Автоматика и телемеханика, № 4, 2015
Нелинейные системы
© 2015 г. П.С. ПЕТРЕНКО (petrenko_p@mail.ru), A.A. ЩЕГЛОВА, д-р физ.-мат. наук (shchegl@icc.ru) (Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск)
СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ1
Рассматривается нелинейная управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенная относительно производной искомой вектор-функции и тождественно вырожденная в области определения. Получены условия стабилизируемости по линейному приближению систем со скалярным входом. Допускается произвольно высокий индекс неразрешенности. Анализ осуществляется в предположениях, обеспечивающих существование глобальной структурной формы, в которой разделены "алгебраическая" и "дифференциальная" подсистемы.
1. Введение
Рассматривается уравнение (1.1) ^(Ь,х(Ь),х'(Ь),и(Ь)) = 0, Ь € I = [0,
где х(Ь) - п-мерная функция состояния, и(Ь) - скалярное управление, ^(Ь,х,х',и) - достаточно гладкая функция со значениями в И"-.
Предполагается, что ёе! = 0 в области определения функции Р.
Уравнения такого рода называются дифференциально-алгебраическими (ДАУ). В данной статье под мерой неразрешенности ДАУ (1.1) относительно производной понимается индекс дифференцирования [1-4].
Рост интереса к изучению систем ДАУ стимулируется проблемами математического моделирования во многих прикладных областях: теории автоматического регулирования, оптимальном управлении со смешанными ограничениями, теории электронных схем и электрических цепей, механике, химической кинетике, гидродинамике и теплотехнике.
В настоящее время исследование стабилизируемости ДАУ далеко от завершения. Достаточно полно в этом отношении изучены линейные системы с постоянными коэффициентами. В линейном нестационарном и нелинейном случаях результаты получены при довольно жестких ограничениях: низкий индекс неразрешенности, полуявная (8еш1ехрНсИ) форма, постоянство матрицы при производной. Задача получения условий стабилизируемости для систем
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-00287) и Программы Президиума РАН (проект № 17.1).
ДАУ, не подчиняющихся указанным ограничениям, остается по-прежнему актуальной.
Цель работы - получение условий стабилизируемости по линейному приближению нулевого положения равновесия нелинейных ДАУ со скалярным управлением в предположениях, допускающих произвольно высокий индекс неразрешенности и переменный ранг матрицы д^/дх'. Для анализа в статье используется так называемая "эквивалентная форма" [5, 6], в которой разделены "алгебраическая" и "дифференциальная" подсистемы. Эта структурная форма сохраняет свойство устойчивости и допускает исследование нелинейных систем по первому приближению.
Проблема стабилизации (в частности, робастной) решений линейных стационарных ДАУ привлекает внимание специалистов на протяжении последних 20-ти лет [7-13]. Имеются результаты по стабилизации и стабилизируемо-сти линейных нестационарных систем с постоянной матрицей при производной искомой вектор-функции [14-16], в которых критерии сформулированы в виде линейных матричных неравенств.
Что касается нелинейных ДАУ, то авторам известны результаты по стабилизации систем в полуявной форме [17, 18] либо с постоянной матрицей при производной [19-22]. В [19] исследуется проблема синтеза позиционного управления для класса нелинейных по х(Ь) ДАУ, обеспечивающего робаст-ную асимптотическую устойчивость системы. В [17] предложены алгоритмы локальной стабилизации и регуляризации с помощью нелинейной обратной связи. Локальная стабилизация положения равновесия по линейному приближению изучается в [18]. В [20] с использованием функций Ляпунова и дифференциальных неравенств обоснован новый принцип сравнения, который позволил получить достаточные условия практической стабилизации. В [21] получены условия устойчивости положения равновесия и стабилизируемо-сти нелинейной ДАУ индекса 1. Проблема стабилизации и экспоненциальной устойчивости решений ДАУ с дискретным и распределенным запаздыванием рассматривается в [22].
