Автоматика и телемеханика, Л- 3, 2007
PACS 02.03.Yy
© 2007 г. A.B. ЗУБОВ, канд. физ.-мат. наук (Санкт-Петербургский государственный университет)
СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ И КИНЕМАТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ В СЛУЧАЕ СИСТЕМ ПРЯМОГО И НЕПРЯМОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В данной статье приводятся методы исследования автоколебательных процессов в системах автоматического управления. Приводится качественный анализ поведения переходных процессов в системах управления. Оценивается точность функционирования систем управления. Решаются проблемы помехоустойчивости систем управления. Рассматриваются пути реализации систем управления, основанные па использовании динамических автоколебательных режимов, с помощью логических сетей и цифровых автоматических устройств вообще.
1. Введение
Приводятся методы исследования автоколебательных процессов в системах автоматического управления. Это исследование состоит в качественном анализе поведения переходных процессов в системах управления, в оценке точности функционирования систем управления, в решении проблемы помехоустойчивости систем управления. Рассматриваются и пути реализации систем управления, основанных на использовании динамических автоколебательных режимов, с помощью логических сетей и цифровых автоматических устройств вообще. При этом выясняется принципиальная конструкция этих автоматов, влияние дискретности их функционирования на точность их стабилизации, на помехоустойчивость системы управления и качественную картину поведения переходных процессов в режиме стабилизации кинематических траекторий. Наряду с этим динамика автоколебательных процессов в системах управления изучается для систем, которые не являются техническими объектами в обычном смысле слова, однако процессы управления в таких системах оказываются качественно схожими с теми, которые встречаются при управлении техническими системами.
Дается постановка задачи и осуществляется построение законов управления в механических системах с конечным числом степеней свободы. После введения понятия системы прямого регулирования приводятся теоремы, содержащие конструкцию законов прямого регулирования, обеспечивающих стабилизацию программных движений при отсутствии и при наличии возмущений. Показано, что точность стабилизации при указанной конструкции закона прямого регулирования зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в законе управления. Также рассматриваются вопросы устранения влияния постоянно действующих возмущений на систему управления. Наряду с введением понятия системы непрямого регулирования в наиболее общей форме, построены законы непрямого регулирования, обеспечивающие стабилизацию программных движений в многомерной механической
системе как при отсутствии возмущений, так и при их наличии. Далее обсуждается связь устойчивости по Ляпунову и стабилизации программных движений. Вводится также понятие кинематической траектории и ставится задача стабилизации кинематических траекторий.
2. Введение определения допустимого управления
Рассмотрим уравнения движения многомерной механической системы в следующей форме. Известно, что все движения механической системы с к степенями свободы можно описать с помощью системы уравнений Лагранжа 2-го рода
< дТ дТ „ (2Л) - Щ = ^ ' =
Обобщенные силы (2.1) представимы в виде ' дг
i=l
п {дг \
(2-2) =£ , В + Щ)) .
Сделаем замену искомых функций в системе уравнений Лагранжа 2-го рода (2.1) по формулам
(2.3) Ц] = X] + Я^пр(^), 3 = 1,...,к,
(2.4) щ = щ + Щпр(Ь), г = !,...,и.
Связь вводимых переменных щ = щ+щпр(г) с переменными в соотношениях (2.1) и (2.2) заключается в соответствии каждой координате xi, взятой из представления независимого переменного определенного управления щ".
Подставляя (2.3) и (2.4) в (2.1) (2.2). получим систему линейных уравнений относительно векторов X = (х1,... ,хь)*, V = (и1,... ,иг)*. Таким образом, система уравнений Лагранжа 2-го рода (2.1) (2.2) перепишется в виде
(2.5) АоХХ + ах + а2х = о(г, X, X) + вV + В (г, X, X).
Не нарушая общности рассуждений, положим г = к в (2.5) (т.е. размерности векторов X и V станут равными. Это означает, что по каждой координате х.1, существует соответствующее ему управление щ).
Для простоты записи в (2.5) опустим черту у вектора управлений V (т.е. будем считать V = V). Тогда все движения исходной механической системы с к степенями свободы можем описать системой дифференциальных уравнений вида
(2.6) А0Х + ах + а2х = о(г, х, X) + вv + В (г, х, X),
где Ао, А;, А2, В - постоянные матрицы размерности к х к, X вектор обобщенных координат х;, ...,х]~, X - вектор обобщенных скоростей XX;,...,ХV - вектор управлений и;,...,иь, О - вектор известных функций, В - вектор постоянно действующих возмущений fl,...,fk■
Предполагаем, что матрица Ао - невырожденная положительно-определенная, В - невырожденная. Задача состоит в том, чтобы выбрать вектор управления V таким образом, чтобы все движения располагались в достаточно малой окрестности точки X = 0 X = 0 по истечении некоторого времени переходного процесса.
Введем в рассмотрение функцию <р (y), определяемую соотношением
(2.7) ^(У) = { У>1>] у ' 1 y > —l,
где l > 0 - некоторая константа. Интервал (—l,l) называется зоной гистерезиса функции (y).
Определение 1. Допустимым управлением U(t,X,X) будем называть управление вида U = U1 + U0, где U1 - известный вектор-столбец, определение которого каждый раз уточняется, U0 - вектор-столбец, компоненты которого определяются соотношением.
к
(2.8) U0j = Y, Ра v(aij),
i=i
где aj - линейные формы обобщенных скоростей и обобщеиных координат, вij _ константы,.
