научная статья по теме СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА В МОДЕЛЯХ НАМБУ-ИОНА-ЛАЗИНИО Физика

Текст научной статьи на тему «СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА В МОДЕЛЯХ НАМБУ-ИОНА-ЛАЗИНИО»

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 4, с. 825-828

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ

СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА В МОДЕЛЯХ НАМБУ-ИОНА-ЛАЗИНИО

© 2004 г. И. Т. Дятлов

Петербургский институт ядерной физики РАН, Гатчина

Поступила в редакцию 15.05.2003 г.

В моделях Намбу—Иона-Лазинио для динамического нарушения киральной симметрии неперенор-мируемые расходимости препятствуют непосредственному сравнению вакуумных энергий различных решений. Выбор стабильного вакуума при наличии нескольких решений уравнений для масс фермио-нов можно все же произвести, поскольку для нестабильных состояний в спектре составных скалярных бозонов модели появляются тахионы.

Модель Намбу—Иона-Лазинио (НИЛ) есть уникальный четырехмерный пример образования релятивистского конденсата и масс фермионов при динамическом нарушении киральной симметрии [1]. Система НИЛ широко применяется для моделирования механизмов, предполагаемых для объяснения явлений реального мира: возникновения кваркового конденсата легких флейворов в КХД (см. обзор [2] и литературу к нему), динамического нарушения слабой симметрии и образования масс фермионов в моделях с составным хиггсовским бозоном стандартной модели [3], а также для исследования возможных фазовых переходов в моделях со многими флейворами [4].

Неперенормируемое четырехфермионное взаимодействие НИЛ лежит в основе этих рассмотрений (см. ниже формулу (1)). Его следует понимать как эффективное, описывающее динамику системы ниже некоторой энергии М. Результаты зависят от М, и обрезание М является для системы НИЛ реальной физической константой. Расходимости вынуждают ограничиваться вкладами, построенными из одной, максимум двух [5] петель, что эквивалентно рассмотрению системы с большим числом компонент ("цветов", Ыс) фермионов.

Фазовый переход к нарушению киральной симметрии означает движение системы к новому стабильному вакууму и минимуму эффективной потенциальной энергии. Для неперенормируемого взаимодействия нет возможности достоверно вычислить потенциальную энергию, и стабильность следует устанавливать косвенным путем. В пионерской работе НИЛ [1] в качестве критерия стабильности был предложен сдвиг подвала свободных фермионов при приобретении ими массы. Однако этот сдвиг квадратично расходится, а система НИЛ есть система взаимодействующих частиц.

В то же время для многофлейворных систем "уравнения щели", определяющие массы фермионов, допускают многие решения, соответствующие различным вариантам нарушения киральной симметрии. При фазовом переходе массы могут появиться не у всех фермионов сразу. Система может включать несколько НИЛ-четырехфермионных взаимодействий [4, 6], часть из которых окажется докритической.

В настоящей работе будет показано, что у таких систем стабильность вакуума после перехода можно установить (в том же Ыс ^ 1 приближении), изучая свойства составных бозонов, образованных парами фермион—антифермион.

Для пояснения рассмотрим НИЛ-модель Nf киральных (Е,Ь) фермионов дст(х), дСг(х) (Ъ = = 1,2,...,Nf — флейворный индекс, с = 1,2,..., Nc ^ 1), взаимодействующих друг с другом (ии(Nf) х UL(Nf)) инвариантным образом [4]:

V(х) = О (д_стдсЬк) д°Ькд%,

(1)

В главном по N приближении обычное для моделей НИЛ уравнение для масс фермионов имеет вид

(1А'Р ГПг ^

ОN.

тг =

8п2

п2г т2 — р2

Правая часть его есть вклад диаграммы рисунка а. Оно и называется уравнением щели. Интеграл в (2) подразумевает какое-то обрезание квадратично-расходящегося интеграла, качественные свойства решений НИЛ не зависят от выбора обрезания.

Существование решения уравнения (2) с тг = = 0 означает нарушение киральной симметрии и переход к новому вакууму, содержащему конденсат {(¡ядь), что возможно только при достаточно больших О. Чтобы убедиться в этом, можно вычислить интеграл в (2) с каким-либо обрезанием.

826

ДЯТЛОВ

га 2

к

к

к

Ы в т

Диаграммы для массы фермиона (а) и амплитуды рассеяния фермионов (б).

Простейший вариант приводит к известному [1—4] выражению

т; = тг

СМсМ2

1 " М2 1П 2 ) ' (3)

в,Ар

2 а2 - Ш1Ш2

п2г

т

?-(р-! )2

т

¡-(р +1)2

Л1 и А2 вычисляем при произвольных массах составляющих частиц, это упростит дальнейшее изложение.

Безразмерная амплитуда В равна, очевидно,

откуда видно, что ОЫсМ2/8п2 > 1 для решений с

Шг = 0.

Однако решение уравнения (2) могло бы придать массу только части фермионов (и), что соответствует нарушению киральной группы:

ия(М;)иь(щ) ^ (4)

^ - и)иь№ - и)иК+ь(и).

Такой переход сопровождается появлением следующего числа безмассовых голдстоуновских скаляров:

2Ы] - 2(Я/ - и)2 - и2 = и(Ш} - 3и). (5)

Исследуем вопрос, какие фермионы образуют голдстоуновские частицы и все ли переходы (4) возможны.

Для этой цели рассмотрим выражение для амплитуды рассеяния фермиона на антифермионе с заданными киральностями. В главном по N приближении амплитуда равна вкладу от суммы диаграмм типа рисунка б. Удобно рассматривать безразмерную амплитуду В(д), вынеся множитель О. Тогда однопетлевой вклад, записанный в виде матрицы К, Ь киральностей начальных—конечных частиц (античастицы согласно (1) имеют противоположную киральность), равен:

Лоц «2 (д) = А1 (д)5 + Л2(д)5а1

—а2, (6)

а = К, Ь; {А1(дУ,А2(д)} = -^х

В(д) = (1 - Л(д))

1

(7)

Легко видеть, что любой матричный элемент матрицы В включает знаменатели 1 - Л1(д) ± Л2 (д). Нули этих выражений определяют скалярные (или псевдоскалярные) бозоны модели. Перепишем числители из (6) в виде

2 Я2 , 1

Р - — ± Ш1Ш2 = -

д 2 2

Р ~ 2) ~т1

+ (8)

1

+ 2

Р + |) ~т1

+ -(ш! ± т2)2.

Тогда, заменив в 1 - Л1 ± Л2 единицу на правую часть формулы (2), деленную на тг, при тг = т — решении уравнения щели, имеем:

1 -А1(д)±А2(д) = ^х

с14р п2г

+

1

16п2 1

(9)

т2 - р2

т

- (р -

т2 - р2

-(Р + 1П

т

+

+

+

(т1 ± т2)2 - д2

т

т

¡-(Р + 1Г

Отметим, что в (9) нет квадратично-расходящихся интегралов. Произвол, вызванный обрезанием, ограничивается константой. Введем обозначения:

Ж1,2 = ^ ( 1 +

22 т22 - т21

-д2

±

22

21 т 1 * +

—I

д2

х

1

1

СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА В МОДЕЛЯХ и вычислим интегралы по d4p в формуле (9):

I (mi,m2,q)= (11

d4p

n2i

mi

Î-(P-I) rnl-{p + 1)

+ Ii(mi,m2,q) =

d4p (q — 2p)q

n2 i

q2 (mi — p2)[m2 — (p — q)2 ]

= ^ + (1 - x\ - x2) + - In ——- +

2 Ж i

+ Ж2(1 — Ж2) ln

Ж2 - 1

Ж2

4

1 + /1 ( m, mi, + Д (m, m2,1

2. Рассеяние массивных фермионов на безмассовых, m = mi, m2 = 0 (здесь A2(q) = 0):

1 — Ai(q)= (14)

GNC Г 2

q

M2 1 — ж1 — ж^ mi

= In--h r H--In--h

mim2 2 m2

Ж1 — Ж2 , (1 — Ж1)Ж2 H--In --г—.

2 (1 — Ж2)Ж1

Из линейно-расходящегося интеграла выделим часть, зависящую от mi и m2:

1

- q l(m,0,q) - —

Z ( гтт., 0, — ) -l(m,0,q)

q

l + h

(12)

Легко видеть, что при т1 ^ т2 х\ ^ 1 — х2. Функция I симметрична при замене т\ ^ т2, а функция 11 — антисимметрична. Величина г моделирует зависимость от обрезания; например, использование обрезающего фактора (М2/(М2 + + р2))п под интегралами (11) и (12) приводит к г = ТП— к-1. Слагаемое 1/2 в (12) возникает именно при таком способе обрезания. При пространственноподобных д2 < 0 функции I и 11 вещественны.

Для исследуемой величины (9) получим:

1 — Л1(д) ± Л2(д) = (13)

+ (т2 - т2)1 (т, т2, |^ + + [(т1 ± т2 )2 — д2] I (т1 ,т2, д) —

При q2 — 0 Ii(m, 0, 0) = —(1/2), I(m, 0, 0) = = ln(M2/m2) + r и в (14) имеем нуль. Это настоящие голдстоуновские частицы с положительными вычетами. Их состав:

q Riqbk, qbkqui, ¡Liquk, qukqLi, (15)

i = 1, 2,...,n, k = n + 1,...,Nf.

Всего здесь возникает 4n(Nf — n) безмассовых бозонов. Число всех безмассовых частиц определяется выражением (5), как это и должно быть для рассматриваемого перехода.

Таким образом, по всем признакам имеем в системе (1) разнообразие возможных фазовых переходов (4). Все ли они приводят к устойчивым состояниям?

Чтобы ответить на этот вопрос, исследуем процесс рассеяния двух безмассовых фермионов друг на друге.

3. m = 0, mi = m2 = 0. Тогда для знаменателя амплитуды имеем

1 " Мд) = ~2тН (т' I) " (16)

I-2/1 (т,(Ц

Подставив соответствующие величины из (11) и (12), получаем

GNC f 16тг2\

l-A^q) = -2тг

M2

In —- + г — 1 —

m

2

(17)

—q

M2 1

m —- + г H—

2

Рассмотрим возможные варианты амплитуд.

1. Рассеяние массивных фермионов, m = m\ = = m2, I\ = 0. Для любой пары (i, k) из n массивных флейворов существует один массивный бозон (QRiQbk + QbkQRi)/л/2 и одна безмассовая частица (ЯтЯьк ~ QbkQm)/(л/2г), i,k<n. Всего здесь возникает n2 массивных и n2 безмассовых скаляров — псевдоскаляров.

В спектре этой амплитуды присутствуют тахионы: д2 ~ —2т2. Еще один корень (17) находится вне области применимости модели: д2 ~

2 2 М2

~ - М2 + 2т2 1п —.

т2

Общее число состояний с отрицательным квадратом массы равно (Nf — п)2. Это свидетельствует о нестабильности вакуумов с п = Nf. Единственно стабильная система возникает при переходе в состояние, в котором все фермионы модели приобретают массы.

1

2

1

2

q

828

ДЯТЛОВ

При нашем рассмотрении мы избежали квадратичных расходимостей и произвол в обрезании при M ^ m не влияет на качественные выводы.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 01-02-17216).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122, 345 (1961).

2. P. S. Klevansky, Rev. Mod. Phys. 64, 649 (1992).

3. W. A. Bardeen, C. T. Hill, and M. Lindner, Phys. Rev. D 41, 1647(1990).

4. R. S. Chivukula, M. Golden, and E. H. Simmons, Phys. Rev. Lett. 70, 1587 (1993); W. A. Bardeen, C. T. Hill, and D. U. Jungnickel, Phys. Rev. D 49, 1437 (1994); И. Т.Дятлов, ЯФ 60, 1650(1997).

5. V. Dmitrasinovic, H. J. Schulze, and R. Tegen, Ann. Phys. (N.Y.) 238,332(1995).

6. И. Т. Дятлов, ЯФ 64,1738(2001).

VACUUM STABILITY IN NAMBU-YONA-LASINIO MODELS

I. T. Dyatlov

Unrenormalizing divergences prevent direct comparison of different vacuum energies in Nambu—Yona-Lasinio models of the dynamic chiral symmetry breaking. However, even when equations for fermion masses have several solutions, separation of stable vacua between them is possible since for unstable Nambu—Yona-Lasinio systems tachions appear among compound scalar bosons.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком