ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2015
УДК 512.25:519.25:53.088:621.438
© 2015 г. Горошко А.В., Ройзман В.П.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ СНИЖЕНИЯ ВИБРОАКТИВНОСТИ РОТОРОВ
Хмельницкий национальный университет, г. Хмельницкий, Украина
Многие задачи проектирования машин относятся к классу обратных задач, решение которых сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. В статье показана связь числа обусловленности матрицы таких систем и ошибок решения. Обосновано применение метода наименьших квадратов для повышения точности решений. Предложен метод обеспечения устойчивости решений систем линейных алгебраических уравнений, базирующийся на привлечении дополнительной информации путем увеличения количества измерений исходных параметров. Разработан способ и статистический алгоритм обеспечения заданной точности решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений. Приведены результаты применения предложенных методов для идентификации эксцентриситетов и упруго-инерционных параметров в задаче снижения виброактивности ротора турбонасосного агрегата.
Многие практические задачи, такие как задачи проектирования машин, оптимизации технологических процессов, диагностики технического состояния, являются обратными задачами, решение которых сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Однако в силу некорректности обратной задачи при численном решении таких систем необходимо учитывать влияние погрешностей исходных данных.
Оценка погрешности решения. Рассмотрим линейную модель вида
где x е Rm — вектор неизвестных (объект), у е R" — вектор данных наблюдений, а,- е R", ; = 1, 2, ..., т — вектор-столбцы матрицы A, A е R"хт. Матрица А может рассматриваться как математическая запись линейного оператора Л, осуществляющего отображение Rm —► Rи.
Псевдорешение системы (1)
где Л+ = (ЛТЛ) 1ЛТ — псевдообратная матрица Мура—Пенроуза [1].
В частности, если т = п и А — квадратная не вырожденная матрица, решение (2) превращается в нормальное (инверсное) решение
У = Ах = х + х2а2 + ... + х^
(1)
х = Л+у,
(2)
х = Л :у.
(3)
Однако практика показывает, что, несмотря на принципиальную возможность нахождения решения (2) и его единственность, задача усложняется, когда число обусловленности матрицы большое, и решение неустойчиво. Рассматривая без потери общности, случай m = n, найдем оценку относительной погрешности искомой величины. Пусть вместо (1) на самом деле решается система
(A + AA)(x0 + Ax) = Уо + Ay, (4)
т.е. элементы матрицы, искомого вектора и правой части имеют некоторые неизвестные абсолютные погрешности AA, Ax, Ay, зависящие от точности контрольно-измерительной аппаратуры и других факторов, и малые по сравнению с истинными значениями этих величин A0, x0, y0. Обозначим относительные погрешности 8^ = НАА^^Н, 8Х = ||Ax||/||x0||, 8^ = ||Ay||/||y0||. После несложных преобразований получаем
8Х < cond( Ao )8у + [ cond( Ao)]2 8Л, (5)
где cond(A) = || A-11| ■ ||A0|| — число обусловленности матрицы А. Если элементы матрицы заданы точно, неравенство (5) принимает вид
8Х < cond( A)8y. (6)
Здесь представлена количественная взаимосвязь точности решения, выбранной математической модели и точности измерительной аппаратуры. Из (6) видно, что максимальная относительная погрешность решения равна
(8* U = cond( Ao )8у. (7)
Зависимость (7) позволяет выбрать по двум заданным факторам третий. Например, для существующей математической модели и заданной точности решения подобрать необходимую для успешного измерения аппаратуру или по имеющейся аппаратуре и математической модели оценить точность решения, а также по заданной точности метода и имеющейся измерительной аппаратуре оценить эффективность выбранной модели.
Известно [2], что число обусловленности матрицы в евклидовой форме равно отношению максимального и минимального модуля ее собственных чисел
cond(A) = (max| Ц)/(min| Ц), (8)
т.е. с ростом размерности матрицы вероятен рост и числа обусловленности, и, соответственно, погрешности решения.
Поскольку из (6) невозможно точно определить максимально возможное расстояние между приближенным и истинным решениями, так как истинные значения априори неизвестны, то более содержательные результаты можно получить при вычислении оценок абсолютной погрешности решения. В частности, при m = n абсолютную ошибку решения можно определить как
OI AX max = ИуЦ , (9)
CTmin > 0 — наименьшее сингулярное число в сингулярном разложении А [1].
Построение приближенных решений с заданной точностью. Поскольку найти точное решение при плохой обусловленности (1) и ошибках измерений невозможно в принципе, речь может идти лишь о приближенном решении. При этом, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный, так и вероятностный подход. Учитывая, что экспериментальные данные всегда случайны, наиболее естественной представляется постановка обратных задач в рамках теории статистической оценки неизвестных параметров. В отличие от самих числовых характеристик оценки являются случайными, и их значения зависят от объема экспери-
ментальных данных, а законы распределения вероятности — от распределения вероятности самих случайных чисел или значений измеряемых величин.
Все известные методы решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, называемые регуляризирующими алгоритмами (например, [3—6]), по сути направлены на повышение устойчивости системы путем снижения числа обусловленности матрицы.
Учитывая же статистический характер измеренных выходных характеристик, можно применить новые подходы к повышению точности решения систем алгебраических уравнений, суть которых состоит в следующем. Поскольку при т = п задача неустойчивая, предлагается увеличить информацию об объекте, увеличив количество уравнений п т, получая при этом переопределенную систему уравнений. На практике это означает увеличение количества измерений. В строгом смысле переопределенная система является несовместной, следовательно, решение следует искать в виде единого объекта х , при подстановке которого вместо х в левую часть (1) достигается наиболее точное представление всей совокупности экспериментальных данных [7]. Для этого используем метод максимального правдоподобия. Хотя оценка по методу максимального правдоподобия является неустойчивой, ее область всегда уже, чем область допустимых оценок для (2). Более того, максимально правдоподобная оценка приближается к х с ростом количества реализаций п. Максимизация правдоподобия требует, чтобы невязка (х — х0)2 была минимальной, и для случая нормального распределения погрешностей такой оценкой является оценка по методу наименьших квадратов.
На рис. 1 представлены результаты численного эксперимента для системы линейных алгебраических уравнений с сопё(Л) = 86,99, в котором были смоделированы результаты измерений при п = 1000. Центр области, образованной из оценок наименьших квадратов, находится несколько в стороне от х0, при этом с ростом п х —»- х0.
Оценки (7), (8) и (9) дают лишь максимально возможную погрешность и не позволяют судить о том, насколько далеко или близко конкретное решение от истинного. Полученный расчетный результат зависит, в частности, от той конкретной и неизвестной ошибки, которая имеет место в момент измерений. В другой момент времени погрешность измерения одного и того же параметра, осуществляемого тем же прибором, может оказаться другой. Но значения погрешностей измеряемых величин ограничены сверху классом точности прибора, то есть могут рассматриваться как случайные величины с математическим ожиданием, равным их истинному значению, и средним квадратичным отклонением, равным третьей части точности измерительного прибора. Поэтому элементы, полученные в результате решения системы (1) по многократно повторяемым в одинаковых условиях измерениям элементов У и А, могут приобретать произвольные значения внутри ограниченной области, величина которой определяет-
ся оценками (7) и (9), т.е. рассматриваться как случайные величины, которые подчиняются определенным законам распределения. Если для каждого из искомых факторов, которые рассматриваются как случайные величины, найти математическое ожидание, то они и будут ближе всего к истинным результатам.
На практике часто имеется возможность провести некоторое количество измерений lтак, что l = к * m, к е N, т.е. провести к измерений для каждого из параметров В этом случае вместо нахождения оценки по методу наименьших квадратов из (2) предлагается принять m = n и искать инверсное решение (3), при этом вместо yi подставлять его усредненное значение yi = у yij, i = 1, 2, ..., n. Полученная оценка x
¿-¡j = 1 J
совпадает с оценкой по методу наименьших квадратов. Данный метод является фактически статистическим методом регуляризации.
Оценка x позволит перейти к методу обеспечения заданной точности решения (1), т.е. определения необходимого количества измерений при заданной точности решения. На практике с ростом к точность будет увеличиваться, пока случайная ошибка не станет сравнима с систематической, которую можно оценить, например, сравнивая решение прямой задачи с известными входными величинами, полученное методом Монте-Карло, с измеренными. Учет систематической погрешности позволит уточнять решение обратной задачи. В общем случае для увеличения точности решения (1) целесообразно совмещать предложенный метод и известные методы регуляризации.
Обеспечение заданной точности решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений. Из (7) очевидно, что для повышения точности решения нужно уменьшать cond(A) или 8y. Методы улучшения обусловленности матрицы А достаточно широко описаны в литературе, мы же рассмотрим пути уменьшения 8y. Возникает вопрос, какое количество измерений необходимо для достижения заданной точности решения (1). Будем считать плотность распределения yi нормальной yi ~ N(M, а2), i = 1, 2, ..., n. Тогда y является многомерной нормальной величиной y ~ N(^, Е), где ц = M(y) — вектор математического ожидани
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.