Теорема 1. При отсутствии постоянно действующих возмущений (F(t,X,X) = 0) по любому е > 0 существует управление U(е) из класса допустимых, такое, что \\X (t, t0,X0)|| < е при t > T, при этом вели чина T зависит ■известным, образом от начальных значений обобщенных координат и обобщенных скоростей. Более того, существует семейство управлений Ue, обладающих указанным свойством, для которого зона гистерезиса удовлетворяет условию l < ае, где а некоторая константа, большая нуля.
Доказательство. Выберем управление U(е) в форме
(2.9) U = B-1AO (CX + A-1A2X — A-1G + U,,) ,
где матрица C и вектор управлений U0 будут выбраны из условий, рассматриваемых ниже. Подставляя (2.9) в (2.6). получим систему
XX + (A-1Ai — C) Х = Uo.
Введем обозначение
(2.10) A-1A1 — C = D, X + DX = Y. Тогда имеем систему уравнений
(2.11) Y = Uo.
Рассмотрим более детально i-e уравнение системы (2.11)
(2.12) yi = uoi.
Положим согласно (2.8) u0i = ^(yi), тогда то определению функции ^(yi) видно.
ti
(—li,li) и будет совершать там периодические колебания.
Возьмем момент времени T = max ti или T = max |yoi|, i = 1,...,k. Теперь нетрудно видеть, что при t > T все координаты вектора Y войдут в свои зоны гистерезиса и будут совершать там периодические колебания. Отсюда имеем, что
любое решение системы (2.11) будет ограничено или \у_\ < /¿при t > T, i = l,...,k. В силу обозначения Y можем записать
(2.13) X + DX = Y.
Выберем матрицу С в (2.10) так, чтобы D = diag(Ál,...,Ák), где X_ > 0, i = = l,...,k. Тогда i-e уравнение системы (2.13) можно записать в виде
(2.14) ¿i + XiXi = i = 1,...,k.
Ищем решение уравнения (2.14) в форме Коши при начальных условиях ¿¿(О) = ¿oi t
(2.15) ¿i = e~Xitxoi + j e-Xi(t-r)yi(r)dr.
0
Перепишем (2.15) в форме
t t
¿i = e~Xitxoi + J e-Xi(t-T)yi(r)dr + j e-Xi(t-T^(т)dr. 0 T
В силу ограниченности yi(t) на интервалах [0,T] и (T, можем записать
оценку
,-^it \ , \y0i\ e-Xit (eXiT — 1) +
Xi Xi
(2.16) \¿i(t)\ < e\¿o_ \ + ^e-Xlt(ex*T - 1) + f (l - e-X^(t-T>) .
Оценим каждое из трех слагаемых правой части неравенства (2.16). Первое (второе) слагаемое станет меньше наперед заданного числа е/З\/к при г = Т\(г — Т2), третье слагаемое можно сделать меньше наперед заданного числа е/Зл/к путем выбора коэффициента
Отсюда имеем, что при г > Т.где Т. — тах(Т1, Т2), и надлежащем выборе коэффициента < ае будет
(2.17) \х.,(г)\ <е/^к при г > Т..
Возьмем
(2.18) УХ (t)\\ =
к
„2
y¿2(t), T = max ii
Тогда согласно (2.17) и (2.18) будем иметь (2.19) ух(г,Х,Хо)\\ <е при г > Т
оценка (2.19) доказывает теорему 1.
Теорема 2. При наличии ограниченных постоянно действующих возмущений
max
t
f (t, х, X)
< k
по любому £ > 0 существует управление U(£,F) из класса допустимых, такое, что \\X(t,to,Xo)\\ < £ при t > Т, при этом величина T зависит известным образом от начальных значений обобщенных координат, обобщенных скоростей и возмущений. Более того, существует семейство управлений Ue(F), обладающих указанным свойством, для которого зона гистерезиса удовлетворяет условию ¿ < о,£, где о > 0 - некоторая константа, не зависящая от k.
Доказательство. Выберем управление U (£,F) в форме (2.9), где матрицу C Uo
и (2.6), используя обозначения (2.10), получим систему
(2.20) Y = Uo + A-1F.
Рассмотрим i-e уравнение системы (2.20)
(2.21) yi = uoi + f.
Положим в (2.21) u0i = kiy(yi), где y(yi) удовлетворяет (2.7), a ki > 0 - константа, некоторый коэффициент усиления, выбранный из условия
(2.22) ki > max\Ji(t,X,JX)\ + 1.
Тогда, исходя из определения функции у(yi) и условия (2.10), будем иметь, что
ti
интервал (—¿i,¿i) и будет совершать там ограниченные колебания.
Возьмем Т = max ti или Т = max \y0i\, i = 1,...,k. Тогда любое решение системы (2.20) будет попадать в зону гистерезиса и оставаться там во все время движения, т.е. \yi,(t)\ < £¿ при t > Т, i = 1,...,k. В силу (2.10) имеем
(2.23) X + DX = Y.
C
D = diog(Xi,. ..,Xk), Xi > 0, i = 1,...,k. i
X i + XiXi yi.
Ищем решение этого уравнения в форме Коши с начальными условиями x.¿(0) = = Xoi
t
Xi(t) = e-Xitxoi + J e-Xi(t-T)yi(r)dr, o
t t
Xi(t) = e-Xitxoi + j e-Xi(t-T>yi(r)dr + j e-Xi(t-T^(т)dr. o T
В силу ограниченности yi(t) щи t G [0,T] и t G (T, имеем оценку \Xi(t)\ < e-Xít \xoi\ + ^e-Xít (ex*T - 1) + X (1 - e-^->) .
Оценим каждое слагаемое правой части этого уравнения. Первое и второе слагаемое станут меньше наперед заданного числа е/3\/к при Ь = Т\ и Ь = Т2 соответственно. Третье слагаемое можн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.