РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 9, с. 1054-1065
СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА
УДК 621.396
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХКОЛЬЦЕВОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ В УСЛОВИЯХ КОМБИНИРОВАННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
© 2004 г. И. Н. Душин, Л. Н. Казаков, Б. И. Шахтарин
Поступила в редакцию 07.04.2004 г.
На основе аппарата марковских процессов исследована плотность распределения вероятности фазовых координат двухкольцевой системы фазовой синхронизации с однонаправленной связью между кольцами для случая входного воздействия в виде аддитивной смеси сигнала со случайно изменяющейся частотой и белого гауссовского шума. Предложена методика построения и численного решения векторного уравнения Колмогорова-Чепмена. Проведен сравнительный анализ дисперсии фазовой ошибки на выходе однокольцевой и двухкольцевой систем синхронизации.
ВВЕДЕНИЕ
Интерес к многокольцевым дискретным и цифровым системам фазовой синхронизации (СФС) обусловлен возможностью получения ряда характеристик, превосходящих аналогичные в одно-кольцевых системах [1, 2]. К таким характеристикам относятся статистические характеристики. Известно, например, что однокольцевые цифровые СФС уступают по помехоустойчивости аналоговым системам. Подобный факт объясняется существованием запаздывания в цифровых СФС. В то же время влияние запаздывания можно существенно снизить, применяя многокольцевые структуры с организованными соответствующим образом связями между кольцами, и тем самым повысить их эффективность [1]. Современный уровень технологий (применение цифровых сигнальных процессоров) позволяет строить многокольцевые системы практически без дополнительных затрат, что делает их еще более привлекательными.
В работе [1] на основе сравнения частотных свойств однокольцевых и двухкольцевых цифровых СФС сделан вывод о потенциальных возможностях последних (а также многокольцевых СФС) при решении задач синхронно-фазовой демодуляции и измерения частоты. Однако подобные выводы описывают частный случай, поскольку основаны на линейном приближении систем. Более точный прогноз возможен при учете нелинейных свойств и должен основываться на нелинейных моделях. В предлагаемой работе на основе аппарата марковских процессов изучаются возможности двухкольцевых дискретных СФС в общем случае. Поставленная задача при этом решается в несколько этапов. Первоначально предложена методика построения векторного уравнения Колмогорова-Чепмена (КЧ). Далее рассмотрены варианты его численного решения
и проведен анализ результатов исследования статистических характеристик.
1. УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА-ЧЕПМЕНА ДЛЯ КОМБИНИРОВАННОГО СЛУЧАЙНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
На рис. 1 приведена эквивалентная функциональная схема двухкольцевой бесфильтровой СФС с пересчитанными внутрь колец компонентами входного сигнала. На схеме приведены следующие обозначения: х\, х2к - фазовые ошибки соответственно в первом и втором кольцах; юн -начальная частотная расстройка; цк - отсчеты переменной составляющей входной частоты, представляющей собой гауссовский процесс с диспер-к
сией ап; пк - отсчеты пересчитанного внутрь колец аддитивного гауссовского входного шума с
Юн
1/(г - 1)
>У(г - 1)
1/г
ч
вт %к
пк-1
■У(г - 1)
Рис. 1. Эквивалентная функциональная схема двухкольцевой СФС.
п
к
51П X
ь
СТАТИСТИЧЕСКИЕ
дисперсией on; b - коэффициент связи между кольцами; Sít S2 - усиления первого и второго колец соответственно.
Система разностных стохастических уравнений, описывающая приведенную схему, имеет вид [3]
- 1 1 О г • 1 Т —
xk +1 = xk - S1 [ sinxk + nk] + n + Юн, Xk+1 = x¡- S2 [ sin xk + Пк-1 + b (sin xk + Пк)] + (1) l + nk-1 + Юн.
Случайный векторный процесс с координатами (xl, xk) не является марковским. Для применения аппарата марковских случайных процессов выполним ряд преобразований. Введем перемен-
3 1 1
ную xk = xk-1 - Si sin xk-1 + (1 - Si/S2)nk - 1. С уче-
3
том xk система уравнений (1) может быть приведена к виду
1 1 1 xk +1 = xk - SJ sin xk + nk ] + n k + Юн,
x2+1 = xk2+(v S1) xk- (S2/S1) x3-
- Sk [ sin xk + b (sin xk + nk)] + (1 - S2/S1 )Юн,
3 1 1
xk +1 = xk - S1sinxk + (1- (S1/S2))nk.
(2)
wk + 1( x1> x2, x3 ) =
(3)
= IIIq(x1' x2' x3|z1' Z3)wk(Z1, Zk, Z3)dz1 dZkdz3,
= q(x 11Z1, Zk, Z3)q(xk|Z1, Zk, Z3)q(x3|Z1, Zk, Z3),
(4)
ХАРАКТЕРИСТИКИ где
q(x11Z1, Z2, Z3) = 5
1055
x1 - Z1
1-I
[ x3 - Z1 +
+ S1 sinZ1 ] + S1 sinZ1 - Юн +
SSSl
b s2
xk - Zk - S Z1 + ^ Z3 + Sk sin Zk + S1 S1
+ Sk b sin z 1-1 1-S^H
(5)
q(xk|Zl, Z2, Z3)
1_ ( 1
-exP ( —^—k
bVkrcanSk v kb2S2^cn
x2 - z2 -(6)
SkV
S S S
- S.Z1 + S.Z3 + SksinZk + Skb sinZ1 - (1 - S. Ю
q(x3|Zl, Z2, Z3)
1
x exp
1
k«n (1-Sk
Vkn a„( 1- J
;[ x3 - Z1 + S1sin Z1 ]
(7)
В случае независимости случайных отсчетов Пк и пк и стационарности параметров их распределения система уравнений (3) описывает трехмерную простую марковскую последовательность, для которой совместная плотность распределения вероятности (ПРВ) случайных переменных
12 3 -
хк, хк, хк, заданных на бесконечном пространстве, подчиняется векторному уравнению КЧ [4]
где 8(0 - дельта-функция Дирака, а2, а^ - дисперсии последовательностей пк и цк соответственно.
С учетом (4)-(7) уравнение (3) может быть приведено к виду
]
wk +1( ^ x3) =
k KOn an bSk ( 1-|
(8)
где q(x1, х2, х3 | гх, г2, z3) - условная ПРВ случайных величин (плотность вероятности перехода), хх =
_ 1 _ 2 3 _1_2_3
= хк + 1 , х2 = хк + 1 , х3 = хк +1 , гХ = хк , г2 = хк , г3 = хк .
Согласно (2), условная ПРВ имеет вид
х2> х3 г1> г2> гз) =
х |/1(г1)|/2(г1,г2)^к(г2,г3(г2))dz2dzl,
где ] = Ь - множитель, учитывающий фильтрующие свойства 8-функции (5) при интегрировании уравнения (4) по переменной г3,
/ \
f 1( Z1) = exP
1
(1-Sk
/
;[ x3- Z1 + S1sin Z1 ]
fk( Z1, Zk) = exp
v kbls2°n
xk- Zk- ss. Z1 +
x
B
i* -п
Л_
1«
B*
x3
Л*-
- п
2п
Л,
2п
2п
2п
xi
Рис. 2. Фрагмент сечения бесконечного фазового пространства плоскостью Х2 = 0.
S2
+ -¡-г-Zs(Zi, Z2) + ¿2 Z2 + ^2b sinZ 1
¿1
Zs(Zi, Z2) = b
z 1 - Xi + -—Ц-- ( Xs - Zi + Si sin Zi) -. 1-l
- S1 sin Z1 + юн
+
x1 = x10 + 2 п m, X2 — X20 + 2nl, xs — x0s + 2 п m,
(9)
где т и I - произвольные целые числа. Подобные точки могут быть объединены в одну точку, принадлежащую фазовому параллелепипеду с образующей, совпадающей с осью х3, и квадратом в сечении по координатам х1 и х2 со сторонами 2п. На рис. 2 приведено сечение фазового параллелепипеда на плоскости (х1, х3). Согласно (9), точки A¡ являются инвариантными и могут быть объединены в точку А. Соответственно, точки Б, также являются инвариантными и объединяются в точку Б.
