научная статья по теме СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С ВХОДНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И СИНУСОИДАЛЬНЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С ВХОДНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И СИНУСОИДАЛЬНЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ»

Автоматика и телемеханика, № 1, 2015

© 2015 г. А.А. БОБЦОВ, д-р техн. наук (bobtsov@mail.ru), С.А. КОЛЮБИН, канд. техн. наук (s.kolyubin@gmail.com), А.А. ПЫРКИН, канд. техн. наук (a.pyrkin@gmail.com) (Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики)

СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С ВХОДНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И СИНУСОИДАЛЬНЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ1

Предлагается новый алгоритм стабилизации объектов, содержащих запаздывание в сигнале управления. Решается задача синтеза алгоритма управления по измерению переменных состояния для нелинейной системы. Задача синтеза стабилизирующего регулятора усложнена влиянием параметрически не определенного синусоидального возмущающего воздействия.

1. Введение

Статья посвящена развитию методов управления в условиях запаздывания и возмущающих воздействий. За последние 60-70 лет исследователями из различных стран мира были предложены разнообразные подходы к управлению системами с запаздыванием (см., например, [1-12]). Большое количество работ посвящено анализу замкнутых систем с использованием функционалов Ляпунова - Красовского, которые для систем с запаздыванием по состоянию являются аналогом классических функций Ляпунова (см., например, [9]). Более сложной задачей, на взгляд авторов, является синтез регуляторов для объектов с запаздыванием по управлению. В подобной ситуации, как правило, используются так называемый предиктор Смита [6] и его расширения, предложенные в том числе в [1, 13-15]. В монографии [1] была доказана экспоненциальная устойчивость замкнутой системы с предиктором с помощью аппарата функций Ляпунова, что крайне полезно при стабилизации систем с входным запаздыванием. Очевидно, что недостатками использования такого подхода является то, что он предусматривает наличие точных оценок всех параметров системы и не распространяется на нелинейные системы. Однако отметим, что существуют решения для линейных асимптотически устойчивых параметрически не определенных систем. Например, метод российского профессора Цыкунова А.М. [11] позволяет решать задачу слежения за эталонным сигналом для некоторого класса параметрически не определенных объектов. Также можно выделить работу [12], в которой подход [1] был распространен на стабилизацию линейной стационарной системы в условиях действия неопределенного синусоидального возмущающего воздействия.

1 Работа выполнена при государственной финансовой поддержке ведущих университетов Российской Федерации (Госзадание 2014/190 (проект 2118), субсидия 074-U01, проект 14.Z50.31.0031).

В этой статье будем рассматривать задачу стабилизации нелинейного объекта управления вида

(1) x(t) = Ax(t) + B(u(t - D) + ¿) + Ф(у),

где ¿(t) - неизмеряемое синусоидальное возмущающее воздействие.

Алгоритм управления, предлагаемый в данной работе, будет развивать результаты, опубликованные в [12, 16] для случая нелинейного объекта. Также отметим, что данная статья развивает достаточно обширное самостоятельное направление, связанное с компенсацией возмущающих воздействий, имеющих синусоидальную природу (см., например, [17-21]). Таким образом, результаты данной статьи находятся на стыке сразу двух направлений: компенсации параметрически не определенных синусоидальных возмущающих воздействий и синтеза регулятора в условиях запаздывания в сигнале управления.

2. Постановка задачи

Пусть объект управления (1) записан в виде системы дифференциальных уравнений

(2) xi(t) = X2(t) + ^i(y(t - Ti)) + 0iy(i),

x„(t) = u(t - D) + фп(y(t - Tra)) + 0„y(i) + ¿(t),

y(t) = ¿i(t),

где x(t) = co1{xi,..., xn} - измеряемый вектор переменных состояния модели (2), u(i) - сигнал управления, y(i) - скалярная выходная переменная, D ^ 0 - известное постоянное запаздывание, 9i - известные постоянные параметры, ^¿(y(t - Ti)) и Ti - соответственно известные нелинейные функции и положительные константы, ¿(t) = a sin(wt + ß) - неизмеряемое возмущающее воздействие.

