МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Л. А. АГАЛОВЯН, Р. С. ГЕВОРКЯН, А. Г. САРКИСЯН
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕСВЯЗАННОЙ И СВЯЗАННОЙ ТЕОРИЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ
На основе асимптотического решения трехмерной динамической задачи связанной термоупругости (учитывается взаимное влияние полей деформации и температуры) для изотропной прямоугольной пластины, проведен сравнительный анализ результатов по этой теории и по теории температурных напряжений. Установлены параметры, значения которых влияют на применимость этих теорий, а также прикладной теории по решению квазистатических задач термоупругости.
Ключевые слова: асимптотическое решение, термоупругость, связанная и несвязанная задачи, сравнительный анализ.
1. Постановка краевой задачи и вывод разрешающих уравнений связанной динамической задачи термоупругости асимптотическим методом. К настоящему времени сформулировались два основных подхода в исследованиях влияния температурного поля на деформируемое тело. Первый подход более ранний и основан на теории температурных напряжений, которая не учитывает связанность полей деформаций и температуры. По этой теории сначала решается классическое уравнение теплопроводности (без учета члена, характеризующего влияние деформации на поле температуры), определяется распределение температуры в теле затем интегрируются уравнения теории упругости, учитывающие влияние найденного температурного поля по модели Дюамеля—Неймана [1]. В прикладных задачах возможен и упрощенный вариант этой теории — квазистатическая задача термоупругости, в которой не учитываются эффект связанности температурного поля и поля деформации, а также силы инерции, обусловленные нестационарным температурным полем [1, 2].
Теория связанной термоупругости учитывает взаимодействие полей деформации и температуры посредством учета в уравнении теплопроводности члена, характеризующего влияние скорости изменения объемной деформации на температурное поле (обобщенное уравнение теплопроводности) и, таким образом, связывает две отдельные ранее независимые дисциплины — теорию упругости и теорию теплопроводности, объединяя их в одно гармоническое целое [2]. Однако бытует мнение, что решения получаемые в рамках связанной термоупругости в количественном отношении не слишком сильно отличаются от решений теории упругости и теории теплопроводности и учет взаимовлияния полей деформации и температуры представляет интерес только в динамических задачах, где обнаружен качественно новый эффект — затухание упругих волн [1, 2]. На возникающие тут вопросы, естественно, можно ответить, имея соответствующие общие решения связанной задачи. В частности установлено, что связанность механических и температурных полей становится существенной для высокочастотных периодических и импульсных воздействий [3] и для тел с характерными размерами порядка микрона [4]. Достаточно полный обзор исследований по этой проблеме содержится в [4].
В последние десятилетия интенсивно развиваются асимптотические методы решения связанных и несвязанных задач термоупругости, особенно для тонких изотроп-
ных, анизотропных и слоистых тел, позволяющие ответить на множество вопросов в этой области [5—10].
На основе уравнений и соотношений трехмерной теории связанной термоупругости асимптотическим методом рассмотрим один класс задач для изотропных пластин, позволяющий выявить главные параметры, влияющие на применимость той или иной теории термоупругости.
Имеем пластину (слой), в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz занимающую область
Q. = {х, y, z: -да < x, y <да, -h < z < +h, h < l}
где l — некоторый продольный характерный размер пластины.
Пусть лицевым поверхностям z = ±h пластины (слоя), имеющим, соответственно, температуры
0(х, y, z = ±h, t) = 0± sin©t (1.1)
сообщены перемещения
Uj(x, y,±h, t) = uj±(x, y)sin©t, j = x, y, z (1.2)
Для пластины конечных продольных размеров |x| < a, |y| < b к решению сформулированной выше (внутренней) задачи /nt следует добавить согласованное с ним решение задачи пограничного слоя Ib [5, 11, 12]. Начальные условия не ставятся, поскольку рассматривается установившийся термодинамический процесс. Требуется определить и исследовать напряженно-деформированное состояние и температурное поле пластины. Решение задачи подразумевает нахождение, удовлетворяющее граничным условиям (1.1), (1.2) и следующей системе уравнений теплопроводности и движения
Y72n 1 Зл W* * * E T0
V 0---0 - n* — divu =--, n * = a*--0
xdt 1 dt X* 1 1 - 2v^*
Л (1.3)
daxx daxv daxz .. , ч
+ + = pUx (x, y, z)
dx dy dz
решения при выполнении соотношений упругости изотропного тела с учетом тепловых деформаций по модели Дюамеля—Неймана
— = -1-(axx - v(avv + azz)) + a * 0
dx 2 G( 1 + vY yy zz
. . (1.4)
dux duz 1 . .
аё + ~d¿ = G °xz (x,y,z)
где E, G — модули Юнга и сдвига, v — коэффициент Пуассона, р — плотность, а* — коэффициент линейного теплового расширения, X* — коэффициент теплопроводности, X = Х*/се — коэффициент температуропроводности, еЕ — удельная теплоемкость при постоянной деформации, 9 = T — T0 — изменение температурного поля, T0 — начальная абсолютная температура, W* — удельная плотность источника тепла, п* — коэффициент влияния деформационного поля на температурное поле. Принимается, что W* известно и изменяется по закону W*(x, y, z, t) = W(x, y, z)sinrat.
Все неизвестные функции будем искать в виде
Q(x, y, z, t) = 01 (x, y, z) sin © t + 02 (x, y, z) cos © t
Q = { Uj, <3¡j, 0}, i, j = x, y, z в частности aiJ(x, y, z, t) = oiJ1(x, y, z)sinrot + alj2(x, y, z)cosrat.
Перейдем к системе безразмерных координат п, С и безразмерным перемещениям по формулам
х = /£,, у = Щ, г = НС, = 1е = Н/I, их = 1и, иу = Iи, = (1.6)
В результате получим сингулярно возмущенную геометрическим малым параметром е систему уравнений, решение которой ищется в виде асимптотического разложения [8, 13]:
0к(х, у, г) = 6ХЙ + ^(^,0, 5 = ОД к = 1, 2 (1.7)
где обозначение 5 = О, £ означает суммирование по немому (повторяющемуся) индексу 5 по целочисленным значениям от нуля до числа приближений S; Qk — любая из неизвестных компонент вектора перемещения (ык, ик, ^к), тензора напряжений и изменения температуры 9к; XQ — асимптотический порядок соответствующей величины. Считая, что с самого начала необходимо учитывать влияние деформационного поля на температурное [2, 5, 7, 8, 14], после подстановки (1.7) в (1.3) и (1.4) получим
непротиворечивую систему дифференциальных уравнений для определения О^'5, если Хи = 0 для всех перемещений, = —1 для всех напряжений, а для температурной функции Хе = -1.
Заданную функцию интенсивности источника тепла представим в виде асимптотического разложения
Щх, у, г) = 6- 3 , 5 = ОД, &0) = Н* Ж,
= 0, 5 Ф О
Считается, что с самого начала вклад источника тепла соизмерим со вкладом температур 9± и перемещений и± , заданных на поверхностях г = ±й. Это будет тогда, когда
к3Ж/(1Х*) порядка единицы. В противном случае, например, при к3Ж/(1Х*) = О(е), вклад источника тепла будет на порядок меньше и соответствующие слагаемые будут входить в приближения 5 > 1.
Подставив (1.7), (1.8) в преобразованные согласно (1.5), (1.6) уравнения (1.3), (1.4) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в левых и правых частях, получим две системы непротиворечивых разрешающих рекуррентных уравнений. Одна из них в исходном приближении (первый шаг итерации) непосредственно не связана с температурным полем пластины и имеет вид
(л) i—
д ик 2 (5) „(5) , Р „( п) п п
—к- + у ик = Кик, У = юН Ок) = 0, п < О
= „*дЭГ) 1 д2ык- 1) д2и(-- 2) 2 ( 1 — V ) д 2 и(к - 2) 1 д2 ок-2),1.9)
ик 1 д\ 1 - 2V д£,дС ¿5 £ 2 1 - 2 V дп2 1 - 2 V д\дп , (^; ик, ик), к = 1, 2, у* =
1-2 V
Вторая система связывает нормальное перемещение пластины с ее температурным полем:
д2ек5)
д Щ' 5С2
, (1 т/\( а(*) , дк^ лМ ©Л2 *,2
+ (3 - 2к)(дез_к + г —д^-) = явк, 9 = —, г = ©п*Л
М
«М =
к = —
+р^ = в * +¿й, р = у2,^, в* = а
1 (д2 ик—1\ д2 —1
2(1 — V)'
Л + V
1 — V
2(1 — v)V д£д£ дпд^ 2(1 — V)
1 — 2 V
/-2 (5 — 2) -2 (5 — 2)Л
д£,2
+
= (к — 2) ^ — д2е^) — д2е^) + (2к — 3 + д и3—к
дп
(5—1
д£,2
дп
дп
(1.10)
к = 1, 2
Компоненты тензора напряжений определяются вытекающими из тех же преобразованных уравнений (1.3), (1.4) рекуррентными формулами
а« = —у*е« + Я« , ¿к = (^ + ^^
1 — 2V дС к 1 — 2v( д дп '
м = 2 V £ д ^к .,*е(5) + л*) _(в) = иххк = 1 2V к + Яххк, хУк = дп
(дик—1)+д ок—1
д^
(1.11)
Я(5) =
2 ( 1—V ) <?д и1; 1 )+^ д_ир (*, у. ^; и, и), к = 1,2
.,(^ — 1)
1 — 2 V д£, 1 — 2 V дп
Решив системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.9), (1.10), определим компоненты вектора перемещения, температурное поле, а по формулам (1.11) — компоненты тензора напряжений. Соответствующее решение будет содержать неизвестные функции, зависящие от тангенциальных координат п, которые однозначно определяются из условий (1.1), (1.2).
2. Решения краевых задач. Система уравнений (1.9), (1.10) содержит параметры у, р, в*, q, г, которые связаны с физико-механическими характеристиками материала пластины, ее толщиной и частотой ю внешнего воздействия. В зависимости от асимптотических порядков этих параметров из систем (1.9), (1.10) вытекают уравнения, соответствующие той или иной прикладной теории термоупругости [2]. Из первого уравнения (1.10) следует, что связанность термоупругой задачи зависит от порядка параметра г = юй2п*. Если г порядка единицы, то задачу термоупругости необходимо решить как связанную. Из этого уравнения также следует, что связанность задачи в первую очередь обусловлена взаимовлиянием температурного поля и изменяемостью нормальной компоненты вектора перемещения по толщине пластины. В связи с этим отметим, что в рамках гипотез классической теории пластин Кирхгофа—Лява т = ^(х, у), т.е. <Э3^/<9(^3 = 0, и казалось бы, задача термоупругости согласно (1.10) должна становиться несвязанной. Однако, как показано в [15, 16], гипотезы классической теории тонких тел (балки, пластины) в плоских и пространственных задачах о вынужденных колебаниях неприменимы.
Ниже будет показано, что можно н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.