Математически факт существования инвариантных точек сводится к суммированию значений условной ПРВ для всех инвариантных точек А, соответствующих фиксированной точке с координатами (г1, г2, г3):
qZ ^ А = qZ ^ А + qZ ^ А1 + + qz ^ А-1 + qz ^ а2 + qz ^ а-2 + •••,
(10)
где д2 ^ А - условная ПРВ для ограниченного фазового пространства, ^ А - условная ПРВ для бесконечного фазового пространства.
С учетом (10) имеем
хк' х3 ¿1, ¿3) =
^ ^ (11)
— £ £ q(x1 + 2пm, х2 + 2пl, xs + 2пm|Z1; Z2, Zs).
m — -^ l — -^
В соответствии с (11) уравнение КЧ примет вид
1
Wk + i (Xi, X2, Xs) —
/
+ S- Z2 - X2 + ( 1 - ¿^Шн) + Zi - Si (sinZ2 + b sinZ1).
Учитывая периодический характер нелиней-ностей, входящих в уравнение (8), можно перейти от координат, заданных на бесконечных интервалах, к координатам, заданным на конечных интервалах, определяемых периодами соответствующих координат. Подобный переход основан на утверждении существования бесконечного числа точек в фазовом пространстве, в окрестности которых поведение системы не изменяется [3]. Согласно (2), такие точки инвариантны точке с координатами (x10, x20, x30) и удовлетворяют условию
2па„ ап b¿2( 1-S
■ х
X
£ El fi (Zi )J f2( Zi, Z2 )
х
(12)
l — l — -
х №к(21, ¿к, ¿3())к¿¿1,
где Wk + 1(х1, х2, х3) - совместная ПРВ случайных переменных х1, х2, х3, принадлежащих фазовому параллелепипеду,
/1(¿1) =
— exp
1
2 (1-S2
-[ xs + 2 rcm - Z1 + S1 sinZ1 ]
п
2
п
п
/2( г2) = exP (-
2Ь2¿2аП
х2 + 2пI - г2-^тг1 +
+ -г г3 (г1, г2) + ^п г2 + ^ Ь яп г 1
¿1
г3(г1, г2) = Ь
г 1 - х1 - 2пт +
1 -
¿-1
х [х3 + 2 пт - г1 + 8тг1 ] - 8тг1 + юн
+ 5 Гг2 - х2 - 2пI + Г1 - ^Пюн I + г1 -
+
¿1)
- (8ш г2 + Ь 8ш г1).
Необходимо отметить, что при численном решении (12) бесконечные пределы суммирования можно заменить на конечные, исходя из оценки вероятности перехода изображающей точки на несколько периодов за одну итерацию. Так как условная ПРВ (4) имеет экспоненциальный характер, вероятность такого события резко уменьшается с ростом дистанции, поэтому ряды (12) быстро сходятся. Как показывают расчеты, для типовых параметров входных воздействий и параметров СФС при суммировании можно ограничиться 7.. .11 (т = I = 3.. .5) слагаемыми по обеим суммам без заметной потери точности результата. По бесконечной координате х3 также имеет смысл ввести ограничение, заменив бесконечный интервал на конечный. В качестве такого интервала следует взять отрезок [-2пт, 2пт], где т -число слагаемых, учитываемых при суммировании (12).
Переход от трехмерной ПРВ (12) к одномерным Ж(х1) и W(x2), заданным на интервале [-п, п], осуществляется при помощи следующих выражений:
п 2пт
W(х 1) = | | W(хь х2, х3)dx2dx3,
-п-2 пт п 2пт
(13)
W(х2) = | | W(х1, х2, х3)dx1dx3.
-п -2 пт
2. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА-ЧЕПМЕНА
Рассмотрим некоторые особенности численного решения уравнения (12). Как показывает
предварительный анализ, по координате х3 плотность распределения Wk(xх, х2, х3) является в значительной степени более узкой по сравнению с плотностью распределения по другим координатам. При равномерном шаге интегрирования это приводит к обострению проблемы "вычислительные ресурсы - точность вычислений". При увеличении числа разбиений проблему не удается решить, поскольку требуемые ресурсы (время вычислений, объем оперативной памяти) возрастают нелинейно с уменьшением шага. На рис. 3 и 4 представлен ряд итераций одномерных ПРВ, полученных при чи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.