Здесь и далее будем полагать, что u(i - D) = 0 при i < D. В качестве цели управления сформулируем задачу поиска такой функции u(i) по измерениям вектора x(i) = co1{xi,..., xn}, чтобы было выполнено условие

(3) lim y(i) = 0.

Сформулируем допущения, для которых цель управления (3) будет достигнута.

Допущенпе 1. Будем полагать, что т^ ^ D для всех г = 1 ,п. Допущение 2. Параметры a, w, ß возмущающего воздействия ¿(i) являются неизвестными числами.

3. Предварительные результаты

Временно предположим, что Ф(у) = 0, =0 и V = 0. Тогда можно синтезировать тривиальный закон управления вида

(4) и(*) = Кж(*),

где вектор К такой, что матрица состояния замкнутой системы А + В К является гурвицевой.

Для случая V > 0 закон управления (4) можно переписать в виде

(5) и(£) = Кж(£ + V),

где ж(£ + V) - значение вектора ж(£) через временной интервал V.

Очевидно, что закон управления вида (5) нереализуем, так как вектор ж(£ + V) недоступен для прямого измерения. Однако следуя [1], вектор ж(£ + V) можно рассчитать следующим образом:

* + D) = ^(ОН/ eA(t+D-T>Л(т _ =

0

t t+D

= eADeAtx(0) + eAD f eA,-r^ _ D)rfr + / eA«+D-T>Bu(T - D)dr =

0t t

= eADeA<t-T>BM(T)dT.

t-D

Тогда алгоритм управления, обеспечивающий стабилизацию систем с запаздыванием в канале управления примет вид

t

(в, ,l(t) = KeAD +> bu(t )d.

t- D

Однако по условиям задачи рассматриваемый объект управления является нелинейным и подвержен влиянию возмущения ¿(t) = a sin(wt + $).

4. Синтез адаптивного наблюдателя возмущающего воздействия

В данном разделе будем решать задачу синтеза адаптивного наблюдателя возмущающего воздействия ¿(t). Решение поставленной задачи осуществим в несколько шагов.

Шаг 1. Найдем оценку возмущающего воздействия ¿(t) = a sin(wt + $) = = ai sin wt + a2 cos wt. Для этого построим наблюдатель вида

(7) Xra(t) = u(t _ D) + Ф(у) + 0ray(t) + fc„X„(t),

где хп(Ь) - оценка переменной хп(1), хп{Ь) = хп(Ь) — хп(Ь) и параметр кп > О, а = у/<т1 + <т%.

Рассмотрим ошибку

(8) = - £„(£).

Дифференцируя (8) в силу уравнений (2) и (7), получаем

= + ¿(¿).

Поскольку дело имеется с апериодическим звеном первого порядка, то сигнал жп(£) = жп(£) — жп(£) является синусоидальной функцией той же частоты ш, что и возмущающее воздействие ¿(¿) = а sin(шt + 1), и может быть представлен в виде

хп(г) = цвт^ + §) + е(г) = —

р + кп

где р = и е(£) - экспоненциально затухающее слагаемое, вызванное ненулевыми начальными условиями.

Для оценки частоты ш дважды продифференцируем (8), тогда

жп(£) = —ш2^ sin(шí + 1) = —ш2жп^).

Как и в [22], осуществим преобразование

Л2р2 . . Л2 . . . .

или

(9) VI = 0^2 + £0,

\ 2 2

где Л > 0 - любое положительное число, в = —и'2, = Xn.it) и г^(^) =

\2 _ , .

= го ~~ экспоненциально затухающее слагаемое, начальное зна-

чение которого включает неизвестное начальное условие для последней компоненты вектора состояния объекта.

Запишем алгоритм идентификации параметра в = —ш2 следующим образом:

(10) в = —7^0 + 7^1,

где 7 > 0 - любое положительное число.

Покажем, что алгоритм идентификации (10) обеспечивает параметрическую сходимость. Для этого подставим (9) в (10)

(11) в = —7^2в + 7^2 в + 7^2£0.

Рассмотрим параметрическую ошибку вида

в = в — в.

Дифференцируя последнее уравнение, получаем

в = в — в = в — jv2vi — Yv2£0 = 7^2 в — Yv2 в — Yv2£o = —7^2 $ — Yv2£0-Рассмотрим функцию Ляпунова вида (12) V = в2.

Дифференцируя (12), имеем

V = — 2yv2 в2 — 2jv2 в£о < —2yv2 в2 + yv2 в2 + Y£i2 = —yv2 в2 + Y£0-

Интегрируя последнее неравенство, имеем

t

V(t) < V(0) — Y J v202dr + £b 0

где £1 - экспоненциально затухающее слагаемое. Легко видеть, что при t — оо

t

V(t) + y J v202dr < V(0), 0

откуда следует ограниченность функции V = в2, а также ограниченность и квадратичная интегрируемость g(t) = v2 в. Дифференцируя g(t) = v2 в, получаем

g(t) = v2 0 + v2 £

Легко показать, что сигнал v2(t) может быть представлен в виде

v2(t) = ß2 sin(wt + ^2) + £2(t),

где £2(t) - экспоненциально затухающее слагаемое. Тогда

g(t) = cos(wt + ^2) + £2 (t))Ö — v2(yv2 0 + yv2£o)

и, следовательно, g(t) = v2 в + v2 в ограничена, что в силу леммы Барба-лата гарантирует limt^rc g(t) = 0. Из условия limt^rc g(t) =0 следует, что

lim^ rc в — 0 и limt^rc, в — — const. Рассмотрим

t+T t+T

lim / (v2Ö)2dr = lim в2 v%dr = 0. t^rc у t^rc j

tt

Поскольку функция а — ^ ч^т невырожденная, то следовательно, 0 — 01 — 0.

Для оценки параметра ш будем использовать следующее выражение:

¿(t) = V i f(t)i-

Теперь построим оценку возмущающего воздействия. Сначала рассмотрим уравнение

(13) Xn(í) = —fcnxra(í) + U1 sin WÍ + U2 cos WÍ = —fcnxra(í) + UTV,

Vi sin wí

где er = и V = = cos wí

V2

Для формирования регрессора v = покажем, что

sin wí cos wí

подставим w(í) = л/10(í)| и

lim (v — /) = 0,

t—^^o

/1 sin w í

/2 cos w í

где г/

Рассмотрим отдельно слагаемое

/i = sin w í = sin(wí — w í) = sin wí cos w í — cos wí sin w í.

В силу

U)t = U)t - U)t = U)t - \J\¿H?\ =u)t- \J\et2 -k2\ =u)t- л/iet2 - ßt2e~at\

легко видеть, что lim^oo Cot = wt — \/\9t2\ = 0, а следовательно,

lim sin wí = 0 и lim cos wí = 1.

t—<x t—<x

Таким образом, limt—TO (vi(í) — /i(í)) = 0. Аналогичным образом можно показать, что limt—(v2(í) — /2(í)) = 0.

Для идентификации вектора e запишем идеальный алгоритм вида

(14)

г = — Ja VV Tcr + Ya VVT <7,

где > 0 - любой постоянный коэффициент.

Легко показать, что алгоритм (14) в силу выполнения условий предельной интегральной невырожденности вектора v(t) обеспечивает выполнение целевого условия

lim (<г - <r(i)) = 0.

Однако вектор <7 содержит неизвестные компоненты, и, следовательно, алгоритм (14) нереализуем. Используя уравнение (13), для (14) получаем

<7 = -Ya VVT 7 + Ya V (жп + kÄ).

и

Введем новую переменную х = а — YavXn. Тогда

х = а — Ya (VXn + VXn) = —Ya VVT а + Ya V(Xn + knXn) — Ya (VXn + vXn) =

= —YaVVT CT + Ya knXn — Ya V X„.

Таким образом, получаем реализуемый алгоритм идентификации возмущающего воздействия.

Для идентификации вектора а запишем идеальный алгоритм идентификации вида

(15) ¿(t) = aT а,

(16) а = X + Ya aXn,

(17) X = —Ya аат а + Ya knXn — YaO>Xn.

Ита

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком