Автоматика и телемеханика, Л- 10, 2007
РАС Б 02.30.Yy. 02.50.Cw
© 2007 г. Л.В. РЯШКО, канд. физ.-мат. наук (Уральский государственный университет, Екатеринбург)
СТАБИЛИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ1
Рассматривается задача стабилизации стохастических колебательных режимов нелинейных динамических систем. Решение этой задачи опирается па спектральный критерий экспоненциальной среднеквадратичной устойчивости стохастически возмущенных предельных циклов. Анализ стабилизируемости сводится к минимизации спектрального радиуса некоторого положительного оператора. Конструктивные возможности полученного критерия стабилизируемости иллюстрируются для случая цикла па плоскости, где построение стабилизирующего регулятора сводится к минимизации квадратичного функционала.
1. Введение
Задачи управления колебаниями в нелинейных динамических системах исследуются достаточно давно. Необходимость в стабилизации неустойчивых периодических решений (орбит) возникает при устранении вибраций механических конструкций. подавлении шумов и нежелательных гармоник в системах связи и электронных устройствах, при локализации возможных отклонений от требуемых характеристик в формируемых периодических режимах. Наряду с задачей стабилизации, связанной с подавлением нежелательных колебаний, рассматривается задача возбуждения заданного колебательного режима. Подобная задача встречается при разработке вибрационных механизмов, акустических и электронных генераторов.
В настоящее время результаты исследований по управлению колебаниями в детерминированных системах составляют глубоко разработанную теорию (см.. например. [1, 2] и библиографию к ним).
Всплеск интереса к задачам управления нелинейными колебательными системами связан с активно разрабатываемым новым научным направлением проблемой управления хаосом (см. обзор [3. 4]).
Анализ устойчивости и управления нелинейными системами, находящимися под воздействием случайных возмущений, является важным разделом современной теории управления. Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагающей работы Ii.Я. Каца и H.H. Красовского [5]. является теоретическим фундаментом такого анализа. Случай точки покоя достаточно хорошо исследован и имеющиеся результаты составляют глубоко разработанную теорию [6].
Цель данной работы исследование задачи стабилизации стохастических колебательных режимов. При решении этой задачи используются результаты [7. 8] по
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 06-01-00625, 06-08-00396, № 07-01-96079-р_урал).
экспоненциальной среднеквадратичной устойчивости (теоремы 1 и 2). представленные в разделе 2. Теорема 1 сводит вопрос о стохастической устойчивости цикла нелинейной системы к исследованию Р-устойчивости соответствующей линейной системы первого приближения и далее к анализу разрешимости краевой задачи для матричного дифференциального уравнения Ляпунова. В свою очередь теорема 2 сводит исследование устойчивости к оценке спектрального радиуса некоторого положительного оператора.
В разделе 3 на основе этого спектрального критерия получена теорема 3. дающая необходимые и достаточные условия стабилизируемости стохастически возмущенных предельных циклов.
Конструктивные возможности полученного критерия иллюстрируются в разделе 4 для важного случая цикла на плоскости.
2. Устойчивость
Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений в п-мерном евклидовом пространстве
(1) (1х = /(ж) ¿г, ж,/ е М",
где /(х) - достаточно гладкая вектор-функция.
Предполагается, что система (1) имеет цикл М, задаваемый некоторым Т-перио-дическим решением х = £(г), где жо = £(0) - фиксированная точка цикла. Решение £ (г) на интервале [0, Т) задает естественную параметризацию т очек цикла: М =
= {£(г) | о < г < Т}.
Стандартной моделью при анализе устойчивости детерминированной системы (1) к воздействию случайных возмущений является система стохастических уравнений Ито [61
т
(2) ¿ж = /(ж) ¿г + аг (ж) (г), ж, /, аг е М".
Г = 1
Здесь (г) (г = 1,..., т) - независимые стандартные винеровские процессы, заданные на вероятностном пространстве (П, Т, Р), /(ж) и аг (ж) - достаточно гладкие вектор-функции. Для того, чтобы цикл М оставался инвариантным и для системы (2), предполагается
(3) \м =0.
М
неквадратичном (ЭСК-устойчивым) для системы (2) в некоторой окрестности и, если при некоторых К > 0 1 > 0 для всех г > 0 выполняется условие
Е||д(ж(г))||2 < Ке-"Е||д(жо)||2,
где ж(г) - решение системы (2) с начальным условием ж(0) = ж0 е И. Здесь
д(ж) = ж — 7(ж), 7(ж) = а^тт ||ж — у||,
уем
|| • || - евклидова норма, 7(ж) - ближайшая к ж точка цикла М, а д(ж) - вектор
ж М и
риантна: все решения ж(г) с начальным условием ж(0) = жо е И остаются в И при
всех t ^ 0. Отметим, что в малой окрестности U гладкой кривой M функция 7(ж) определена однозначно.
Рассмотрим наряду с (1) и (2) соответствующие линейные системы первого приближения
(4) dz = F (t)zdt,
m
(5) dz = F (t)zdt + Sr (t)zdwr (t)
r = 1
с Т-периодическими коэффициентами
f(t)=f(^(t))' Sr(t)=dx (^(t))-
Матричные функции Sr(t) вследствие (3) являются вырожденными: Sr(t)f (£(t)) = = 0.
z=0
устойчивой в традиционном смысле, поскольку эти системы имеют Т-периодическое решение z = f (£(t)). Здесь рассматривается более слабый аналог такой устойчивости, определяемый с помощью проектора Р(t) = Pf(£(t)), где Pr = I--у-.
Определение 2. Тривиальное решение z = 0 системы (5) называется экспоненциально P-устойчивым в среднеквадратичном, если при некоторых K > 0, l > 0 дм всex t > 0 выполняется неравенство
ЕУР(t)z(t)||2 < Ke-1i Е||Р(0)zo||2'
где z(t) - решение системы (5) с начальным условием z(0) = z0 G Rn. При этом
(5) P
Во избежание недоразумений отметим, что в литературе используется близкий термин "экспоненциальная ^-устойчивость" (p - строчная), связанная с поведением моментов p-й степени.
В данном определении требуется лишь экспоненциальное убывание вторых моментов проекций Р(t)z(t) решений системы (5). Понятие Р-устойчивости было введено в [8] для исследования устойчивости стохастически возмущенных предельных циклов и использовалось в [9 11] при анализе систем с тороидальными и общими инвариантными многообразиями.
Рассмотрим пространство Е, составленное го всех симметрпчеекпх n х n-матриц, определенных и достаточно гладких па R1 с условиями периодичности V (t + Т) = = V(t) и вырожденности V(t)f (£(t)) = 0.
Определение 3. Матрица V(t) G Е называется Р-положительной, если выполняется условие
Vt G R1 V z G Rn Р(t)z = 0 ^ (z, V(t)z) > 0.
В пространстве Е рассматривается конус
K = {V G Е | V(t) - неотрицательно определенная матрица Vt G R1}
и множество
Kp = {V G Е | V — Р - положительно определенная}. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:
а) цикл М системы (2) является ЭСК-устойчивым;
б) система первого приближения (5) является Р-устойчивой;
в) при любой матрице Ж уравнение
т
(6) с\у ] = V' + г + VF (*) + (¿) = -ж
Г = 1
имеет в КР единственное решение - матрицу V еКР.
Данная теорема объединяет результаты, полученные в [7. 8]. В этих работах содержатся доказательства и технические детали используемых конструкций. Результат теоремы 1 представляет собой естественное распространение на случай стохастических циклов классической теории устойчивости по первому приближению [12].
М
следованию разрешимости матричного уравнения £[У] = — Ж в массе Р-иоложи-тельно определенных матриц К р. Решать вопрос об устойчивости, напрямую исследуя разрешимость таких уравнений, часто бывает неудобно, особенно в случаях. близких к критическим. Здесь возможен подход, позволяющий свести исследование устойчивости к оценке спектрального радиуса некоторого положительного оператора.
Представим оператор С из (6) в виде суммы С = А + 5
операторов А и задаваемых та элементах пространства Я равенствами
т
А[У] = V' + Г т(^У + УГ (*), 5 [V] = ^ БТ$)УБг (*).
г= 1
При этом уравнение (6) может быть записано в виде
(7) АИ + 5 [V ] = —Ж.
Р
следует существование обратного оператора А-1, прнчем А-1 - отрицательный на конусе К. Умножая (7) на А-1, получим
(8) V — Р [V ] = —А-1 [Ж ],
где оператор Р = —А-15 как произведение положительных операторов —А-1 и 5 также является положительным.
Р
востп стохастической системы (5) сводится к оценке спектрального радиуса р(Р) Р
(5) Р
чива, необходилш и достаточно, чтобы
а) детерминированная система (4) был а Р-устойчива;
б) выполнялось неравенство
р(Р) < 1.
2.1. Случай цикла на плоскости
В случае цикла на плоскости спектральный радиус оператора P находится [8] в явном виде
(в)
Р = •
(а)
Здесь
a(t)= pT(t) (FT(t) + F(t)) p(t), e(t)= E S(t)SrT(t)j p(t),
p(t) - нормированный вектор с условием ортогональности p(t)±/(£(t)), (•) - усреднение по [0, T]:
T
(а) = j a(t)dt.
о
Неравенство (а) < 0 является необходимым и достаточным условием Р-устойчи-вости детерминированной системы (4).
Благодаря равенству (а) = 2(trF), условие (а) < 0 эквивалентно известному неравенству (признак Пуанкаре)
i
Л = T J trF(t)dt < 0,
задающему необходимое и достаточное условие экспоненциальной устойчивости цикла в детерминированной системе (1) при п = 2. Здесь Л - характеристический показатель системы (4).
Таким образом, неравенство р < 1 (необходимое и достаточное условие Р-устой-чивости стохастической системы (5)) можно записать в следующей форме
(9) (а + в> < 0.
Полученный критерий является естественным обобщением классического критерия Пуанкаре на случай стохастических систем.
3. Стабилизация
Рассмотрим управляемую детерминированную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(ю) ¿ж = /(ж, и) Л, ж,/ е М", и е М1
и соответствующую стохастически возмущенную систему уравнений Ито
т
(11) ¿ж = /(ж, и) Л + аг(ж,и)^иу(£), ж,/, оу е М", и е М1.
Г=1
Здесь /(ж, и), аг(ж,и) - достаточно гладкие вектор-функции, (г) (г = 1,... ,т) -независимые стандартные винеровские процессы, и - управляющий параметр.
Системой (11) охватывается общий случай, когда случайные помехи зав
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.