Структура данной статьи такова: раздел 2 посвящен построению глобальной эквивалентной структурной формы для нелинейных ДАУ; в разделе 3 изложены вспомогательные сведения об эквивалентной форме для системы первого приближения; в разделе 4 получены условия стабилизируемости решений ДАУ (1.1) по линейному приближению.
2. Эквивалентная структурная форма
Рассмотрим ДАУ (1.1), где функция ^(¿, х, ж', и) определена в области V = = I х X х И" х и, и и X - окрестности точек и = 0 и ж = 0 соответственно.
Для анализа нелинейных ДАУ высокого индекса успешно используются так называемые продолженные системы (см., в частности, [1, 4, 23-25]). Продолженная система суть совокупность ДАУ (1.1) и их г полных производных по I, рассматриваемая в качестве системы конечных уравнений с независимыми переменными 1,х,х' = у, = и и и^ = г^ {■) = 1, г). Такой подход позволяет исследовать широкие классы нелинейных ДАУ с регулярным поведением решений.
2 Автоматика и телемеханика, № 4
33
(2.1)
Определение 1. Система уравнений
Fr(t,x,y,z1,... ,zr,u,vi,... ,vr) =
( F (t,x,y,u) \
Fi(t, x, y, zi, u, vi) =0
\ Fr(t,x,y, zi,..., zr,u, vi,... ,vr) /
где
Fj (t, ф(1),ф' (tW(t),Ф(1+1)(^,Ф(Ь), ф^ (t)J =
= F(t,<i>(t),<f/(t),m)
при любых достаточно гладких вектор-функциях ф(t) и ф^) n- и l-мерной соответственно, называется r-продолженной системой по отношению к ДАУ (1.1).
В дальнейших рассуждениях будем опираться на локальную теорему о существовании решений ДАУ (1.1) [5]. При доказательстве этой теоремы строится система вида
(2.2) xi(t) = fi (t,xi(t),u(t),u'(t),...,u(r)(t)) ,
(2.3) x2(t) = fo (t,xi(t),u(t),u'(t),...,u(r)(t)) ,
такая что все решения исходных ДАУ (1.1), определенные в окрестности начальной точки, являются решениями системы (2.2), (2.3) и наоборот. Соответствующая (1.1) система (2.2), (2.3) получается как часть компонент неявной функции, удовлетворяющей r-продолженной системе.
Как известно, классическая теорема [26, с. 68] гарантирует существование неявной функции лишь в некоторой окрестности начальной точки. Для доказательства теоремы о стабилизируемости системы вида (2.2), (2.3) потребуется, по крайней мере, чтобы функции fi и fo были определены при всех t € I .С этой целью воспользуемся следующим глобальным вариантом теоремы о неявной функции, который является прямым следствием более общего результата, полученного в [27].
Пусть А - (p х д)-матрица, х € Rq. Обозначим
L(A) = max ||Ax||rp , l(A) = min ||Ax|R . IIxIIr«=1 IIxIIr«=1
Лемма 1. Пусть W^ Rm - выпуклое открытое множество, Ф(£, n) : W х Rk — Rk. Кроме того:
1) существует точка (£o,no) € W х Rk такая, что Ф({0,По) = 0;
2) Ф(£,п) € C^Wx Rk);
3) >° V(^i7)GWxRfc;
4) существует непрерывная функция w(s) : I — I такая, что
(2.4) w(s) > 0, s € (0, то),
00
(2.5) [-ТТ = °°>
w(s)
1
« L (§(£>л)) ¡I (f (С,г?)) < «>(N1) V(e,Г?) е w х Rfc.
Тогда в области W определена единственная неявная функция п = д(£) € € C1(W) такая, что д(£о) = По и Ф(£,д(£)) =0 V{ € W■
Рассмотрим r-продолженную систему (2.1). Обозначим:
Zj = (zi,...,zj) , Vj = (vi,...,vj), j = г, г + 1.
