ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 9, № 1, 2013, стр. 8-16
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 53.047:533.66
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ ТОПОЛОГИИ (SIMP И Level Set) НА ПРИМЕРЕ РЕКОНСТРУКЦИИ КРЫЛА СТРЕКОЗЫ
© 2013 г. В.С. Шевцова1, М.С. Шевцова2
Представлен сравнительный анализ SIMP- и Level Set-методов оптимизации применительно к псевдодвумерным структурам крыльев насекомых. В экспериментальной части работы свежие крылья стрекоз исследовались с помощью лазерного сканирующего 3.0-микроскопа (VK-9700 Gen II). Данные о форме крыла и распределении в нем армирующих элементов использовались для сопоставления с результатами оптимизации. В численных экспериментах при построении конечноэлементной (КЭ) модели крыла с различным распределением аэродинамических сил, действующих на разных фазах взмаха, использовались уравнения пластины Миндлина с распределенными по поверхности упругими характеристиками. Показана лучшая производительность и стабильность Level Set-метода для относительно грубых структур. Обладающий большей вычислительной трудоемкостью и зависимый от КЭ сетки SIMP-метод позволяет создавать топологию ажурных крыльев насекомых. Представлены структуры крыла, оптимизированные с помощью пакета Comsol Multiphysics; дан анализ преимуществ и недостатков исследованных методов для решения задач оптимизации ажурных конструкций.
Ключевые слова: оптимизация топологии, конечноэлементный анализ, биомиметики, крыло насекомого, механика конструкций.
ВВЕДЕНИЕ
Современные машиностроительные предприятия заинтересованы в повышении надежности и качества своей продукции при одновременном снижении ее веса и трудоемкости изготовления. Чтобы отвечать многочисленным требованиям, передовые компании на различных этапах проектирования все чаще используют инструменты оптимизации конструкций, их топологии. Время разработки готового продукта заметно сокращается за счет создания оптимальной конструкции, отвечающей приложенным нагрузкам [1]. Совместимость современного CAD/CAE-программного обеспечения позволяет легко конвертировать результаты оптимизации топологии в техническую CAD-модель, пригодную для последующего изготовления элементов оптимальной конструкции [2].
Важным направлением в развитии методов оптимизации является обмен идеями между биологией и техникой. С одной стороны, технические термины и инструменты помогают лучше понять прин-
1 Донской государственный технический университет, 344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1; e-mail: barbaragen4@ mail.ru
2 Южный научный центр РАН, 344006, Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: mariamarcs@bk.ru
ципы работы живых организмов (биомеханика), с другой - природа часто подсказывает инженерам простые решения стоящих перед ними проблем. Круг идей, заимствованных инженерами из живой природы, очень широк. Воплощенные в технических устройствах принципы строения живых организмов были названы биомиметиками. Особенно ярко заимствование идей из природы представлено в создании малых беспилотных летательных объектов (MAVs - micro air vehicles и UAVs - unmanned air vehicles), предназначенных для осуществления разведки (слежения) в замкнутых пространствах [3, 4].
В статье решается задача оптимизации топологии структуры и ее численная реализация на примере крыла летающего насекомого. Мы принимаем морфологию крыла стрекозы как оптимальную природную конструкцию, сформированную из конкретного материала под воздействием заданных сил. В ходе эволюции крыло достигло эффективных аэродинамических характеристик благодаря нелинейному изменению паттерна расположения жилок, возникновению складчатости и изменению свойств материала в пределах структуры крыла.
Целью работы была качественная оценка характеристик и особенностей каждого из двух численных методов оптимизации топологии структуры: SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) [5]
и Level Set [6-8]. Группа подходов, методов и их численная интерпретация изучались и тестировались на различных задачах оптимизации топологии конструкций. Кроме названных выше известны также Evolutionary Structural Optimization (ESO) и Bidirectional Evolutionary Structural Optimization (BESO) [9], Hyper Radial Basis Function Networks [10], Genetic Algorithms [11, 12]. Перечисленные методы, различаясь представлением объекта конструирования, набором варьируемых параметров структуры и алгоритмом оптимизации, всегда используют КЭ-анализ смещений (деформаций) и тот или иной критерий оптимальности. Одинаковым для всех методов является первый шаг - создание начальной модели. Итерационная часть алгоритма включает: выполнение КЭ-анализа текущей модели для получения поля смещений и деформаций, расчет податливости (энергии упругой деформации) модели; если улучшение критерия оптимальности незначительно, процедура останавливается. В противном случае, в соответствии с выбранным методом и согласуясь с наложенными ограничениями, производится изменение параметров дизайна, выполняется перестроение КЭ-модели, расчет поля смещений, податливости и т.д.
Для всех методов оптимизации характерны сходные трудности: проблема шахматной доски, зависимость от разбиения сетки и проблема локального минимума [9, 13, 14]. Проблема шахматной доски выражается в том, что паттерн оптимизированной модели имеет разрывы сплошности и несвязанные "островки" материала. Для борьбы с проблемой шахматной доски авторы [9, 13] предлагают различные схемы фильтрации. Так называемая зависимость от сеточного разбиения заключается в том, что использование различных КЭ сеток приводит к различным "оптимальным" топологиям. Эта трудность в ряде работ была преодолена с использованием метода управляемого периметра, схемы фильтрации чувствительности [13], но в общем случае проблема КЭ-разбиения до сих пор не решена. Представляется, что наиболее эффективный выбор метода оптимизации конструкции и его тестирование могут основываться на использовании в качестве оптимизируемого объекта конструкции, созданной живой природой. Этот подход использован в нашей статье.
Ниже проиллюстрированы некоторые результаты оптимизации "крыла стрекозы" Level Set- и SIMP-методами с использованием механической КЭ-модели плиты Миндлина, на которую действуют аэродинамические силы, соответствующие различным фазам взмаха крыла. Все механические характеристики моделируемого крыла были взяты из оригинальных исследований [15, 16]. Геомет-
рия и топология расположения жилок получены экспериментально путем исследования влажных и высушенных крыльев стрекоз с помощью лазерного сканирующего 3.0-микроскопа. В заключение обсуждается эффективность использованных методов оптимизации для тонких псевдотрехмерных структур.
МОРФОЛОГИЯ КРЫЛА СТРЕКОЗЫ. ТОПОЛОГИЯ, МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ
Обычно насекомые имеют две пары крыльев (см. рис. 1), которые могут видоизменяться или редуцироваться: например, у жуков передние крылья видоизменились в жесткие надкрылья, а у двукрылых задние крылья превратились в галтеры, выполняющие функцию гироскопа. Крылья насекомых - двухслойные мембранные структуры, поддерживаемые склеротизированными жилками. Жилки взрослых насекомых представляют собой заполненные гемолимфой трубки круглого сечения, по которым проходят нервы и трахеи. При выходе насекомого из куколки крылья его расправляются в результате нагнетания гемолимфы по жилкам и заполнения трахейных трубок воздухом. Однако до сих пор неизвестно, участвует ли ток гемолимфы в придании жесткости крыльям взрослых насекомых.
Существенную особенность морфологии крыльев составляет характер жилкования. По расположению жилки делят на продольные и поперечные. У высших форм количество поперечных жилок сокращается или же они исчезают совсем. В этом случае функцию поддержки крыла выполняют только продольные жилки, поэтому паттерн их расположения в разных отрядах насекомых почти оди-
Рис. 1. Общий вид жилкования крыла насекомого на примере азиатской саранчи Locusta migratoria
ш Д V \ г
Рис. 2. Примитивное жилкование крыла стрекозы - древнего представителя класса Насекомые
Рис. 3. Двукрылые - наиболее высокоразвитый представитель класса Насекомые - продольные жилки смещены к передней кромке крыла
наков (см. рис. 2, 3). Продольные жилки являются поочередно выпуклыми и вогнутыми, поэтому крыло на поперечном сечении выглядит складчатым. Складчатая структура позволяет достигать при каждом взмахе намного более высоких значений подъемной силы, чем если бы крыло было абсолютно плоским. Для насекомых высших семейств и подотрядов характерно смещение продольных жилок к переднему краю крыла. Это способствует укреплению передней кромки и улучшению аэродинамических показателей крыла. Расположение жилок влияет на летные качества насекомого, поскольку от него зависит жесткость материала крыла. Таким образом, крылья каждого насекомого идеально подходят для соответствующего ему типа полета.
а
Аэродинамика и динамика крыльев насекомых подробно изучаются механиками, математиками, специалистами по проблемам управления, главным образом в целях разработки и проектирования беспилотных летательных объектов (MAVs & UAVs) [17].
Измерение механических свойств крыльев насекомых напрямую затруднено из-за мелких размеров и хрупкости объектов. Агрессивные вмешательства, такие как привязывание или добавление веса, неблагоприятно воздействуют на биомеханику летательной системы в целом. Поэтому впервые жесткость крыльев насекомых была измерена путем приложения точечных сил к изолированным секциям крыльев стрекоз и саранчи [15, 16, 18]. По результатам этих экспериментов были рассчитаны модуль Юнга E ~ 2,2 • 109 Па и плотность р ~ 1200 кг/м3.
Эти данные были использованы в наших численных экспериментах. Чтобы узнать приблизительную толщину жилок и мембраны, были проведены измерения с помощью лазерного сканирующего 3-О-микроскопа (VK-9700 Gen II), позволившего проводить бесконтактные измерения формы крыла и распределения в нем армирующих элементов (см. рис. 4), которые впоследствии использовались для сопоставления с численными результатами оптимизации.
Качественная оценка, проведенная с помощ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.