МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 539.374
© 2008 г. К.И. РОМАНОВ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ
В технологических процессах гибки стержней критическое время определяется [1] критерием неограниченного нарастания амплитуды изогнутой оси A ^ го, что равносильно требованию A > A0, где A0 - значение амплитуды в начальный момент времени t = 0. При этом математические модели процессов выпучивания стержней и пластинок [2] построены в рамках теории малых перемещений. Указанное противоречие преодолевается с помощью предположения о том, что критическое состояние реализуется при прогибах A порядка нескольких A0, то есть в момент времени, соответствующий резкому нарастанию перемещений. Естественно, это предположение носит частный характер, поскольку момент перехода к ускоренному росту прогибов зависит от конкретных условий, таких, например, как условия опирания, показатель ползучести, тип несовершенства в системе, значение A0, эксцентриситет приложения нагрузки.
Ниже показано, что при продольном изгибе момент времени, непосредственно предшествующий катастрофическому нарастанию прогибов, может быть определен по изменению фазового объема системы.
1. Статистическая постановка технологических задач. Предположим, что дифференциальные уравнения движения системы известны точно, но постоянные в интегральных уравнениях известны лишь приближенно в области dV-a\ где - фазовый объем системы в начальной конфигурации Q(0), обусловленный технологическими несовершенствами.
Тогда фазовый объем той же самой системы, или ансамбля систем по определению Гиббса [3], может быть определен методами механики сплошной среды по формуле [4]:
dVN) = jdV0 (1.1)
где
dv(N)
- фазовый объем системы в текущей конфигурации Q(N), то есть в момент времени t; J - якобиан преобразования лагранжевых координат в эйлеровы.
Например, в задаче гибки шарнирно закрепленного по концам стержня решение энергетическим методом по схеме чистого изгиба приводит к детерминированной модели системы [5]:
3 , Dn лп т
A?í_ = VLA! (1.2)
2l Jnx
где l - длина стержня; P = P(t) - сила; Inx - обобщенный момент инерции поперечного сечения; I - интеграл, зависящий от показателя ползучести n; k - постоянная для материала при данной температуре, точка означает производную по времени.
При постоянной силе решение уравнения (1.2) с учетом начального условия А = А0 при t = 0 имеет вид (п > 1):
-|1/(п-1)
V
1 -
2(n -1)kl2IA"0 -
1 PnP
В этом случае
J
дА
дАп
1/
1-
3 ТП
п Jn
2(n -1)kl2IAn0
1 Pnt
3n
п J„
n/(n -1)
Заметим, что в рассматриваемом примере реализуется соотношение ] = (А/Ао )п
(1.3)
приводящее к выводу о том, что из большого числа факторов, влияющих на несущую способность стержня, значение показателя ползучести материала оказывает определяющее влияние на скорость расширения фазового объема.
Таким образом, J = 1 при t = 0. С течением времени фазовый объем системы непрерывно расширяется и J ^ ^ при
3 n n-п Jnxl
** 2(п -1)кг21АП 11п 1 Рп
Время t* является критическим временем по критерию катастрофического нарастания прогиба.
Расширение фазового объема, в данном примере фазовой длины йА, соответствует разбеганию траекторий А^) на фазовой плоскости А ~ t. При постоянной силе и п = 1:
A0exp
/ 2 \
2kl PIt п3 J
J = exp
/ 2 \
2k l 2 PIt п Jv
В этом случае фазовый объем также непрерывно расширяется. Однако, конечное критическое время в системе отсутствует.
Статистический принцип Гиббса позволяет дать вероятностную интерпретацию изменению фазового объема. Статистический принцип механики [3] может быть представлен в форме, аналогичной закону сохранения массы в механике сплошной среды [4]:
р(0) dV{0) = pW dV(N) ,(0)
(1.4)
(N)
соответственно.
где р(0) и р(М) - фазовые плотности в конфигурациях О(0) и О
Произведение рйУ выражает вероятность того, что произвольная система ансамбля найдется в элементе фазового пространства йУ. Фазовая плотность р представляет собой коэффициент вероятности рассматриваемой фазы. Его натуральный логарифм называется показателем вероятности.
Таким образом, в статистическом принципе Гиббса роль массы выполняет вероятность, вместо плотности материала используется фазовая плотность, по существу плотность вероятности обнаружить систему йУ(0) в конфигурации в текущей
момент времени.
В сочетании с (1.1) принцип (1.4) может быть представлен в форме й
dt
(PJ) = 0
откуда следует
(N) (0), т
Р = р / J
Таким образом, вследствие уменьшения фазовой плотности p(N) за счет расширения фазового объема, поведение системы может стать непредсказуемым, хаотическим задолго до наступления критического времени t*, даваемого детерминированной моделью процесса.
Определение времени, за которое достигается критическое значение J = J*, оказывается, таким образом, не менее важным, чем значение самого критического времени по критерию J ^ го. Кроме того, отметим, что задача определения времени наступления равенства J = J* может быть решена в предположении малых перемещений и, таким образом, открывается путь к разработке приближенных аналитических методов, дающих решение в виде формул, минуя численные расчеты больших перемещений при ползучести тонкостенных систем.
