научная статья по теме СТАТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ОТКЛИКА ПРИЭЛЕКТРОДНОГО СЛОЯ ПЛАЗМЫ Физика

Текст научной статьи на тему «СТАТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ОТКЛИКА ПРИЭЛЕКТРОДНОГО СЛОЯ ПЛАЗМЫ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 10, с. 930-936

УДК 533.95

ПЫЛЕВАЯ ПЛАЗМА

СТАТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ОТКЛИКА ПРИЭЛЕКТРОДНОГО СЛОЯ ПЛАЗМЫ

© 2004 г. А. М. Игнатов

Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 25.12.2003 г.

Приведены результаты численного исследования потенциала пробного заряда в приэлектродном слое плазмы. Показано, что одноименные заряды, расположенные на одинаковом расстоянии от плавающего электрода, могут притягиваться.

1. ВВЕДЕНИЕ

Взаимодействие между макрочастицами является одной из ключевых проблем физики пылевой плазмы, исследуемой в течение многих лет. Это взаимодействие в значительной степени определяется свойствами окружающей среды. В частности, во многих экспериментах, проводящихся в наземных условиях, исследуются ансамбли макрочастиц (пылинок), левитирующих над горизонтальным отрицательно заряженным электродом. При этом пылинки заряжаются отрицательно, и сила тяжести уравновешивается электрическим полем в приэлектродном слое. Подробности различных экспериментов и обсуждение теоретических моделей можно найти, например, в цикле обзоров [1].

Первый вопрос, возникающий при изучении взаимодействия пылинок в слое, заключается в характере распределения потенциала вокруг фиксированного пробного заряда, который в линейном приближении определяется статической функцией отклика. В большинстве моделей, используемых в теории пылевой плазмы, считается, что электроны в слое распределены по Больцма-ну, а ионы формируют направленный к электроду поток со скоростью, сравнимой или превосходящей скорость ионного звука. Для случая неограниченной однородной плазмы потенциал пробного заряда исследовался многими авторами как аналитически, так и численно (напр., [2-8]). В результате этих расчетов сложилась общепризнанная в настоящее время картина, получившая экспериментальное подтверждение [6]: в горизонтальном направлении (т.е. поперек потока ионов) и вверх по течению потенциал экспоненциально уменьшается, а вниз по течению от пробного заряда формируется конус Маха, внутри которого потенциал сложным образом осциллирует. Следует отметить, что хотя в большинстве теоретических работ исследуется случай сверхзвукового потока ионов, закон дисперсии ионно-звуковых волн обеспечивает образование конуса

Маха и для дозвуковых скоростей (так же, как это происходит для волн на глубокой воде [9]). Для слабонеоднородного распределения параметров плазмы аналогичная картина распределения потенциала была недавно получена в [10], где использовалось приближение геометрической оптики.

Очевидно, что при использовании приближения однородной (или слабонеоднородной) неограниченной среды для описания пристеночного слоя плазмы можно надеяться в лучшем случае на качественные результаты. Вопрос о влиянии металлической стенки на взаимодействие пробных зарядов в полуограниченной плазме обсуждался в [11]. В этой работе была вычислена функция Грина точечного заряда для плазмы с потоком ионов, направленным перпендикулярно проводящей стенке. Было показано, что для случая дозвукового потока при определенном удалении заряда от стенки потенциал оказывается осциллирующей функцией в направлении, перпендикулярном потоку ионов. Появление осцилляций можно интерпретировать как электростатическое изображение конуса Маха. Более подробное численное исследование функции отклика, полученной в [11], и исследование влияния этого эффекта на колебания плазменного кристалла приведено в [12].

Основной недостаток работ [11, 12] заключается том, что в них скорость потока ионов и расстояние до проводящей стенки считались независимыми параметрами, тогда как в действительности скорость потока ионов в точке расположения пробного заряда является вполне определенной функцией расстояния. В настоящей статье предпринята попытка отказаться от приближения однородной среды. Это позволяет исследовать потенциал пробного заряда в существенно неоднородном пристеночном слое плазмы. Используемая гидродинамическая модель описана в п. 2. Далее в п. 3 приведен характерный пример невозмущенного распределения параметров плазмы вблизи стенки. Линеаризованные уравнения, поз-

воляющие вычислить функцию отклика, и метод их решения обсуждаются в п. 4. Основные результаты численных расчетов приведены в п. 5. В Заключении сравниваются аналитические и численные результаты.

2. МОДЕЛЬ

В настоящей работе используется следующая достаточно распространенная гидродинамическая модель пристеночного слоя слабоионизован-ной плазмы. Ионы описываются уравнением непрерывности

( п (Г) V (г)) = Ъпе( г),

(1)

где п(г) - плотность, v(r) - скорость потока ионов, пе(г) - плотность электронов, и X - частота ионизации электронным ударом, которая предполагается не зависящей от координат. Баланс импульса ионов описывается уравнением

V1 (тп( г) ^(г) у (г)) + + еп( г г) + т vn (г) г) = 0,

(2)

где V - частота столкновений ионов с нейтральными атомами, также считающаяся постоянной, и т - масса ионов.

Уравнения (1, 2) дополняются уравнением Пуассона

Аф( г) = -4п е [п (г) - пе( г)]-4пр( г),

(3)

где р(г) - плотность внешних зарядов. Электроны в используемой модели распределены по Больц-ману: пе(г) = ^0ехр(еф(г)/Те), N - плотность электронов в точке, где ф(г) = 0, а Те - электронная температура. При помощи уравнения непрерывности (1) соотношение баланса импульса (2) легко превратить в стационарное уравнение Эйлера

(V(г) • V)V(г) + -Уф(г) + (+ VIV(г) = 0.(4)

т V п (г) )

Как видно из последнего члена этого уравнения, учет ионизации в приэлектродном слое, где пе(г) Ф п(г), приводит к зависимости коэффициента трения ионов о нейтралы от координат.

В дальнейшем удобно использовать безразмерные переменные. В качестве масштаба длины выберем электронный дебаевский радиус =

п = И0п\ ф = Те/еф', р = еИ0р\ а частоты столкновений нормируются на ионную ленгмюровскую частоту: X = орХ', V = ору. Таким образом, исходная система уравнений принимает вид

(п V) = геф,

(V • V)V = - Vф - ( пет + V |V,

Аф = еф - п - р,

где штрихи у безразмерных переменных для простоты в дальнейшем опускаются.

(5)

3. НЕВОЗМУЩЕННАЯ ПЛАЗМА

Допустим, что плазма занимает полупространство г < 0, а в плоскости г = 0 расположена проводящая стенка, находящаяся под плавающим потенциалом. В отсутствие внешних зарядов (р = 0) зависимость всех величин, снабжаемых нижним индексом 0, от координаты г определяется системой уравнений

а ( п о и ) = ф

йг

(и йфо (X ф и~Г = -~Т-( _е

аг аг (п0

+ V и,

(6)

а1 фо йг2

= е - п0

= Л/Те/(4пе И0), масштаба скорости - скорость

ионного звука с¡. = ^Те/т, а масштаба плотности -плотность в объеме плазмы И0. В явном виде все величины записываются как г = у = су',

где и = уг0 - г-компонента невозмущенной скорости ионов.

Проблема гладкой сшивки приэлектродного слоя с объемом плазмы, несмотря на ее почтенный возраст, до сих пор обсуждается в литературе (см., например, работу [13] и последовавшую за ней оживленную дискуссию). В конечном счете, проблема сводится к тому, что решения системы (6) зависят от двух существенно разных пространственных масштабов - вблизи стенки (г ~ 0) все величины изменяются на масштабе порядка единицы (т.е. электронного дебаевского радиуса), а вдали от стенки характерный масштаб существенно больше и определяется столкновениями и размером системы. Эта трудность усугубляется еще и тем, что при численном анализе возмущенной системы (5) приходится заходить глубоко в область квазинейтральной плазмы. В настоящей работе эта проблема обходится следующим образом.

iq620 75.0 21.3 12.2 7.5 3.8 0

0.8 0.6 0.4 0.2

(a)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 u 620 75.0 21.3 12.2 7.5 3.8 0 z

620 75.0 21.3 12.2 7.5 3 0.5

2.5 3.0 u 0 z

4

(7)

только от локального значения скорости и, которая и принимается за независимую переменную.

Производя в (6) замену переменных z чаем

d (ип0( и)) ф0(М)

и (и)-;- = Ze ,

du

dфо(и) )

и (и) ¿и = (и)'

dE0( и) , , Фо(и)

и (и) —-- = п0(и) - e '

и, полу-

(8)

где

и' (и) =

Ео( и)

по (и)

Фо( и)

e - v'

(9)

при этом в интересующей нас области и'(и) > 0. Отмеченная выше многомасштабность задачи фактически спрятана в зависимости скорости от координат, которая находится из решения одного уравнения du(z)/dz = и'(и), тогда как решения системы (8) оказываются существенно более гладкими функциями и.

Уравнения (8) численно решаются в интервале скоростей итщ < и < итах. Скорость итп должна быть достаточно малой - на практике оказывается, что результаты мало чувствительны к выбору минимальной скорости при ит„ < 0.1. В качестве граничных условий при и = ит„ выбираются соотношения (7). Для определения максимальной скорости нужны какие-то дополнительные соображения. В настоящей работе выбрано условие равенства электронного и ионного токов на стенке, которое в безразмерных переменных записывается как

2.5 3.0 u

Рис. 1. Пример зависимости плотности (а), потенциала (б) и электрического поля (в) от и и z.

Прежде всего выпишем решение (6) в области квазинейтральности. Полагая п0^) = ехр ф0^), из первых двух уравнений получаем

2 г + V

ип0( и) = e

Фо( и)

m

2п me

(10)

по = Г( 1+ v/Z)и2 + 1] 2(Z+v)'

Фо = ln по,

Ео = (2 Z + v) -иЦ' 1 - и

где Е0 = -¿ф/dz - z -компонента электрического поля.

Поскольку коэффициенты системы (6) от координат не зависят, плотность ионов, потенциал и электрическое поле можно считать зависящими

где те - масса электрона. Таким образом, уравнения (8) интегрируются, начиная с и = итЬ, до тех пор, пока не будет выполнено условие (10). В обсуждаемых ниже численных расчетах отношение масс иона и электрона в (10) выбрано соответствующим аргону.

Пример численного решения системы (8) при г = 10-4, V = 10~2 и ит;п = 0.1 показан на рис. 1, скорость на стенке при этом оказывается равной итах = 3.08. Бомовская граница пристеночного слоя, то есть расстояние, на котором скорость ионов равна скорости ионного звука, в этом случае расположена при = 21.4.

4. ФУНКЦИЯ ОТКЛИКА

Рассмотрим теперь возмущение плазмы под действием внешнего заряда р(г). В уравнениях (5)

z

ко всем невозмущенным величинам появляются добавки (снабжаемые нижним индексом 1), и

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком