ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 10, с. 930-936
УДК 533.95
ПЫЛЕВАЯ ПЛАЗМА
СТАТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ОТКЛИКА ПРИЭЛЕКТРОДНОГО СЛОЯ ПЛАЗМЫ
© 2004 г. А. М. Игнатов
Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 25.12.2003 г.
Приведены результаты численного исследования потенциала пробного заряда в приэлектродном слое плазмы. Показано, что одноименные заряды, расположенные на одинаковом расстоянии от плавающего электрода, могут притягиваться.
1. ВВЕДЕНИЕ
Взаимодействие между макрочастицами является одной из ключевых проблем физики пылевой плазмы, исследуемой в течение многих лет. Это взаимодействие в значительной степени определяется свойствами окружающей среды. В частности, во многих экспериментах, проводящихся в наземных условиях, исследуются ансамбли макрочастиц (пылинок), левитирующих над горизонтальным отрицательно заряженным электродом. При этом пылинки заряжаются отрицательно, и сила тяжести уравновешивается электрическим полем в приэлектродном слое. Подробности различных экспериментов и обсуждение теоретических моделей можно найти, например, в цикле обзоров [1].
Первый вопрос, возникающий при изучении взаимодействия пылинок в слое, заключается в характере распределения потенциала вокруг фиксированного пробного заряда, который в линейном приближении определяется статической функцией отклика. В большинстве моделей, используемых в теории пылевой плазмы, считается, что электроны в слое распределены по Больцма-ну, а ионы формируют направленный к электроду поток со скоростью, сравнимой или превосходящей скорость ионного звука. Для случая неограниченной однородной плазмы потенциал пробного заряда исследовался многими авторами как аналитически, так и численно (напр., [2-8]). В результате этих расчетов сложилась общепризнанная в настоящее время картина, получившая экспериментальное подтверждение [6]: в горизонтальном направлении (т.е. поперек потока ионов) и вверх по течению потенциал экспоненциально уменьшается, а вниз по течению от пробного заряда формируется конус Маха, внутри которого потенциал сложным образом осциллирует. Следует отметить, что хотя в большинстве теоретических работ исследуется случай сверхзвукового потока ионов, закон дисперсии ионно-звуковых волн обеспечивает образование конуса
Маха и для дозвуковых скоростей (так же, как это происходит для волн на глубокой воде [9]). Для слабонеоднородного распределения параметров плазмы аналогичная картина распределения потенциала была недавно получена в [10], где использовалось приближение геометрической оптики.
Очевидно, что при использовании приближения однородной (или слабонеоднородной) неограниченной среды для описания пристеночного слоя плазмы можно надеяться в лучшем случае на качественные результаты. Вопрос о влиянии металлической стенки на взаимодействие пробных зарядов в полуограниченной плазме обсуждался в [11]. В этой работе была вычислена функция Грина точечного заряда для плазмы с потоком ионов, направленным перпендикулярно проводящей стенке. Было показано, что для случая дозвукового потока при определенном удалении заряда от стенки потенциал оказывается осциллирующей функцией в направлении, перпендикулярном потоку ионов. Появление осцилляций можно интерпретировать как электростатическое изображение конуса Маха. Более подробное численное исследование функции отклика, полученной в [11], и исследование влияния этого эффекта на колебания плазменного кристалла приведено в [12].
Основной недостаток работ [11, 12] заключается том, что в них скорость потока ионов и расстояние до проводящей стенки считались независимыми параметрами, тогда как в действительности скорость потока ионов в точке расположения пробного заряда является вполне определенной функцией расстояния. В настоящей статье предпринята попытка отказаться от приближения однородной среды. Это позволяет исследовать потенциал пробного заряда в существенно неоднородном пристеночном слое плазмы. Используемая гидродинамическая модель описана в п. 2. Далее в п. 3 приведен характерный пример невозмущенного распределения параметров плазмы вблизи стенки. Линеаризованные уравнения, поз-
воляющие вычислить функцию отклика, и метод их решения обсуждаются в п. 4. Основные результаты численных расчетов приведены в п. 5. В Заключении сравниваются аналитические и численные результаты.
2. МОДЕЛЬ
В настоящей работе используется следующая достаточно распространенная гидродинамическая модель пристеночного слоя слабоионизован-ной плазмы. Ионы описываются уравнением непрерывности
( п (Г) V (г)) = Ъпе( г),
(1)
где п(г) - плотность, v(r) - скорость потока ионов, пе(г) - плотность электронов, и X - частота ионизации электронным ударом, которая предполагается не зависящей от координат. Баланс импульса ионов описывается уравнением
V1 (тп( г) ^(г) у (г)) + + еп( г г) + т vn (г) г) = 0,
(2)
где V - частота столкновений ионов с нейтральными атомами, также считающаяся постоянной, и т - масса ионов.
Уравнения (1, 2) дополняются уравнением Пуассона
Аф( г) = -4п е [п (г) - пе( г)]-4пр( г),
(3)
где р(г) - плотность внешних зарядов. Электроны в используемой модели распределены по Больц-ману: пе(г) = ^0ехр(еф(г)/Те), N - плотность электронов в точке, где ф(г) = 0, а Те - электронная температура. При помощи уравнения непрерывности (1) соотношение баланса импульса (2) легко превратить в стационарное уравнение Эйлера
(V(г) • V)V(г) + -Уф(г) + (+ VIV(г) = 0.(4)
т V п (г) )
Как видно из последнего члена этого уравнения, учет ионизации в приэлектродном слое, где пе(г) Ф п(г), приводит к зависимости коэффициента трения ионов о нейтралы от координат.
В дальнейшем удобно использовать безразмерные переменные. В качестве масштаба длины выберем электронный дебаевский радиус =
п = И0п\ ф = Те/еф', р = еИ0р\ а частоты столкновений нормируются на ионную ленгмюровскую частоту: X = орХ', V = ору. Таким образом, исходная система уравнений принимает вид
(п V) = геф,
(V • V)V = - Vф - ( пет + V |V,
Аф = еф - п - р,
где штрихи у безразмерных переменных для простоты в дальнейшем опускаются.
(5)
3. НЕВОЗМУЩЕННАЯ ПЛАЗМА
Допустим, что плазма занимает полупространство г < 0, а в плоскости г = 0 расположена проводящая стенка, находящаяся под плавающим потенциалом. В отсутствие внешних зарядов (р = 0) зависимость всех величин, снабжаемых нижним индексом 0, от координаты г определяется системой уравнений
а ( п о и ) = ф
йг
(и йфо (X ф и~Г = -~Т-( _е
аг аг (п0
+ V и,
(6)
а1 фо йг2
= е - п0
= Л/Те/(4пе И0), масштаба скорости - скорость
ионного звука с¡. = ^Те/т, а масштаба плотности -плотность в объеме плазмы И0. В явном виде все величины записываются как г = у = су',
где и = уг0 - г-компонента невозмущенной скорости ионов.
Проблема гладкой сшивки приэлектродного слоя с объемом плазмы, несмотря на ее почтенный возраст, до сих пор обсуждается в литературе (см., например, работу [13] и последовавшую за ней оживленную дискуссию). В конечном счете, проблема сводится к тому, что решения системы (6) зависят от двух существенно разных пространственных масштабов - вблизи стенки (г ~ 0) все величины изменяются на масштабе порядка единицы (т.е. электронного дебаевского радиуса), а вдали от стенки характерный масштаб существенно больше и определяется столкновениями и размером системы. Эта трудность усугубляется еще и тем, что при численном анализе возмущенной системы (5) приходится заходить глубоко в область квазинейтральной плазмы. В настоящей работе эта проблема обходится следующим образом.
iq620 75.0 21.3 12.2 7.5 3.8 0
0.8 0.6 0.4 0.2
(a)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 u 620 75.0 21.3 12.2 7.5 3.8 0 z
620 75.0 21.3 12.2 7.5 3 0.5
2.5 3.0 u 0 z
4
(7)
только от локального значения скорости и, которая и принимается за независимую переменную.
Производя в (6) замену переменных z чаем
d (ип0( и)) ф0(М)
и (и)-;- = Ze ,
du
dфо(и) )
и (и) ¿и = (и)'
dE0( и) , , Фо(и)
и (и) —-- = п0(и) - e '
dи
и, полу-
(8)
где
и' (и) =
Ео( и)
по (и)
Фо( и)
e - v'
(9)
при этом в интересующей нас области и'(и) > 0. Отмеченная выше многомасштабность задачи фактически спрятана в зависимости скорости от координат, которая находится из решения одного уравнения du(z)/dz = и'(и), тогда как решения системы (8) оказываются существенно более гладкими функциями и.
Уравнения (8) численно решаются в интервале скоростей итщ < и < итах. Скорость итп должна быть достаточно малой - на практике оказывается, что результаты мало чувствительны к выбору минимальной скорости при ит„ < 0.1. В качестве граничных условий при и = ит„ выбираются соотношения (7). Для определения максимальной скорости нужны какие-то дополнительные соображения. В настоящей работе выбрано условие равенства электронного и ионного токов на стенке, которое в безразмерных переменных записывается как
2.5 3.0 u
Рис. 1. Пример зависимости плотности (а), потенциала (б) и электрического поля (в) от и и z.
Прежде всего выпишем решение (6) в области квазинейтральности. Полагая п0^) = ехр ф0^), из первых двух уравнений получаем
2 г + V
ип0( и) = e
Фо( и)
m
2п me
(10)
по = Г( 1+ v/Z)и2 + 1] 2(Z+v)'
Фо = ln по,
Ео = (2 Z + v) -иЦ' 1 - и
где Е0 = -¿ф/dz - z -компонента электрического поля.
Поскольку коэффициенты системы (6) от координат не зависят, плотность ионов, потенциал и электрическое поле можно считать зависящими
где те - масса электрона. Таким образом, уравнения (8) интегрируются, начиная с и = итЬ, до тех пор, пока не будет выполнено условие (10). В обсуждаемых ниже численных расчетах отношение масс иона и электрона в (10) выбрано соответствующим аргону.
Пример численного решения системы (8) при г = 10-4, V = 10~2 и ит;п = 0.1 показан на рис. 1, скорость на стенке при этом оказывается равной итах = 3.08. Бомовская граница пристеночного слоя, то есть расстояние, на котором скорость ионов равна скорости ионного звука, в этом случае расположена при = 21.4.
4. ФУНКЦИЯ ОТКЛИКА
Рассмотрим теперь возмущение плазмы под действием внешнего заряда р(г). В уравнениях (5)
z
ко всем невозмущенным величинам появляются добавки (снабжаемые нижним индексом 1), и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.