении коэффициентов ряда (4) по формуле Маклорена значения погрешности аппроксимации оказываются на порядок более высокими. В частности, для алгоритмов yjiz) и yjiz) они достигают значений соответственно 3 • Ю-2 % и 6 • Ю-5 %. Быстрая сходимость ряда (4) позволяет использовать его для оценки основных метрологических характеристик упомянутых алгоритмов и изучения зависимостей этих характеристик от параметров да, а, 6 и с. Полагая в выражении (4) z = 0, получим оценку смещения 0 при отсутствии сигнала на входе: До (а, Ь, с) = А(а, Ь, с). Смещение 0 приходится подавлять с помощью органов коррекции в измерительной цепи. Для сравнения исследуемых алгоритмов по степени простоты схемной коррекции 0 удобнее воспользоваться приведенными значениями смещения 0:
Уо (да, а, Ь, с) = 0,5Ao(a, Ь, с)/В(т, 0, 0, 0). (5)
В качестве нормирующего значения в выражении (5) принято значение чувствительности соттветствую-щего алгоритма в точке z = 0, равное коэффициенту В(т, а, Ь, с) при а = b = с = 0. Степень отклонения реального значения чувствительности от указанного значения также удобно представить в относительной форме, например, в форме относительной вариации:
ys(a, h, с) = (В (т, а, Ь, с)
В(т, 0, 0, 0))/В(т, 0, 0, 0).
(6)
ул(да, а, Ь, с)
= л/[0,5 С(да, a, b, с)]2 + [0,25D(m, a, ¿,c)f В(т, a, b, с) + 0,75 £>(да, a, b, с) '
(7)
анализе коэффициенты ряда (4) вычислялись с помощью МНК. Для получения аналитических оценок использовалось представление ряда (4) в форме Маклорена. Вычисления осуществлялись, соответственно, с помощью арифметического и символьного процессоров системы МаШСаё7рго.
характеристики^ дифференциального алгоритма у, (г)
Принимая во внимание выражения (1) и (3), исследуемый алгоритм можно представить в виде:
да, а, с) = (1 + а — Ь — mzУx — (1 + а + Ь + mzУX■
(8)
Важное достоинство этого алгоритма заключается в независимости его харатеристик от паразитной емкости. Зависимость КНИ от параметров да, а и Ь может быть представлена выражением
Ул i = 0,25 т2Л
-4л)(1 + Ъ6Ь2/т2).
(9)
Наиболее сильное влияние на значение КНИ оказывают глубина модуляции да и степень асимметрии зазоров Ь. Зависимость КНИ от этих параметров для случая а = 0 представлена на рис. 1. Параметром семейства кривых, изображенных на рис. 1, является степень асимметрии Ь. Знак этого параметра не влияет на вид кривых, поэтому на рис. 1 он принимает ряд значений в диапазоне 0...0,05 с шагом 0,01. Кривая 1 (Ь = 0) является отрезком параболы ул1 = да2/4. По мере увеличения Ь (кривые 4^6) зависимость КНИ от да приобретает линейный характер ул1 = \,5\Ь\т. При да < 0,1 это приводит к существенному росту уровня нелинейных искажений. Так, кривая 1 пересекает уровень ул = 0,25% в точке с абсциссой да = 0,1. При степени асимметрии
Для сравнения исследуемых алгоритмов по степени линейности в качестве критерия целесообразно принять коэффициент нелинейных искажений (КНИ). Оценка КНИ функции (4) в диапазоне —1 < 1 имеет вид:
Оценки смещения 0 (5), вариации чувствительности (6) и КНИ (7) для каждого из алгоритмов находились в численной и аналитической формах. При численном
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 Глубина модуляции, т
Рис. 1. Зависимость КНИ алгоритма j>j(z) от т при а = 0:
1- b = 0;2-b = 0,01; 3 — b = 0,02; 4-b = 0,03; J— й = 0,04; 6- b =0,05
Ь = 0,05 (кривая б) то же самое значение КНИ достигается уже при т « 0,03.
Чувствительность дифференциального алгоритма (8) при а = Ь = 0 в точке z = 0 равна 2т. Для относительной вариации чувствительности (6) с точностью до второго порядка малости получим
у51 = + За2 + 362.
(Ю)
Таким образом, относительная вариация чувствительности в первом приближении прямо пропорциональна удвоенному значению параметра а. Влияние асимметрии воздушных зазоров (параметра Ь), существенно меньше, так как учитывается слагаемым второго порядка малости.
Приведенное значение смещения нуля алгоритма (8)
У01 « 0,56(1 + 2а)/т.
(П)
Из-за малых допустимых значений глубины модуляции (т < 0,1) даже незначительные нарушения симметрии ЕП приводят к весьма существенному росту уо 1 -Так, при |6| = 0,05 и допустимом уровне нелинейных искажений 0,25% из рис. 1 находим т < 0,03. В этом случае |у01| 80%.
характеристики алгоритма у2(2)
Этот алгоритм реализуется также с помощью классического дифференциального ЕП [6]. С учетом выражений (1) и (3) исследуемый алгоритм можно представить в форме:
у2(ъ т, а, Ь, с) =
_ (1 + а - Ь - пц)1 - (1 + а + Ь + пц)1 ^2) (1 + а+Ь+т$~1 +(1 + а-Ь-тгУ1 + 2 с
Зависимость КНИ этого алгоритма от параметров т, а, Ь и с имеет вид:
Уд2 = 0,25да2сл/(1 - 2а-2с+2ас)( \ + 36Ь2/т2). (13)
Сравнивая выражения (9) и (13), нетрудно заметить, что при одинаковых значениях параметров т, а и Ь уровень нелинейных искажений алгоритма (12) примерно в с раз меньше, чем у предыдущего. Таким образом, диапазон допустимых значений параметра т может быть существенно увеличен. Поэтому на рис. 2, где зависимость КНИ от упомянутых параметров представлена в графической форме, по оси абсцисс отложены значения глубины модуляции в диапазоне 0 < т < 0,5. Параметром семейства кривых, изображенных на рис. 2, является емкостное отношение с, которое принимает значения 0,01...0,05 с шагом 0,01. Параметр а оказывает на КНИ сравнительно малое влияние. Поэтому приведенные на рис. 2 результаты соответствуют случаю а = 0. При полной симметрии воздушных зазоров (Ь = 0) зависимость КНИ от глубины модуляции т и емкостного отношения с отображается семейством парабол (рис. 2, а). Уровень нелинейных искажений 0,25 % пересекает только одна из парабол с = 0,05 в точке с абсциссой т = 0,45. На рис. 2, б представлено анал
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.