ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 2, с. 302-309
УДК 519.634
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФОРМИРОВАНИЯ ВИХРЕВЫХ КАСКАДОВ В РАЗЛИЧНЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ЗАДАЧАХ^
© 2015 г. С. В. Фортова
(123056Москва, ул. 2-я Брестская, 19/18, Ин-т автоматизации проектирования РАН) e-mail:fortova@icad.org.ru; sfortova@mail.ru Поступила в редакцию 24.06.2014 г.
Для различных задач механики сплошных сред, описываемых уравнениями гиперболического типа, проводится сравнительный анализ сценариев развития турбулентных течений в сдвиговых слоях. Доказывается, что для возникновения турбулентности принципиальной является пространственная постановка задачи. На развитой стадии турбулентности проводится спектральный анализ кинетической энергии и подтверждается закон —5/3 Колмогорова. Библ. 28. Фиг. 3.
Ключевые слова: математическое моделирование, сдвиговые слои, энергетический каскад, турбулентность.
DOI: 10.7868/S0044466915020088
1. ВВЕДЕНИЕ
Являясь наиболее часто встречающимися в природе и, одновременно, наименее изученными, турбулентные течения представляют собой широкий класс пространственных задач, для решения которых необходимо обладать набором теоретических, экспериментальных и вычислительных методик. Многообразие турбулентных явлений предполагает различные механизмы взаимодействий потоков сплошной среды.
Данная работа является обобщением результатов, полученных автором (см. [1]—[6]) при исследовании свободно-сдвиговых турбулентных течений (см. [7]). Представителями таких течений являются турбулентные следы за движущимися объектами в атмосфере и океанах, задачи о взаимодействии вдуваемой струи с основным потоком, задачи о взаимодействии мощного лазерного излучения с веществом, многие атмосферные явления и т.д. Характерной особенностью этих процессов является наличие больших градиентов газодинамических параметров и высоких чисел Re (см. [8]). Согласно теории Колмогорова—Обухова (см. [9], [10]), при больших числах Re турбулентное движение состоит из нескольких этапов: интервал энергии, инерционный интервал и интервал диссипации. Для широкого класса явлений при больших числах Re в энергетическом и инерционном интервалах турбулентного движения влияние молекулярной вязкости на общие характеристики потока в целом малозначительно. Поэтому численное исследование таких явлений проводится на базе моделей идеальной среды, а именно, уравнений Эйлера (см. [8]).
В данной работе исследуются начальные стадии возникновения турбулентности, соответствующие энергетическому и инерционному интервалам спектра. На основе прямого численного моделирования законов сохранения (уравнений Эйлера) исследуются различные сценарии возникновения неустойчивостей и развития вихревых каскадов. При формировании вихревых каскадов принципиальным является наличие в течении крупных структур, которые несут в себе основную энергию турбулентного движения (см. [7]—[8]). Черпая ее из сдвигового течения и передавая более мелким вихрям по иерархии, в результате осуществляется так называемый каскадный механизм передачи энергии, который завершается диссипацией энергии в тепло на высокочастотной части спектра.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фонда (соглашение № 14-11-00719) и Российской академии наук.
В свободно-сдвиговом течении из-за наличия градиента давления, зависящего от градиента скорости, турбулентность развивается в основном за счет взаимодействия турбулентных напряжений с осредненным потоком и формирования их величин, сравнимых с величинами вязких напряжений (см. [8]). По-видимому, данный процесс и приводит к образованию вихревых структур в гидродинамических неустойчивостях Кельвина—Гельмгольца и Рэлея—Тейлора [7] и последующему их развитию в вихревые каскады (см. [1]—[6]).
На примере сдвигового слоя невязкой сжимаемой идеальной среды при наличии постоянного внешнего воздействия (задача Колмогорова) и без внешнего воздействия (задача о сдвиговом слое) в данной работе показаны различные варианты возникновения вторичного течения и дальнейшее развитие неустойчивостей в виде вихревых каскадов. Двумерная теория течений в каналах и свободно-сдвиговых течений показывает отсутствие турбулентных режимов (см. [11]—[15]). Экспериментальные исследования плоского периодического течения [16] подтверждают эти результаты. Вопрос о существовании устойчивых автоколебательных режимов вторичного течения в двумерном случае подробно изучен в [17], [18]. Численный анализ решения показал существование критического числа Рейнольдса, при переходе через которое ламинарный режим становится неустойчивым и появляется вторичное стационарное течение. В настоящей работе доказано, что развитие турбулентности возможно только в пространственном случае, когда инерционные члены и поле давления в уравнениях движения начинают формировать крупные структуры и в течении появляются вихри. Дальнейшее развитие течения заключается в эволюции крупных вихрей и в генерации ими высокочастотной части спектра.
В [19] на основе численного решения уравнений Навье—Стокса предложено развитие турбулентности в трехмерном сдвиговом слое с учетом вязкости. Однако, как было показано ранее и подтверждено расчетами, ее влияние при формировании вихревого движения несущественно. В [20], [21] изучен переход к турбулентности для трехмерного плоского слоя смешения при нелинейном развитии неустойчивости Кельвина—Гельмгольца.
Схемы формирования турбулентного течения при различных параметрах течения и размерах расчетной области для сдвигового слоя невязкой идеальной среды при воздействии внешней силы и без нее подробно исследованы в [1]—[6]. Целью настоящей работы является обобщение полученных результатов, а также более глубокий анализ различий в сценариях формирования турбулентных течений для рассмотренных задач.
Отметим, что для расчетов использовались монотонные диссипативно-устойчивые разностные схемы с положительным оператором (см. [22]), хорошо себя зарекомендовавшие для расчета крупномасштабных течений. Эти схемы имеют второй порядок точности на гладких решениях и, являясь монотонными, не используют ни искусственную вязкость, ни сглаживание, ни процедуры ограничения потока, часто использующиеся в современных схемах вычислительной динамики жидкости. Численное моделирование выполнено на основе технологии параллельного программирования MPI с использованием указанной разностной схемы на вычислительных сетках до 106 ячеек.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА
Для численного исследования используется модель сжимаемого невязкого газа. Исходной для построения численных схем расчета задачи о сдвиговом слое без учета внешнего воздействия является полная система уравнений Эйлера, записанная в декартовых координатах в дивергентной форме (см. [17], [22]. Это — уравнения для плотности среды:
^ + Шу (р V) = 0,
от
уравнения для трех компонент плотности импульса:
^ + Шу (р uV) = - д-Р,
д? дх
^ + Шу (р vV) = - д-Р,
д? ду
^ + Шу(р^) = -д-Р - р8
ОТ 01
и уравнение для плотности полной энергии
+ div((p E + P) V) = -pgw.
dt
Исходной для построения численных схем расчета задачи о сдвиговом слое с учетом внешнего воздействия в виде периодической силы является полная система уравнений Эйлера с правой частью (Задача Колмогорова). Это — уравнения для плотности среды:
^ + div (p V) = 0,
dt
уравнения для трех компонент плотности импульса:
+ div(puV) = - — - p • ampl • sin(z),
dt dx
^ + div (p vV) = - d-P,
dt dy
^ + div(pwV) = -f - pg t z
и уравнение для плотности полной энергии:
+ div((p E + P) V) = -pgw.
t
Здесь t — время, (x, y, z) — координаты; V = (u, v, w) — вектор скорости; p — плотность; g — сила тяжести (в данных задачах g = 0), E = e + V2/2 — удельная полная энергия и e — удельная внутренняя энергия. В данной работе используется уравнение состояния p = (у — 1)ре идеального газа. Все вычисления выполнены в системе измерения СИ.
При численном моделировании мы использовали монотонные диссипативно-устойчивые разностные схемы с положительным оператором, не требующим введения подсеточной турбулентности и специальных фильтров для моделирования свободной развитой турбулентности (см. [1]—[6]). Предлагаемая методика является обобщением явной гибридной схемы (см. [22]). Эта схема имеет второй порядок точности на гладких решениях и, являясь монотонной, не использует ни искусственную вязкость, ни сглаживание, ни процедуры ограничения потока (flux limiter), что использующиеся в некоторых схемах вычислительной динамики жидкости. Для модельного линейного уравнения переноса это есть комбинация схем с ориентированными и центральными разностями. Для этой схемы в применении к уравнению переноса условие монотонности выполняется строго, т.е. любой монотонный набор значений функции в узлах сетки остается монотонным и через шаг по времени. В данной методике переключение между схемами с центральными и ориентированными разностями (определяющее квазимонотонность с сохранением второго порядка аппроксимации) выполняется отдельно для каждой характеристики и зависит от знака соответствующей характеристики и знака одного дополнительного параметра.
Наша вычислительная модель не учитывает вязкость и поверхностное натяжение, тем не менее, сама конструкция схемы с требованием монотонности обеспечивает некоторый нелинейный диссипативный механизм, который обеспечивает затухание коротковолновых гармоник. Другими словами, гармоники с длиной волны, меньшей, чем некоторая эффективная длина волны X¡, гасятся. Это подтверждается нашими расчетами. Очевидно, X¡ приблизительно равняется нескольким шагам вычислительной конечно-разностной сетки. С помощью данной методики мы выполнили большую серию расчетов различных видов неустойчивостей (см. [7], [17]), результаты которых показывают хорошее согласие с теорией и экспериментом.
3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается начальная стадия возникновения турбулентности в сдвиговом слое сжимаемой невязкой среды при наличии внешнего воздействия (задача Колмогорова) и при отсутствии внешнего воздействия (задача о сдвиговом слое). В качестве расчетной обла
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.