ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 456, № 5, с. 537-540
= ФИЗИКА =
УДК 534.1
СРЫВ КОЛЕБАНИЙ ГРАФЕНОВОГО РЕЗОНАТОРА КАК СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЕГО СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСКТИК
© 2014 г. Академик Н. Ф. Морозов, И. Е. Беринский, член-корреспондент РАН Д. А. Индейцев,
О. В. Привалова, Д. Ю. Скубов, Л. В. Штукин
Поступило 12.02.2014 г
Б01: 10.7868/80869565214170101
Для наиболее точного определения спектральных характеристик необходимо получение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) с ярко выраженным дискретным спектром. Ширина резонансного пика зависит от добротности системы, определяемой ее диссипативными свойствами. Внесение инерционного включения в такую систему изменяет ее спектр, что может быть использовано для выявления самого включения. Точность определения резонансной частоты зависит от ширины резонансного пика АЧХ (точность обратно пропорциональна добротности). Поэтому, с одной стороны, необходимо увеличивать добротность для наиболее точного определения изменения спектральных характеристик, с другой — ее уменьшать, чтобы не пропустить исследуемый резонанс. В настоящей работе предлагается использовать нелинейность АЧХ наноре-зонатора, находящегося под действием переменного электрического напряжения, с целью более стабильного определения его изменяющихся резонансных свойств.
Полученные в последнее время новые нанома-териалы и технологии их использования способствуют разработке принципиально новых нано-электромеханических систем, в частности, нано-резонаторов. Обзоры современного состояния подобных систем и их потенциальных приложений даны в [1, 2]. Одним из распространенных применений резонаторов является их использование в качестве детекторов массы. Такие системы представляют собой тонкую пленку, кристалл или кантеливер, колеблющиеся с частотой до нескольких сотен мегагерц. В результате прилипания частицы (молекулы, атома) к гибкой поверх-
Институт проблем машиноведения Российской Академии наук, Санкт-Петербург Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
ности ее резонансная частота меняется. Этот эффект позволяет определить массу прилипшей частицы.
Серьезным недостатком при использовании резонатора на основе графена является его низкая добротность (порядка 100) [2, 3]. Последнее вызвано "джоулевой" диссипацией, т.е. преобразованием электрической энергии в тепловую из-за возникновения вихревых токов в самом графено-вом слое [4, 5].
В настоящей работе рассматривается принципиально новая возможность использования такого резонатора, позволяющая повысить точность измерения собственной частоты при невысокой добротности колебательной системы. Резонатор на основе графенового слоя рассматривается как электромеханическая колебательная система, в которой механические колебания графенового слоя возбуждаются переменным электрическим полем в пространстве между графеновым слоем и проводящей поверхностью. Такая система пред-ставет собой конденсатор, емкость которого зависит от поперечной деформации графенового слоя. Электрическое поле создается внешним источником переменного напряжения. В отличие от использования линейной АЧХ в настоящей работе предлагается учесть нелинейные эффекты, сопутствующие колебаниям в электрическом поле. Они приводят к "мягкой" АЧХ со срывом колебаний. Измерение частоты срыва возможно с большей точностью, чем нахождение максимума амплитуды линейной АЧХ.
Графеновый слой и проводящая поверхность являются обкладками конденсатора, который подключен к источнику переменного напряжения. Под действием сил взаимного притяжения между обкладками конденсатора графеновый слой прогибается. Это приводит к изменению емкости конденсатора в зависимости от прогиба. В первом
3
537
538
МОРОЗОВ и др.
приближении считаем, что емкость зависит от прогиба графенового слоя x(t)
C = sso , (1)
d0 - x (t)
где S — площадь обкладки, d0 — расстояние между графеновым слоем и проводящей поверхностью при отсутствии электрического поля.
Движения электромеханической системы описываются системой взаимосвязанных уравнений
О2dC • 1 U
mX - —--+ сд = 0, О + — О = -sin ю t, (2)
2 C2 dx ^ RC R W
где m — масса графенового слоя, cg — его жесткость на изгиб, Q — заряд конденсатора, R — сопротивление электрической цепи, подводящей к конденсатору переменное напряжение Usinat. Первое уравнение системы (2) описывает механические колебания графенового слоя (обкладки конденсатора) под действием электрической силы взаимного притяжения. Второе уравнение системы (2) представляет собой уравнение баланса напряжений в электрической цепи.
Введем безразмерные переменные т = Xt, q = -0 ,
О0
где X = М — собственная частота изгибных коле-I т
баний графенового слоя, О0 = С0и0 — исходный постоянный заряд конденсатора, возникающий под действием приложенного постоянного напряжения и0, = — .В результате получим систему
уравнений с "основными" параметрами, где точкой теперь обозначена производная по новому "безраз-
ю .
мерному" времени т, Q =
X
| - aq + = 0, q + к( 1 - £,)q = икsinQt. (3) Здесь параметры
a=
C о U0 , 2 m X2d0
к=
1
RC0X
и =
U U о.
(4)
Физический смысл введенных параметров следующий: а — отношение потенциальной (электрической) энергии конденсатора при начальном запасенном заряде О0 = С0 и0 к амплитуде кинетической энергии при гармонических колебаниях обкладки массы т с собственной частотой X и амплитудой d0, к — отношение периода свободных механических колебаний обкладки конденсатора ко времени затухания — убывания начального заряда емкости, включенной на сопротивление R,
и = — — масштабированная амплитуда внешнего
го гармонического напряжения.