Введем в рассмотрение следующие объекты: матрицу размеров n(r+1) xnr
rr,z(t, x, y, u, Zr, Zr) = (dFr/dZr ) ,
квадратную матрицу порядка n(r + 1)
Гг,у(t,x,y,u, Zr,Vr) = ( dFr/dy Г^ )
и матрицу размеров n(r + 1) х n(r + 2)
rr,x(t,x,y,u, Zr, Z) = ( dFr/dx rr,y).
По построению функция Fr, определяющая систему (2.1), полилинейна по переменным zi,... ,zr,vi,... ,vr и, следовательно, определена при всех вещественных значениях этих переменных.
Далее будем предполагать, что при u = 0 система (1.1) имеет нулевое положение равновесия, т.е. F(t, 0, 0, 0) = 0. В этом случае Fr(0) = 0.
Допустим, что в области D х Z х Vr (область Z С Rnr изменения переменной Zr будет определена далее, Vr С R1r - окрестность точки Zr = 0) rankrr,z = р = const и в матрице Гг,х имеется квадратная порядка n(r + 1) подматрица Ar, обратимая в нуле и включающая в себя р столбцов матрицы rr,z и n первых столбцов матрицы Гг,у:
íofí\ А (+ V i'dFr dFr dFr
(2.6) Ar(t,x,y,u, Zr,Vr) =
dx2 dy dZ1 где
(2.7) colon (x1, x2) = Q1x, colon (Z1, Z2) = Q2Zr;
d = nr - р; x1 € Rn-d, x2 € Rd, Z1 € Rp, Z2 € Rd; Q1 и Q2 - матрицы пере-
2
становок строк .
О матрицах перестановок строк и столбцов см. в [28, с. 127-128].
2* 35
2
Пусть:
1) множество X, фигурирующее в определении множества D, представляет собой прямое произведение X = Xi х Rd, где Xi С Rn-d - окрестность точки xi = 0;
2) Z = Rp х Z2, где Z2 С Rd - окрестность точки Z2 = 0. Лемма 2. Пусть:
1) F(t,x,y,u) € Cr+i(D)3;
2) rankrr,z = р = const V(t,x,y,u, Zr, VT) € D х Z х Vr;
3) в матрице ГГ;Ж имеется квадратная порядка n(r + 1) подматрица Дг : ЗД-1(0), включающая в себя р столбцов матрицы rr,z и n первых столбцов матрицы Гг,у (см. (2.6));
4) существует непрерывная функция w(s) : I ^ I со свойствами (2.4), (2.5) такая, что при любых значениях (t, x, y, u, Zr, Vr) € D х Z х Vr имеют место оценки
l (Дг) > 0,
T(dFr dFr dFr dFr OFA nu v
Тогда в области G = I х X1 х U хZ2 х Vr определена единственная
неявная
функция, обращающая систему (2.1) в тождество на G и имеющая вид:
(2.8) y = f (t,Xi,u,Vr),
(2.9) X2 = fo(t,Xi,u,VГ),
(2.10) Zi = <p(t,Xi,u,Z2,Vr),
где функции f,f0 и p имеют на областях определения непрерывные частные производные по каждому из своих аргументов.
Справедливость леммы 2 непосредственно вытекает из леммы 1 и теоремы о существовании в некоторой окрестности нуля неявной функции вида (2.8)-(2.10), удовлетворяющей продолженной системе (2.1) [5].
Определение 2. Функцию u(t) будем называть допустимым управлением для ДАУ (1.1), если u(t) € Cr(I) и colon [u(t),u'(t),..., u(r)(tе^х Vr.
Определение 3. Пусть u*(t) - допустимое управление. Решением системы F(t,x(t),x'(t),u*(t)) = 0 называется n-мерная вектор-функция x*(t) € Ci(I), обращающая это уравнение в тождество на I при подстановке.
Умножим уравнение (2.8) слева на матри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.