ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 4, с. 5-13
ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.97
сравнительным анализ асимптотическои динамики множеств достижимости линеИных систем*
© 2007 г. Е. В. Гончарова, А. И. Овсеевич
Иркутск, ИДСТУ СО РАН Москва, ИПМех РАН Поступила в редакцию 12.09.06 г., после доработки - 06.03.07 г.
Проведено сравнение явных асимптотических формул для множеств достижимости линейных динамических систем с двумя типами ограничений на управление: геометрическими и ограничениями на полный импульс управляющего воздействия. Впервые проведено подробное доказательство асимптотических формул для случая геометрических ограничений. Показано, что, несмотря на близость постановки и методов решения задачи об асимптотике множеств достижимости для рассматриваемых типов ограничений, результаты получаются существенно различными. Так, для импульсного случая в пространстве форм множеств достижимости может возникать многомерный аттрактор, а в случае геометрических ограничений соответствующий аттрактор сводится к одной точке.
Введение. Работа посвящена сравнению фундаментальных асимптотических свойств множеств достижимости линейных динамических систем при наличии двух типов ограничений на управляющее воздействие: геометрические ограничения на управление и ограничение на полный импульс. Рассмотрим линейную автономную динамическую систему вида
x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) e M,
(0.1)
где управление и является, вообще говоря, обобщенной функцией времени.
Для случая геометрических ограничений и = = и(0 е Ш = К™ - ограниченная функция времени, удовлетворяющая условию
U(t) e U, t e [0, T],
(0.2)
а для случая ограничения на импульс и({)й1 - векторная мера со значениями в Ш = К™, удовлетворяющая условию ограниченности полной массы
M(udt) = J| |u (t) dt\\t
< 1.
(0.3)
Здесь х(0 е V = К", А и В - матрицы соответствующих размерностей. Предполагается, что множество М с V начальных состояний и множество и с Ш в (0.2) - центрально-симметричные выпуклые компакты, множество и имеет непустую внутренность и система (0.1) удовлетворяет условию Калмана полной управляемости.
В формуле (0.3) функция VI—— ||^|и есть банахова норма вектора V е Ш, для которой тело и с Ш является единичным шаром. Положительная мера ||и(0^||и задается формулой
J||u(t)dt\U = sup£ Ju(t)dt
где sup берется по всем счетным разложениям A = = uA„ борелевского множества A в объединение непересекающихся борелевских подмножеств A„. В правой части (0.3) стоит интеграл от этой меры.
Массу меры можно определить и по-другому
M(udt) = sup J( f, udt)
< 1,
где sup берется по непрерывным функциям f : [0, T —- W, удовлетворяющим оценке ||/(t)||Uo < 1 для всех t e [0, T], а U° - поляра множества U, т.е. y e U° {y, v) < 1 при всех v e U, угловые скобки обозначают стандартное скалярное произведение в W = Um.
Если u(t) = ^ v,5( t - t,), где сумма конечна, t, e [0, T], v e W, то
M(udt) = |v Ju ,
что оправдывает термин "ограничение на импульс". Заметим, что ограничения на управление (0.2) и (0.3) можно рассматривать как крайние случаи более общих ограничений вида
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект < 05-0100477, 05-08-50226) и Программы поддержки научных школ (грант 1627.2003.01).
T) j u (t )и
x(T)
< 1,
U
T
0
T
0
где p > 1. Случай p = 1, %(T) = 1 соответствует ограничению (0.3), а p = ^ x(T) = T - ограничению (0.2).
Цель настоящей работы состоит в анализе поведения двух семейств
■geometric ( T)
= {x(T) : x(-) - траектория системы (0.1), (0.2)},
■impulse ( T ) _
= {x(T) : x(0 - траектория системы (0.1), (0.3)}
множеств достижимости соответствующих управляемых систем при T —Множества достижимости обеих систем являются центрально-симметричными выпуклыми телами. Отметим, что если бы в качестве управлений в (0.3) рассматривались не меры, а ¿^функции, то возникающие множества достижимости не были бы, вообще говоря, замкнутыми.
В [1, 2] было указано на определенные преимущества в изучении форм множеств достижимости вместо самих множеств достижимости. Здесь под формой ShQ множества О понимается совокупность множеств, которые могут быть получены из О посредством обратимого линейного (или аффинного) преобразования. Основная идея применяемого подхода состоит в поиске асимптотической формулы вида ■(t) ~ C(t)0(t) при t —- где ■(t) - множество достижимости системы, C(t) -масштабирующая матрица (нормирующий множитель), а 0(t) - выпуклое тело с "хорошим" предельным поведением. Матричный множитель C(t) призван обеспечить сходимость преобразованных множеств достижимости O(t) при t —► Выбор масштабирующей матрицы и, следовательно, нормализация множеств S(t) могут быть проведены неединственным образом. В то же время форма ShO(t) нормированного множества достижимости совпадает с формой исходного множества достижимости ShS(t) и, следовательно, определена однозначно. Поэтому дальнейшие рассмотрения целесообразно перенести в пространство форм множеств достижимости.
1. Выпуклые тела и формы выпуклых тел. Напомним, что выпуклым телом О с V называется выпуклое компактное множество в V с непустой внутренностью. Выпуклое тело является центрально-симметричным, если -x е О для любого x е О. Как известно, опорная функция любого подмножества О с V определяется как функция
Но(^) := sup x>
x е О
на сопряженном пространстве V*, где x> - значение линейного функционала Е, на векторе x. Значениями функции НО могут служить вещественные числа, а также +«>. Отображение О i—- НО устанавливает взаимно однозначное соответствие между выпуклыми компактами и всюду конечными, однородными степени 1 выпуклыми
функциями. При этом выпуклые тела, симметричные относительно нуля, соответствуют однородным, четным и строго положительным вне нуля выпуклым функциям. Обозначим через В пространство центрально-симметричных выпуклых тел, снабженное метрикой Банаха-Мазура р
Р(ЙЬЙ2) = log (t (QbQ2) t (А^П)), где t(Q1, П2) = inf{t > 1 : tD1 з П2}.
Рассмотрим множество § всех классов эквивалентности на В, отнеся к одному классу выпуклые тела, которые могут быть получены друг из друга посредством невырожденного линейного преобразования. Элемент множества § называется формой, а множество § - пространством форм центрально-симметричных выпуклых тел. Таким образом, под формой ShD е § выпуклого тела П е В понимается орбита ShD = {CD : detC Ф 0} точки П относительно действия полной линейной группы GL(V) обратимых линейных преобразований1. Поскольку расстояние Банаха-Мазура р на В инвариантно относительно действия группы GL(V) : р(П1, П2) = p(CD1, CD2), где C - произвольная неособая матрица, то оно индуцирует метрику на §
р(ShDj, ShD2) = inf р(Пь CП2),
C, detC Ф 0
превращая § в компактное метрическое пространство.
Сходимость множеств достижимости Э(Т) и их форм понимается в смысле метрики Банаха-Ма-зура. Две функции времени со значениями соответственно в пространстве выпуклых тел или пространстве их форм называются асимптотически равными
П (т )~П2 (т),
если p(Dj(T), П2(Т))— 0 при T^ ShDj(T) ~ ShП2(Т), если р(ShDj(T), ShП2(Т)) — 0 при Т — -.
Сходимость выпуклых тел может также пониматься в смысле сходимости их опорных функций. Эквивалентность сходимости выпуклых тел в терминах сходимости их опорных функций и в смысле метрики Банаха-Мазура устанавливается леммой из [3].
Лемма 1. Последовательность П в В сходится к П е В в смысле метрики Банаха-Мазура тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность опорных функций H =
1 Отметим, что понятие шейпа (shape = форма) и обозначение ShD было также введено топологом К. Борсуком для работы с патологически устроенными компактами П. Ничего общего между этими двумя понятиями нет, равно как и нет контекста, в котором они могли бы смешиваться.
= Ип сходится к опорной функции Ип(£) поточечно и равномерно ограничена на единичной сфере в сопряженном пространстве V*.
В лемме 2 дается явный вид опорных функций множеств достижимости рассматриваемых систем.
Лемма 2. Множества достижимости Э;триье(Т и ^еотеМо(Т) систем (0.1), (0.3) и (0.1), (0.2) - центрально-симметричные выпуклые тела; их опорные функции определяются соответственно формулами
и9 (5) = HM(/ T5)-
^^ impulse(T )
+ sup Hv (B *
A*( T - t)
5),
[0, T]
H
ic(T)
(5) = HM(eA T5)
+ J HV(B*e
[ o, t ]
A*(T -1)
5) dt.
(1.1)
(1.2)
В частности, если и есть единичный шар в евклидовой норме | ■ |, то
hCJ (5) = Hm(ea t5)-
+ sup |B* e
[0, T]
A*(T -1)
5,
H
ic(T)
(5) = Hm (e 5) +
+
B* e
A*(T- tЬ
(1.3)
(1.4)
[ o, t ]
Делая замену переменных I получим
sup Hv (B* e
[0, T]
J Hu(B* eA
[0, t]
T _ t, немедленно (1.5)
5)dt = J H^(B*eA*t5)dt. (1.6)
[ 0, t ]
A*(T -1)5) = sup Hu (B * e 5),
[ 0, t ]
2. Описание конструкций. Для того, чтобы сформулировать основные результаты об асимптотике множеств достижимости рассматриваемых систем и предельном поведении форм множеств достижимости, потребуются предварительные построения.
Расщепление динамической системы. Рассмотрим каноническое разложение матрицы А системы (0.1)
(2.1)
А = A+ © A0 © А_
на неустойчивую, нейтральную и устойчивую компоненты в зависимости от знака действительных частей ее собственных значений. Разложение (2.1) порождает спектральные проекторы Р , и соответствующее разложение фазового пространства V в прямую сумму подпространств V, = PV, , е {+, 0, -}
V = V+ © V0 ©
Определим Vij, где , Фу, I,у е {+, 0, -}, как прямую сумму VIJ = V, © V,, а через Р,, Р у : V —► V,, V у обозначим соответствующие канонические проекторы.
Для каждого индекса а, где а = , или а= у, , Ф у, ,,у е {+, 0, -}, получим новую динамическую систему
Xa(t) = Aaxa(t) + Baи(t), xa(0) e Ma
(2.2)
при ограничениях на управление (0.2) или (0.3). Здесь I е [0, Л, *а(0 е Vа = PаV, Аа = РаАРа, В а = = РаВ и Ма = РаМ.
Нормирующие матричные множители. Рассмотрим разложение Жордана нейтральной компоненты матрицы системы А
A0 = D + N, DN = ND,
(2.3)
где В - диагонализуемая, N - нильпотентная матрицы. Существует такая вещественная матрица Р = Р(Т = Р^, Т), что
FNF~l = Tl N,
FD = DF, определена (матрица F^ = lim F(T))
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.