Вдали от резонанса или при малом прикладываемом переменном напряжении (малом и) амплитуда колебаний обкладки мала. В этом случае можно считать емкость не зависящей от прогиба, и уравнения (3) линейные. При этом происходят вынужденные колебания графенового слоя с частотой 2Q.
Рассмотрим равновесие графенового слоя под действием постоянного электрического напряжения (Q = 0). Очевидно, что недеформированное состояние графенового слоя не является положением равновесия при наличии постоянного электрического поля. Положений равновесия может быть два — устойчивое с меньшей деформацией и неустойчивое с большей — или, в зависимости от прикладываемого напряжения, не быть вообще.
Учет влияния прогиба графенового слоя на емкость конденсатора приводит к трем основным выводам. Во-первых, сила взаимодействия эквивалентна наличию упругого основания с нелинейной отрицательной упругостью. Во-вторых, внешнее поле возбуждает вынужденные колебания с удвоенной частотой по отношению к частоте внешнего воздействия (электрического напряжения). В-третьих, возможно возбуждение параметрических колебаний.
Резонансные режимы возможны вблизи Q = 0.5 (совпадение обычного резонанса со вторым параметрическим) и при Q = 1 (главный параметрический резонанс).
Приближенное решение нелинейной системы (3) будем искать в предположении малости a = 6 a
и большого значения к = к . Решение системы (3)
6
может быть найдено методом, подобным методу Ван-дер-Поля. Переменную ищем в виде квазигармонической функции с "медленными" коэффициентам as, ac при гармониках и c обязательным удержанием медленно меняющейся постоянной составляющей a0:
£,(т) = а0(бт) + as (бт) sin т + ас(бт) cos т,
. (5) 4(т) = as(бт) cosт - ac(бт) sinт.
Используя проекционный метод, для медленных коэффициентов получим систему интегро-дифференциальных уравнений:
6 ~ f 2 6 ~ Г 2
a0 = —a q dT, as = -a q cosтdT,
2 n
2п
ac = -6a Jq2sinTdT.
(6)
n
0
Квазистационарное решение второго уравнения системы (3) ищем, пренебрегая первым слагаемым. Физически такое пренебрежение соот-
2
2
п
п
0
0
СРЫВ КОЛЕБАНИИ ГРАФЕНОВОГО РЕЗОНАТОРА
539
5
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2
0
0.8 0.6 0.4 0.2
0
-0.2 -0.4 -0.6
500
0.8 0.6 0.4 0.2
0
-0.2 -0.4 -0.6
500 т
П = 0.38 -0.8 НР П = 0.50 П = 0.51
Рис. 1. Численное решение ^(т) при различных частотах возбуждения.
5 0.8
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8
250 т
Рис. 2. Численное решение О = 0.5.
ветствует малой постоянной времени электрической цепи. Тогда для заряда имеем следующее выражение:
Я
ц бш От
1 - %
ибш от
р - а,,Б1пт - асеоБт
(7)
Г~2 2
, , ла, + ас ас
где р = 1 - а0, Ь = --с, ф = - .
р а
Для интегралов в (8) получены аналитические выражения:
/0 =
1 - еоБ т
Рассмотрим режим, близкий к обычному резонансу, т.е. О = 0.5 + б5 с малой отстройкой от резонанса. Тогда уравнения (6) приобретают вид
2[ 1 - Ь бш (т + ф)]
-йт =
п
2п
ап =
2па(р) I
1 - еоБ т
(1 - Ь2 )Л
:(1 - ЬБШф),
2 [ 1 - Ь бш (т + ф)]
-йт,
2п
= 1
-Ь 1 - еоБ т
6 --с к
р) I
1 - еоБ т
2 [ 1 - Ь бш (т + ф)]2
■еоБ т йт, (8)
Ь п
2 [ 1 - Ь бш (т + ф)]
-еоБтйт =
бш ф + -11 -
(1 - Ь2 )71 - Ь2 Ь л/Г-Ь
1 ) 2 -)пеоБ ф-
г 2)
■па (р) I
1 - еоБ т
2 [ 1 - Ь бш (т + ф)]
-бш тйт,
1 -
+
Ь - Ь2 (1 - Ь2 )7 1 - Ь2
П Б1П ф,
(9)
2
п
0
2
п
0
с
0
0
0
000215000101000201000201480200010002
540
МОРОЗОВ и др.
%
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58
Q
Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика.
2п
= \
1 - cos т
2 [ 1 - b sin (т + ф)]2
■sin тйт =
b я
( 1 - b2 )JÎ
;COS ф +
- bA
+
bVl - b2 b2 2 ( 1 - b2)V 1 - b2
:)я sin2 ф.
Система уравнений (9) в стационарном случае, когда амплитуда колебаний Ь, фаза ф и a0 являются постоянными, при выбранных параметрах ба = 0.1,
к = 10, и = 1 имеет два решения с разными посто-6
янными составляющими a0 = 0.0455, a0 = 07677 и
одинаковыми Ь = 0.7071 и ф = 1.5708 - - . Первое
соответствует устойчивому, второе — неустойчивому стационарному периодическому режиму. В случае установившихся колебаний устойчивым является движение слоя с меньшей постоянной составляющей и большей амплитудой.
Приведем результаты численного расчета задачи Коши системы уравнений (3) для указанных выше параметров. На рисунках приведены осциллограммы О в случаях £,(х), близких к 0.5 (рис. 1).
Рисунок 1 — численное решение £,(х) при различных частотах возбуждения. Хорошо виден срыв колебаний при уменьшающихся значениях ниже 0.5. Послед
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.