АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 85, № 1, с. 79-87
УДК 520.34+520.8.054
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ СЧЕТА ФОТОНОВ
© 2008 г. В. Г. Корнилов
Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия Поступила в редакцию 12.02.2006 г.; принята в печать 05.04.2007 г.
Предложено новое описание процесса регистрации событий счетчиком, обладающим мертвым временем, которое основано на неклассическом квази-биномиальном распределении. Введено описание типа мертвого времени в виде непрерывного параметра у. На основе этого подхода показано, что распределение событий, зарегистрированных счетчиком непродлевающего типа (у = 1), описывается обобщенным распределением Пуассона. Показано, что для счетчиков других типов распределение зарегистрированных событий не отличимо от обобщенного распределения Пуассона, если объем измерений <106. Получены формулы, позволяющие определить исходный поток событий по зарегистрированному и наоборот. Обсуждается поведение коэффициента непуассоновости в зависимости от величины нелинейности. Все аналитически полученные результаты протестированы при помощи компьютерной симуляции.
PACS: 95.55.Rg, 95.55.Aq, 95.75.De
1. ВВЕДЕНИЕ
Когда в астрономических измерениях стал применяться метод счета фотонов (точнее, регистрации однофотонных импульсов), обнаружилось что наряду с многочисленными преимуществами над аналоговой техникой, имеется существенный недостаток: линейная зависимость сигнала от интенсивности излучения нарушается при намного меньших потоках света, чем в методе измерения постоянного тока.
Для фотометрии последствия оказались трагичными — все первичные стандарты (в первую очередь стандарты системы Джонсона) оказались вне диапазона линейности. Для наблюдений ярких объектов пришлось придумывать изощренные методы и разрабатывать методику корректного учета нелинейности однофотонной регистрации.
В последнее время, в связи с массовым переходом на ПЗС-приемники интерес к исследованиям в этой области снизился. Однако потенциал од-нофотонной регистрации настолько велик, что она и сейчас находит широкое применение, тем более, что фотоумножитель — не единственный детектор, способный работать в однофотонном режиме. Для лавинных фотодиодов [1] и приемников на сверхпроводящих туннельных переходах [2] нелинейность счета импульсов также актуальна.
Большие усилия направлены на разработку детекторов, совмещающих достоинства ПЗС-матриц с преимуществами однофотонной регистрации. На наш взгляд, наиболее перспективным является
объединение технологий КМОП (комплементарный металл-оксидный полупроводник, CMOS) и ЛФД (линейный фотодатчик), когда в активной ячейке размещаются лавинный фотодиод, схема управления и счетчик импульсов [3].
Напомним, что метод счета фотонов пришел из ядерной физики, где к тому времени эта проблема была достаточно разработана. По-видимому, разделение на счетчики продлевающего и непро-длевающего типа дал Майер-Лейбниц (H. Maier-Leibnitz). Феллер [4] в 1944 г. решил проблему просчета в счетчиках частиц с точки зрения теории вероятности. Тщательное исследование особенностей регистрации частиц содержится в монографии Гольданского и др. [5]. Применительно к астрономическим задачам эффекту нелинейности в методе счета фотонов было посвящено много работ, например [6, 7].
В настоящей работе приведено теоретическое описание процесса однофотонной регистрации, основанное на неклассических дискретных распределениях вероятностей. Их применение позволило найти вид распределения вероятности зарегистрированных событий в идеализированном счетчике фотонов, обладающем "мертвым временем". Это весьма принципиально и для дальнейших исследований в этой области, и для практических применений.
Наконец, нам кажется важным обратить внимание астрономов на квази-биномиальное распределение (КБР) и на обобщенное распределение
Пуассона (ОРП), адекватно описывающие рекуррентные случайные процессы. Как пример, укажем работу [8], где обобщенное распределение Пуассона применяется для описания эволюции распределения вещества во Вселенной.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССА
Рассмотрим идеализированную регистрирующую систему (счетчик мпульсов), на входе которой случайным образом по времени происходят некоторые события. В произвольный момент времени система начинает регистрировать (считать) эти события и прекращает накопление через время Т = 1. В силу особенностей механизма выделения и подсчета событий, система после регистрации очередного события теряет способность регистрировать новые события (блокируется) на некоторый промежуток времени т, называемый обычно "мертвым временем". Те входные события, которые произошли, пока счетчик был заблокирован, будут пропущены (потеряны) системой регистрации.
Такие незарегистрированные события могут по-разному влиять на регистрирующую систему. Обычно рассматривается две ситуации: в случае счетчика непродлевающего типа (счетчик I типа) потерянное событие никак не влияет на работу счетчика, а в случае счетчика продлевающего типа (счетчик II типа) счетчик заново блокируется на время т. В общем случае все зарегистрированные события обязательно влияют на процесс регистрации, а потерянные события могут совершенно не влиять, влиять так же, как и зарегистрированные, либо частично влиять на процесс регистрации.
Если входные события никак не связаны с процессом регистрации, можно говорить об однородном случае. В такой ситуации первое (после начала счета) событие также может быть потеряно из-за влияния предшествующего, т.е. все события находятся в одинаковых условиях. Другая ситуация возможна, если события начинают генерироваться только после начала регистрации (например при включении приемника излучения). В этом случае первое событие (если оно случится) будет всегда зарегистрировано.
Пусть на входе нашей системы имеется идеальный пуассоновский поток событий со средним значением £. Рассмотрим случайную реализацию, в которой произошло N событий на входе, п незарегистрированных событий и г зарегистрированных событий. Очевидно соотношение г = N — п.
Вероятность пропуска события не зависит от того, как по времени распределены интервалы блокировки счетчика. Значение имеет лишь их суммарное время £ с учетом возможных перекрытий, зависящих от типа мертвого времени. Интервалы
блокировки, вызванные зарегистрированными импульсами, никогда не перекрываются. Интервалы, связанные с пропущенными событиями, могут перекрываться с первыми и друг с другом.
Для счетчика I типа £ определяется только числом зарегистрированных событий £ = гт. Для счетчика продлевающего типа £ = гт + пт/2 = = N — п/2)т, если принять, что средняя величина остатка мертвого времени, связанного с пропущенными событиями, равна1 пт/2. В этом случае число пропущенных событий будет зависеть как от числа зарегистрированных г, так и от числа пропущенных п событий.
Обобщим и формализуем понятие типа счетчика, введя некоторый непрерывный параметр 0 < < У < 1. Тогда суммарное время блокировки системы регистрации £ = гт + упт = N — уп)т = (1 — — y)Nт + угт. Значение у = 1 будет соответствовать счетчику непродлевающего типа, а у = 1/2 — счетчику II типа. Значению у = 0 будет соответствовать счетчик накапливающего типа: £ = Nт зависит только от числа входных событий. При всей искусственности этого типа он сравнительно прост для дальнейшего анализа.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЕГИСТРИРОВАННЫХ СОБЫТИЙ В РЕАЛИЗАЦИИ
В принятых единицах £ почти равна вероятности быть пропущенным для каждого из входных событий. Дополнительно учтем, что само на себя событие не влияет, а в однородном случае также влияют события, произошедшие до начала измерений. Для этого введем поправку а & 1 (ее точное значение определится позже):
г = (1 — у)^ — а)т + угт. (1)
Отметим, что вероятность пропуска первого события отличается от вероятностей для последующих событий (см. парадокс ожидания автобусов в [4, т. 2, с. 25]), поскольку вероятность того, что начало измерений попадет в какой-то интервал между двумя событиями, больше для более длинного интервала.
Соответственно вероятность быть зарегистрированным равна 1 — Если она зависит только от числа событий на входе (у = 0), то вероятность регистрации точно г импульсов описывается обычным биномиальным распределением.
В общем случае у = 0, процесс для зарегистрированных событий является рекуррентным. Для описания таких вероятностных схем в 70-е годы
1 Такое допущение справедливо только при малой нелинейности ^ 1.
были введены обобщения классических дискретных распределений [9, 10]. Для рассматриваемого процесса адекватным будет квази-биномиальное распределение КБРЧ (см. Приложение А), если положить его параметры й и р в соответствии с (1). Тогда распределение условной вероятности зарегистрировать г событий (при условии N событий на входе)2 можно записать в виде:
р(г; N,7, у) =
N!
й(й + рг)г-1 х (2)
г!(N - г)!
х (1 - й - рг)м-г,
й = 1 - (1 - у- а)т, р = -ут, г < N.
Условия, накладываемые на параметры КБР, удовлетворяются, если 0 < £ < 1, что не всегда справедливо. Действительно, в случае N ^ а имеем (1 - y)N + уг < 1/т, откуда для у = 0 следует N < 1/т. Аналогично, для у = 1 получаем г < 1/т, а в случае у = 1/2 получаем условие N + г < 2/т. Эти дополнительные ограничения имеют ясный физический смысл — возникает ситуация насыщения. С точки зрения вероятностного описания они приводят к необходимости переопределения (2) так, чтобы функция р(г; N, т, у) сохранила смысл вероятности. Пример такого расширения можно найти в работе [11], однако ситуации насыщения для задачи учета нелинейности не имеют практического значения.
Другой случай вырождения будет реализовы-ваться при сверхкоротких экспозициях, когда т > > 1, в этом случае (1) и (2) также не отвечают вероятности регистрации г событий и требуют переопределения. Классический подход [4, 5] также не описывает случай сверхкоротких экспозиций.
Для проверки полученных нами результатов была написана программа на 0++, позволяющая моделировать процесс регистрации пуассоновских событий системой с "мертвым временем" т и типом счетчика
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.