ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 4, с. 825-828
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА В МОДЕЛЯХ НАМБУ-ИОНА-ЛАЗИНИО
© 2004 г. И. Т. Дятлов
Петербургский институт ядерной физики РАН, Гатчина
Поступила в редакцию 15.05.2003 г.
В моделях Намбу—Иона-Лазинио для динамического нарушения киральной симметрии неперенор-мируемые расходимости препятствуют непосредственному сравнению вакуумных энергий различных решений. Выбор стабильного вакуума при наличии нескольких решений уравнений для масс фермио-нов можно все же произвести, поскольку для нестабильных состояний в спектре составных скалярных бозонов модели появляются тахионы.
Модель Намбу—Иона-Лазинио (НИЛ) есть уникальный четырехмерный пример образования релятивистского конденсата и масс фермионов при динамическом нарушении киральной симметрии [1]. Система НИЛ широко применяется для моделирования механизмов, предполагаемых для объяснения явлений реального мира: возникновения кваркового конденсата легких флейворов в КХД (см. обзор [2] и литературу к нему), динамического нарушения слабой симметрии и образования масс фермионов в моделях с составным хиггсовским бозоном стандартной модели [3], а также для исследования возможных фазовых переходов в моделях со многими флейворами [4].
Неперенормируемое четырехфермионное взаимодействие НИЛ лежит в основе этих рассмотрений (см. ниже формулу (1)). Его следует понимать как эффективное, описывающее динамику системы ниже некоторой энергии М. Результаты зависят от М, и обрезание М является для системы НИЛ реальной физической константой. Расходимости вынуждают ограничиваться вкладами, построенными из одной, максимум двух [5] петель, что эквивалентно рассмотрению системы с большим числом компонент ("цветов", Ыс) фермионов.
Фазовый переход к нарушению киральной симметрии означает движение системы к новому стабильному вакууму и минимуму эффективной потенциальной энергии. Для неперенормируемого взаимодействия нет возможности достоверно вычислить потенциальную энергию, и стабильность следует устанавливать косвенным путем. В пионерской работе НИЛ [1] в качестве критерия стабильности был предложен сдвиг подвала свободных фермионов при приобретении ими массы. Однако этот сдвиг квадратично расходится, а система НИЛ есть система взаимодействующих частиц.
В то же время для многофлейворных систем "уравнения щели", определяющие массы фермионов, допускают многие решения, соответствующие различным вариантам нарушения киральной симметрии. При фазовом переходе массы могут появиться не у всех фермионов сразу. Система может включать несколько НИЛ-четырехфермионных взаимодействий [4, 6], часть из которых окажется докритической.
В настоящей работе будет показано, что у таких систем стабильность вакуума после перехода можно установить (в том же Ыс ^ 1 приближении), изучая свойства составных бозонов, образованных парами фермион—антифермион.
Для пояснения рассмотрим НИЛ-модель Nf киральных (Е,Ь) фермионов дст(х), дСг(х) (Ъ = = 1,2,...,Nf — флейворный индекс, с = 1,2,..., Nc ^ 1), взаимодействующих друг с другом (ии(Nf) х UL(Nf)) инвариантным образом [4]:
V(х) = О (д_стдсЬк) д°Ькд%,
(1)
В главном по N приближении обычное для моделей НИЛ уравнение для масс фермионов имеет вид
(1А'Р ГПг ^
ОN.
тг =
8п2
п2г т2 — р2
Правая часть его есть вклад диаграммы рисунка а. Оно и называется уравнением щели. Интеграл в (2) подразумевает какое-то обрезание квадратично-расходящегося интеграла, качественные свойства решений НИЛ не зависят от выбора обрезания.
Существование решения уравнения (2) с тг = = 0 означает нарушение киральной симметрии и переход к новому вакууму, содержащему конденсат {(¡ядь), что возможно только при достаточно больших О. Чтобы убедиться в этом, можно вычислить интеграл в (2) с каким-либо обрезанием.
826
ДЯТЛОВ
га 2
к
к
к
Ы в т
Диаграммы для массы фермиона (а) и амплитуды рассеяния фермионов (б).
Простейший вариант приводит к известному [1—4] выражению
т; = тг
СМсМ2
1 " М2 1П 2 ) ' (3)
в,Ар
2 а2 - Ш1Ш2
п2г
т
?-(р-! )2
т
¡-(р +1)2
Л1 и А2 вычисляем при произвольных массах составляющих частиц, это упростит дальнейшее изложение.
Безразмерная амплитуда В равна, очевидно,
откуда видно, что ОЫсМ2/8п2 > 1 для решений с
Шг = 0.
Однако решение уравнения (2) могло бы придать массу только части фермионов (и), что соответствует нарушению киральной группы:
ия(М;)иь(щ) ^ (4)
^ - и)иь№ - и)иК+ь(и).
Такой переход сопровождается появлением следующего числа безмассовых голдстоуновских скаляров:
2Ы] - 2(Я/ - и)2 - и2 = и(Ш} - 3и). (5)
Исследуем вопрос, какие фермионы образуют голдстоуновские частицы и все ли переходы (4) возможны.
Для этой цели рассмотрим выражение для амплитуды рассеяния фермиона на антифермионе с заданными киральностями. В главном по N приближении амплитуда равна вкладу от суммы диаграмм типа рисунка б. Удобно рассматривать безразмерную амплитуду В(д), вынеся множитель О. Тогда однопетлевой вклад, записанный в виде матрицы К, Ь киральностей начальных—конечных частиц (античастицы согласно (1) имеют противоположную киральность), равен:
Лоц «2 (д) = А1 (д)5 + Л2(д)5а1
—а2, (6)
а = К, Ь; {А1(дУ,А2(д)} = -^х
В(д) = (1 - Л(д))
1
(7)
Легко видеть, что любой матричный элемент матрицы В включает знаменатели 1 - Л1(д) ± Л2 (д). Нули этих выражений определяют скалярные (или псевдоскалярные) бозоны модели. Перепишем числители из (6) в виде
2 Я2 , 1
Р - — ± Ш1Ш2 = -
д 2 2
Р ~ 2) ~т1
+ (8)
1
+ 2
Р + |) ~т1
+ -(ш! ± т2)2.
Тогда, заменив в 1 - Л1 ± Л2 единицу на правую часть формулы (2), деленную на тг, при тг = т — решении уравнения щели, имеем:
1 -А1(д)±А2(д) = ^х
с14р п2г
+
1
16п2 1
(9)
т2 - р2
т
- (р -
т2 - р2
-(Р + 1П
т
+
+
+
(т1 ± т2)2 - д2
т
т
¡-(Р + 1Г
Отметим, что в (9) нет квадратично-расходящихся интегралов. Произвол, вызванный обрезанием, ограничивается константой. Введем обозначения:
Ж1,2 = ^ ( 1 +
22 т22 - т21
-д2
±
22
21 т 1 * +
—I
д2
х
1
1
СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА В МОДЕЛЯХ и вычислим интегралы по d4p в формуле (9):
I (mi,m2,q)= (11
d4p
n2i
mi
Î-(P-I) rnl-{p + 1)
+ Ii(mi,m2,q) =
d4p (q — 2p)q
n2 i
q2 (mi — p2)[m2 — (p — q)2 ]
= ^ + (1 - x\ - x2) + - In ——- +
2 Ж i
+ Ж2(1 — Ж2) ln
Ж2 - 1
Ж2
4
1 + /1 ( m, mi, + Д (m, m2,1
2. Рассеяние массивных фермионов на безмассовых, m = mi, m2 = 0 (здесь A2(q) = 0):
1 — Ai(q)= (14)
GNC Г 2
q
M2 1 — ж1 — ж^ mi
= In--h r H--In--h
mim2 2 m2
Ж1 — Ж2 , (1 — Ж1)Ж2 H--In --г—.
2 (1 — Ж2)Ж1
Из линейно-расходящегося интеграла выделим часть, зависящую от mi и m2:
1
- q l(m,0,q) - —
Z ( гтт., 0, — ) -l(m,0,q)
q
l + h
(12)
Легко видеть, что при т1 ^ т2 х\ ^ 1 — х2. Функция I симметрична при замене т\ ^ т2, а функция 11 — антисимметрична. Величина г моделирует зависимость от обрезания; например, использование обрезающего фактора (М2/(М2 + + р2))п под интегралами (11) и (12) приводит к г = ТП— к-1. Слагаемое 1/2 в (12) возникает именно при таком способе обрезания. При пространственноподобных д2 < 0 функции I и 11 вещественны.
Для исследуемой величины (9) получим:
1 — Л1(д) ± Л2(д) = (13)
+ (т2 - т2)1 (т, т2, |^ + + [(т1 ± т2 )2 — д2] I (т1 ,т2, д) —
При q2 — 0 Ii(m, 0, 0) = —(1/2), I(m, 0, 0) = = ln(M2/m2) + r и в (14) имеем нуль. Это настоящие голдстоуновские частицы с положительными вычетами. Их состав:
q Riqbk, qbkqui, ¡Liquk, qukqLi, (15)
i = 1, 2,...,n, k = n + 1,...,Nf.
Всего здесь возникает 4n(Nf — n) безмассовых бозонов. Число всех безмассовых частиц определяется выражением (5), как это и должно быть для рассматриваемого перехода.
Таким образом, по всем признакам имеем в системе (1) разнообразие возможных фазовых переходов (4). Все ли они приводят к устойчивым состояниям?
Чтобы ответить на этот вопрос, исследуем процесс рассеяния двух безмассовых фермионов друг на друге.
3. m = 0, mi = m2 = 0. Тогда для знаменателя амплитуды имеем
1 " Мд) = ~2тН (т' I) " (16)
I-2/1 (т,(Ц
Подставив соответствующие величины из (11) и (12), получаем
GNC f 16тг2\
l-A^q) = -2тг
M2
In —- + г — 1 —
m
2
(17)
—q
M2 1
m —- + г H—
2
Рассмотрим возможные варианты амплитуд.
1. Рассеяние массивных фермионов, m = m\ = = m2, I\ = 0. Для любой пары (i, k) из n массивных флейворов существует один массивный бозон (QRiQbk + QbkQRi)/л/2 и одна безмассовая частица (ЯтЯьк ~ QbkQm)/(л/2г), i,k<n. Всего здесь возникает n2 массивных и n2 безмассовых скаляров — псевдоскаляров.
В спектре этой амплитуды присутствуют тахионы: д2 ~ —2т2. Еще один корень (17) находится вне области применимости модели: д2 ~
2 2 М2
~ - М2 + 2т2 1п —.
т2
Общее число состояний с отрицательным квадратом массы равно (Nf — п)2. Это свидетельствует о нестабильности вакуумов с п = Nf. Единственно стабильная система возникает при переходе в состояние, в котором все фермионы модели приобретают массы.
1
2
1
2
q
828
ДЯТЛОВ
При нашем рассмотрении мы избежали квадратичных расходимостей и произвол в обрезании при M ^ m не влияет на качественные выводы.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 01-02-17216).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122, 345 (1961).
2. P. S. Klevansky, Rev. Mod. Phys. 64, 649 (1992).
3. W. A. Bardeen, C. T. Hill, and M. Lindner, Phys. Rev. D 41, 1647(1990).
4. R. S. Chivukula, M. Golden, and E. H. Simmons, Phys. Rev. Lett. 70, 1587 (1993); W. A. Bardeen, C. T. Hill, and D. U. Jungnickel, Phys. Rev. D 49, 1437 (1994); И. Т.Дятлов, ЯФ 60, 1650(1997).
5. V. Dmitrasinovic, H. J. Schulze, and R. Tegen, Ann. Phys. (N.Y.) 238,332(1995).
6. И. Т. Дятлов, ЯФ 64,1738(2001).
VACUUM STABILITY IN NAMBU-YONA-LASINIO MODELS
I. T. Dyatlov
Unrenormalizing divergences prevent direct comparison of different vacuum energies in Nambu—Yona-Lasinio models of the dynamic chiral symmetry breaking. However, even when equations for fermion masses have several solutions, separation of stable vacua between them is possible since for unstable Nambu—Yona-Lasinio systems tachions appear among compound scalar bosons.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.