ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 79. Вып. 2, 2015
УДК 531.3
© 2015 г. Д. В. Баландин
СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ РОТОРА В КОЖУХЕ, ЗАПОЛНЕННОМ ГАЗОМ
Изучается возможность стабилизации неустойчивого поперечного движения вращающегося в кожухе ротора за счет изменения гидродинамических сил, действующих на ротор со стороны газа, заполняющего кожух. Желаемое изменение сил оказывается возможным за счет применения специальных корректоров, расположенных на внутренней цилиндрической поверхности кожуха. Получены устойчивости поперечного движения ротора. Приведен пример корректора, обеспечивающего устойчивое движение.
1. Неустойчивость вращающегося ротора, вызванная действием гидродинамического трения. Известно [1, 2], что вращающийся в кожухе ротор при наличии трения об окружающую его среду (газ) в отсутствие демпфирования приобретает неустойчивое поперечное движение. Напомним эту известную модель неустойчивого движения ротора [2]. Ротор вращается с угловой скоростью ш в цилиндрическом кожухе, заполненном газом (левая часть фиг. 1). Если центр ротора 01 совпадает с центром кожуха О, то трение о газ вызывает только тормозящий момент, который не сказывается на положении оси ротора. При смещении оси ротора возникают неконсервативные силы, которые приводят к неустойчивости движения.
При смещении центра ротора на вектор г1 с координатами х и у в системе координат Оху средняя скорость газа в каждом сечении изменится. Однако можно считать, что количество газа, проходящее в единицу времени через каждое сечение, постоянно и пропорционально ¡0, где I — длина ротора, а величина О определяется произведением
у
м
Фиг. 1
средней скорости u0 газа в невозмущенном состоянии на невозмущенную (номинальную) величину зазора, равную e0 = R0 — r0, где R0 — радиус кожуха, r0 — радиус ротора. В дальнейшем для вычисления сил, действующих на ротор, потребуется определить среднюю скорость и газа в каждом сечении зазора. Тогда, исходя из сделанного выше предположения, можно считать, что Q = u0e0 = ue, где e — величина зазора между ротором и кожухом в зависимости от положения центра ротора.
Для нахождения искомого зазора рассмотрим треугольник OO1M (правая часть фиг. 1) образованный векторами R, г1 и r2. Имеем равенства
R = Г! + r2, |R| = Ro, Ki| = Jx2 + y2, |r2| = r0 + e
где e = e(x, y, 9) — текущий зазор между ротором и кожухом, зависящий как от смещения центра ротора, так и от положения заданной точки на его поверхности (угол 9). Проекция на оси координат дает
MS = ( r0 + e ) sin 0 + y, OS = ( r0 + e) cos 0 + x и из треугольника OMS следует квадратное уравнение относительно e [( r0 + e ) cos 0 + x ]2 + [( r0 + e ) sin 0 + y ]2 = r0
решая которое, находим
e = e (x, y, 0) = Jr0 + xy sin20 - r0 - (x cos 0 + y sin 0)
Считая смещения центра ротора малыми по сравнению с радиусом R0 (а также и по сравнению с номинальным зазором е0 = R0 — r0) и соответственно пренебрегая вторым слагаемым под корнем, получаем искомое выражение для средней скорости газа в каждом сечении
u(x, y,0) = и0 e0 / e = u0e0/[ e0 - (x cos 0 + y sin 0)] (1.1)
Будем считать, что на ротор в каждой точке его поверхности действует сила торможения, направленная по касательной к контуру сечения ротора, и ее модуль выражается следующим образом:
|f| = к(r0ю - и0e0/e)2, к = const
т.е. сила торможения меняется по квадратичному закону.
Для нахождения компонент полной силы, действующей на ротор, требуется выражения проекций силы трения на оси координат x и у умножить на площадь поверхности ротора г01 и вычислить соответствующие интегралы. Для получения явных выражений компонент силы сопротивления учтем малость значений x и у по сравнению с номинальной величиной зазора e0. В новых обозначениях
, = 3., х- = *, / = У (1.2)
г0 ю е0 е0
при учете слагаемых не выше первого порядка по х и y получим для проекции силы трения на ось х
2 2 Fx = кг0l(r0ю) (1 -s)[(1 -s)(sin0) - 2sx'(cos0sin0) - 2sy'(sin 0)] =
= - 2ns(1 - s)кr01(r0ю)2у' = -Пк/rOю2у'
2п
(/(0)) = J/(0) d0
Последнее равенство в этой цепочке равенств записано при учете того, что среднюю скорость и0 потока газа в зазоре часто принимают равной г0ю/2 [2], т.е. s = 1/2.
Выражение для Fy выводится аналогичным образом. В исходных координатах получаем
Fx = -qy Fy = qix; ?i = nxpoe-1lr0ю2, x = к аз)
У 2 Po
где p0 — плотность газа в зазоре, а % — безразмерный параметр.
Пусть m — масса ротора, C — коэффициент жесткости упругого закрепления ротора. Уравнения движения ротора при учете тормозящей силы с компонентами (1.3) имеют вид
X = - ю0х - qy, y = - ю2у + qx; ю0 = C/m, q = q 1/m (1.4)
Здесь, как и ранее [2], сила, вызванная явлением Бернулли (изменение давления в связи с изменением скорости газа) и направленная вдоль перемещения центра ротора, предполагается малой и не учитывается.
Для анализа устойчивости системы (1.4) рассмотрим соответствующее биквадратное характеристическое уравнение. Квадраты его корней таковы: = - ю0 ± iq.
Видно, что два корня лежат в правой части комплексной плоскости, а это свидетельствует о неустойчивости движения ротора в рассматриваемой ситуации.
2. Стабилизация движения вращающегося ротора путем применения корректоров внутренней поверхности кожуха. В связи с рассмотренной выше моделью неустойчивого вращения ротора под действием сил трения при взаимодействии ротора с газом в зазоре между ротором и кожухом возникает естественный вопрос о возможности внесения изменений в конструкцию, с тем чтобы обеспечить устойчивое движение ротора.
Одна из идей такого типа — введение "корректоров", т.е. специальное искажение внутренней цилиндрической поверхности кожуха (левая часть фиг. 2). Пусть п(у) — расстояние от центра кожуха до корректора в зависимости от угла у. Обозначим также ^(у) = R0 — п(у) — линейный размер корректора в зависимости от угла у (предполагается, что ^(у) < R0 — r0).
Отличие от рассмотренного выше случая будет в том, что теперь величина зазора между внешней поверхностью ротора и внутренней поверхностью кожуха (при учете размещенного на ней корректора) зависит не только от х, y, 9, но и от угла у. Вывод формулы для величины зазора такой же, как и в разд. 1 с той только разницей, что теперь отрезок OM равен не R0, а R0 — ^(у) и O:M = r0 + е(х, y, 9, у). Величина зазора в первом приближении относительно малых х и y
e = e 0 - (x cos 0 + y sin 0) - £,(y)
0
Фиг. 2
Связь между углами у и 9 устанавливается следующим образом (правая часть фиг. 2). Из треугольника OMS получаем
MS = ( R0 - Ç(y)) sin у, OS = ( R0 - Ç(y)) cos y а из треугольника O1MK
( Ro - Ç(v)) sin y - y
tg 0 =
( Ro - cos y - x
Для дальнейшего изложения в дополнение к обозначениям (1.2) удобно ввести следующие обозначения:
Р = Р(V) = 1 - v = e0/R
Полагая
v ^ 1, x/Ro < 1, y/Ro < 1, ^(у)/Ro < 1 получим упрощенное выражение угла 9 через угол у
0 = у + vx'sinу - vy'cosу (2.1)
Вычислим компоненты силы гидродинамического трения при наличии корректора: Fx = р< Д,(0) sin 0), Fy = -р< Bo (0) cos 0) (2.2)
Здесь
Bo(0) = V1-----0-т—т-г)2 » B1 (Р) - 2sB2(p)(x'cos0 + y'sin0)
v p - (x cos0 + y sin0/
B\(p) = , B2 (p) = P-J*, p = XPo lr0
42
" 3 2
2 ' ~2^/ 3 ' /vr-o-roM
p2 p3
Приближенное равенство записано в первом приближении по малым x' и j'. В этом же приближении
dQ = (1 + vx'cos у + vy'sin у) dy
2
cos Q = cos у - vx sin y + vy sin у cos у sin Q = sin у + vx'sin у cos у - vy'cos2 у
Перейдем в интегралах (2.2) от интегрирования по 9 к интегрированию по у и в первом приближении получим
Fx = gi + Iix' - (I, + I2)У', Fy = §2 - IiУ + (Io -12)X (2.3)
где
gi = P< Bi[ p (у)] sin у), §2 = P< Bi [р(у)] cos у)
Io = ps<B2[р(у)]), Ii = p<Вз[р(у)]sin2y), I2 = p<B3[p(у)]^2у) (2.4) Вз(р) = vBi(p) - SB2(p)
Проведем анализ устойчивости движения ротора при наличии силы гидродинамического трения с компонентами (2.3). Имеем следующую систему, аналогичную системе (1.4):
X = - (®2 - /i)x - (Io + I2)У + gi,
2 ~ ~ ~ (2.5)
y = - (roo + /i)y + (To - T2)x + /2,
Здесь
T; = I;/(meo), j = o, i, 2, & = g¿/m, k = i, 2
Сначала заметим, что если корректор отсутствует, т.е. p = 1, то сразу получаем рассмотренный в предыдущем разделе случай неустойчивого вращения ротора, поскольку нетрудно видеть, что согласно равенствам (2.4) g1 = g2 = 0, /i = T2 = 0 и только величина I0 отлична от нуля. Условия устойчивости состояния равновесия системы (2.5) найдем, исходя из соответствующего биквадратного характеристического уравнения, квадраты корней которого таковы:
2 = - roo ± л/- Io + Ц+
А, = - ГО0 ± л/-
Устойчивость движения ротора можно обеспечить, если добиться, чтобы значения квадратов корней были меньше нуля, т.е. чтобы искомые корни характеристического уравнения оказались чисто мнимыми. Окончательно условия устойчивости могут быть выражены следующими неравенствами:
Т° < 1? + 10, ГОо > + т° + Т° (2.6)
Фиг. 3
Таким образом, корректор требуется выбрать так, чтобы выполнялись указанные неравенства. Покажем далее, как это сделать. Зададим искомую "функцию корректора" в виде (фиг. 3)
2
£,(у) = e0 a sin у (2.7)
где a < 1 — параметр корректора, подлежащий в дальнейшем определению. Рассмотрим еще раз соотношения (2.4), обозначив
2
d í \ \ 1 - s - a sin у ,, оч
B2(P) = b(y, a) = -2—1 (2.8)
(1 - a sin у)
Имеем g1 = g2 = 0 и, пренебрегая слагаемыми с малым множителем v = e0/R0, получим
I0 = psZe (a), Ii = -psZi( a), I2 = -psZ2( a)
Z0(a) = (Ь(у, a)>, Z1(a) = (b(у, a)sin2у), Z2(a) = (Ь(у, a)cos2y)
Если заметить, что Z^a) = 0, то первое из неравенств (2.6) сводится к неравенству
Z2(a) - Z2(a)< 0 (2.9)
Далее поиск искомого значения параметра a может быть осуществлен путем решения этого неравенства.
Найдем корни уравнений
Zo(a) -Z2(a) = 0, Zo(a) + Z2(a) = 0 (2.10)
Первое из них выглядит следующим образом:
2п
I_ = Jb(у, a) sin2уdy = 0 (2.11)
о
Вычислим интеграл (2.11), полагая s = 1/2. Умножим и разделим подынтегральное выражение на cos-6y. Учитывая обозначение (2.8) и известное соотношение cos-2y = 1 + tg2y, после замены tgy = z будем иметь
О i 2 т г b2 + г 2 , , 1 , 1 I_ = 2—I, I = —2-г dz, b1 = -, b2 = -
b2 0 (bi + г2 )3 1 - a 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.