Конкретное значение p(N)/p(0), определяющее J*, зависит от принимаемых законов распределения плотности вероятности. В простейшем варианте можно взять за основу предположение [6] о ln J* = 1. В условиях этого предположения разбегание траекторий в рассматриваемом примере гибки принимается критическим в момент экспоненциального расширения фазового объема.
Например, при n = 3 по формуле (1.3) получаем А* = 1.4А0 при J* = e. Такое значение амплитуды изогнутой оси набирается за половину критического времени, определяемого по критерию A ^ го.
2. Решение задачи правки. В задаче правки [7] сила, приложенная вдоль оси стержня, является растягивающей в отличие от сжимающей силы, как в задаче гибки.
Например, в задаче правки шарнирно закрепленного по концам стержня решение энергетическим методом по схеме чистого изгиба приводит к детерминированной модели системы в соответствии с уравнением
3 ,
-А-^ = -k- PnAnI (2.1)
21 Jnx
отличающимся от (1.2) знаком перед А .
При постоянной силе решение уравнения (2.1) c учетом начального условия А = А0 при t = 0 имеет вид (n > 1):
1
(2.2)
Ао/
2(n -1)kl21АЯ0 1PV
3n П Jnx
В этом случае с течением времени А ^ 0, то есть система асимптотически стремится к невозмущенному состоянию.
Заметим, что уравнение (2.2) по форме аналогично уравнению кривой релаксации [8], а особую точку А = 0 можно классифицировать [9, 10] как фокус.
Якобиан преобразования координат в задаче правки определяется соотношением
J =1Аг=11
д Ао
i + 2(n -1)kl21Ап0 -1 Pnt
3n П J nx
Здесь оказывается, что с ростом ? фазовый объем сужается. Движение системы оказывается лучше предсказуемым детерминированной моделью, чем в случае задачи гибки.
Вообще, критерий J < 1 можно рассматривать как условие устойчивости процесса деформирования. При J > 1 процесс деформирования, таким образом, классифицируется как неустойчивый в вероятностном смысле, с точки зрения приближения поведения системы к хаотическому, а само значение J следует рассматривать как меру разбегания траекторий, определяемых интегральными кривыми.
Решение задачи правки может быть получено с учетом растяжения оси стержня. С этой целью заменим реальное поперечное сечение идеальным двутавром. Тогда будем иметь [5]:
X =
2 F"h' к
2 Fn hn +
■[|Nh + M\n 1 (Nh + M) + \Nh - M\n J(Nh - M)]
- [|Nh + Mn 1 (Nh + M) - \Nh - M\n 1 (Nh - M)]
,n/( n +1)
h = (JJ F)
где N и M - нормальная сила и изгибающий момент, соответственно; F - площадь поперечного сечения; h - параметр двутавра; - скорость деформации оси стержня; X -скорость изменения кривизны оси стержня.
Учитывая, что для шарнирно закрепленного стержня
y = A sin (пz/l)
X = Э2 y/dz2 = — A(n/l )2sin (nz/l) M = PA sin (nz/l)
по методу коллокации в среднем сечении стержня получаем уравнение
- А
2
kPnAn
2 Fnh'
+1
h
1 + А
1+А i -
А-1
nА-1
Полученное уравнение дает возможность определить аналитически критическое время для различных значений п. Например, при п = 3 интеграл уравнения
- А
кР'^А''
1+з i а4
l J Fnhn + Н с учетом начального условия A = A0 при t0 ■■
0 имеет вид (Р = const):
ln
а0 (А2 + 3 h2) А2 (А2 + 3 h2)
6kh
Fnh
n+ 1
Ц pnt
Это решение показывает, что с увеличением t амплитуда изогнутой оси стержня монотонно уменьшается. Причем t ^ ^ при А ^ 0, то есть система асиптотически стремится к идеальному состоянию. Кроме того, оказывается возможным выразить А через А0:
А = Т3 ЛА0[ АО (ехр / -1) + 3 й2ехр/]-1/2
6к (142
f (t) =
Pnt
Fnhn-1VnJ
и получить якобиан преобразования координат в явной форме
dA = _3 УЗ h3 e x | p f_
d A = 2 2 3/2
dAo [A2(expf -1) + 3h expf]
J =
1
n
Полученное решение задачи правки является более точным, чем решение по схеме чистого изгиба. Однако, качественно, поведение якобиана оказывается прежним. Именно, с течением времени J монотонно уменьшается.
3. Связь принципа Гиббса с постулатом Друкера. Определим dV в статистическом принципе Гиббса (1.4) как dV = dOyd^y, где dV представляет собой мощность, развиваемую дополнительными напряжениями на дополнительных скоростях деформаций.
Тогда по Гиббсу устойчивость процесса деформирования в материальной точке сплошной среды можно определить следующим образом.
При J = dV(N)/dV(0) < 1 процесс деформирования устойчив. В случае J = 1, то есть, когда dVN) = dV(0) = const процесс деформирования протекает с сохранением фазового объема, что соответствует статистическому равновесию по определению Гиббса. В теории ползучести в этот класс процессов попадает, например, установившаяся ползучесть, когда dV = 0 из-за о y = const или £ y = const. При J > 1 процесс деформирования неустойчив.
Значение якобиана представляет собой характеристику разбегания траекторий и случай, когда амплитуды изогнутой оси растут быстрее, чем по экспоненциальному закону, как в примере гибки при n > 1, относится к взрывной неустойчивости [11]. Характерным для взрывной неус
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.