Автоматика и телемеханика, Л- 10, 2007
PACS 02.30.Oz. 47.20.Ку
© 2007 г. С.П. ГОРБИКОВ, д-р физ.-мат. наук, A.B. МЕНЬШЕНИНА (Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет)
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА ДЛЯ ХАОТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ВИБРОУДАРНОЙ СИСТЕМЫ
Проводится численное исследование статистических свойств хаотических движений, которые возникают в одной виброударпой системе в результате бифуркации. связанной с приходом периодического движения па границу области бескопечпоударпых движений. Результаты численных расчетов указывают па существование необычного множества, которое является предельным для возникающих после бифуркации хаотических движений. Согласно численным исследованиям в окрестности предельного множества "среднее по ансамблю совпадает со средним по времени", т.е. при решении задач оптимизации в такой системе достаточно следить лишь за одной траекторией.
1. Введение
В динамических системах с ударными взаимодействиями может происходить [1, 2] бифуркация, приводящая к возникновению хаотических движений. Бифуркация связана с приходом периодического движения на границу области существования бесконечноударных движений. Под бесконечноударными понимаются [3. 4. с. 6] движения с бесконечным числом ударных взаимодействий, происходящих за конечный промежуток времени.
В данной работе исследуются статистические свойства хаотических движений, которые возникают в результате указанной выше бифуркации, в окрестности предельного множества [5].
2. Описание рассматриваемой виброударной системы
2.1. Уравнения движения
Изучается динамическая система, описывающая движение виброударного механизма. Механизм представляет собой подвешенный на пружине груз (ударник) массы M, который совершает соударения с неподвижным ограничителем.
Уравнение движения (под действием синусоидальной и постоянной сил) ударника в промежутках между ударами (при x < x0) имеет вид [6]
(1) Md2x/dr2 + kx = P + F sin шт.
При x = x0 происходит мгновенный удар массы M об ограничитель, в результате этого меняется только скорость движения массы
(2) dx/dT+ = —Rdx/dT_.
Здесь dx/dr_ и dx/dr+ - соответственно доударные и послеударные значения скорости; 0 < R < 1 - коэффициент восстановления скорости при ударе.
В данной работе рассматривается случай, когда ударник в состоянии покоя висит над поверхностью удара (осциллятор с зазором). Этому случаю соответствует выполнение соотношения kxo — P > 0. Тогда заменой переменных и параметров t = wr — п А2 = k/(Mw2), V = F/(kx0 — P), q = Mw2(i0 — x)/(kx0 — P) систему (1), (2) можно привести к виду [7]
q + А2q = V sin t + q > 0,
q+ = — Rq_, при q = 0.
Здесь q = dq/dt, q = d2q/dt2, q_ и q+ - соответственно доударные и послеударные V > 1 А > 0
R=1
риваются, например, в [8].
2.2. Сведение задачи к рассмотрению точечного отображения
Фазовые траектории системы (3) изучаются с помощью точечного отображения T = T2T полуповерхности q = 0 q ^ 0 в себя. Здесь Ti - отображение, переводящее точку (qo = 0, qo ^ 0, to) в точку (qo = 0, q- ^ 0, t) по траекториям первого уравнения системы (3); отображение T2 задается формулой ударных взаимодействий
T
полуполосы Ф = {(qo = 0, qo > 0,0 ^ to ^ 2п)} и имеет следующий вид: q(0,0,qo,to) = (—Л-2 - V(Л2 - 1)-i sinto) cos A(0 - to) + + (qoA-1 - VA-i(A2 - 1)-i costo) sin A(0 - to) + + V(A2 - 1)-i sin0 + A-2 =0,
q = -Rq(0,0, qro,to) = -R (A-i + VA(A2 - 1)-i sinto) sin A(0 - to) +
+ (qo - V(A2 - 1)-i cos to) cos A(0 - to) + V(A2 - 1)-i cos0 t = 0(mod 2n), 0 to to
( T, Ф)
( T, Ф)
T
соответствуют хаотические решения системы (3).
2. S. Фазовое пространство
Фазовое пространство системы (3) составляют точки (q, q, t), координаты которых удовлетворяют неравенствам q ^ 0 -то < q < 0 ^ t ^ 2п,а точки (q, q, t = 0) и (q, q, t = 2п) предполагаются отождествленными.
Из точек (q = 0, q > 0,t) выходят, рис. 1, фазовые траектории системы при возрастании времени t, а го точек (q = 0, q < 0, t) - при убывании t. Поведение траекторий вблизи точек (q = 0, q = 0,0 < t < 2п) зависит [8, 9] от знака q|q=o,q=o = = Vsint + 1 и q'"|g=o,q=o = d3q/dt3|q=oj(j=o = Vcost.
Фазовые траектории из малой окрестности точек (0,0,t), где ti < t < t2, представляют собой бесконечноударные движения, которые заканчиваются в точке (0, 0, tf), ti < tf < t2. Из точек (0,0, 0 < t < t^ и (0,0,t2 < t < 2п) выходят
Рис. 1. Разбиение фазового пространства системы (3) па траектории.
фазовые траектории первого уравнения системы (3) как при возрастании, так и при убывании времени Ь. Здесь Ь1 = п + агеэт V-1, Ь2 = 2п — агеэт V-1.
В системе (3) существуют [9] локальная особенность М*(0, 0, Ь2) пятого и локальная особенность N»(0,0,Ь1) шестого типа,, в которых выполняются условия д = 0, д = 0 9 = 0, д''' > 0 и д = 0 д = 0, 9 = 0 д''' < 0 соответственно. Из точки М* (0, 0, ¿2) выходит траектория первого уравнения системы (3). В малой окрестности точки N* существуют бесконечноударные движения, которые заканчиваются в этой же окрестности.
На полуповерхности д = 0, Ч ^ 0 существуют [8] множества 7г,г = 1, 2, 3,..., которые являются образами множества [0,Ь1^(Ь2, 2п] при действии соответствующего отображения Т-г. Из точек, заключенных между множествами ^г и 7г+1, выходят фазовые траектории системы (3), попадающие после г-го удара в малую окрестность точки М*, из которой выходят по траекториям первого уравнения системы (3) в об-д > 0
Часть множества, заключенного между множествами 7Ы и +ъ обозначается через Ды, N =1, 2, 3,... (в состав границы множества Ды входят части множеств 7ы и 7ы+1).
При стремлении г к предельным для последовательпости 7г является множество 7*. Множество 7* входит в состав границы области Д существования беско-нечноударных движений.
3. Описание бифуркации, происходящей в исследуемой системе
В системе (3) при достаточно больших значениях А при фиксированных V и Д
существует [10] периодическое движение Г периода 2п с одним ударом, после кото-
Д
движений, т.е. выполняются соотношения М* € Г, ТМ* € Д. Из точки ТМ* выходит бесконечноударное движение, оканчивающееся в точке (0; 0; Ь), Ь1 < Ь < Ь2. Далее фазовая точка движется по осп Ь до точки М*, из которой выходит траектория первого уравнения системы (3).
При переходе через границу А = А*(У, Д) области существования периодического ГГ дит па границу 7* облает и Д существования бесконечноударных движений. Тогда
из точки ТМ* выходит траектория, являющаяся бесконечноударным движением,
М*
При Л < А*(У, Д) периодическое движение Г исчезает, а вместо него в системе (3) могут возникать [1, 2] хаотические движения.
Замечание 1. Под хаотическими движениями понимаются [11, с. 32] движения, которые обладают следующими свойствами:
чувствительная зависимость от начальных условий (т.е. небольшие изменения начальных значений фазовых траекторий приводят к значительным отличиям в положении фазовых точек через некоторый промежуток времени):
нерегулярность эволюционного поведения в фазовом пространстве системы (т.е. поведение фазовых траекторий системы при изменении времени является беспорядочным ).
4. Предельное множество для хаотических движений, возникающих в результате изучаемой бифуркации
После бифуркации могут образоваться следующие множества и = У где
N е^1
д = (ж | тNс и}.
и
четы, имеют [5] предельным необычное множество Б С и. При значениях параметров Д = 0,7, V = 4, Л = 2,55 множество Б изображено на рис. 2. В этом случае множество и = Бб и и У Бд.
Численные расчеты показали, что найденное множество Б обладает [5] следующими свойствами:
- множество Б являете предельным множеством для траекторий системы (Т, Ф),
и
Б
ческий характер:
- справедливо включение: ТN+1Р(0, </ > 0,4) € Б, если Р(0, </ > 0,4) € Б.
Б
достаточно велика. Часть этой области для значения Д = 0,7 изображена на рис. 3.
г
N
(0,2;2.
V 10 9 8 7 6 5 4 3 2
X = Х*^, Я)
2,00 2,16 2,32 2,48 2,64
Рис. 3.
Рис. 2. Вид предельного множества ^^и К = 0,7; V = 4; Л = 2,55.
Рис. 3. Вид границы области существования периодического движения Г при К = 0,7.
Х
5. Статистические характеристики хаотических движений в окрестности предельного множества
Исследование статистических характеристик хаотических движений в окрестности предельного множества S проводилось следующим образом. В качестве малой окрестности множества S рассматривался прямоугольник H = {(q, t)|<?i ^ q ^ ^ 92 5 ti ^ t ^ ¿2} внутри которого множество S лежит целиком. Прямоугольник H составлен из нескольких прямоугольников со сторонами е1 х е2. В результате исследования было найдено распределение частот попаданий в эти прямоугольники траектории системы (T, Ф), выходящей из произвольно выбранной точки из множества U, за достаточно большое число итераций отображения TN +1.
В статье приводятся результаты численных расчетов, полученные для значений параметров R = 0,7; V = 4; ^ = 2,55. В данном случае множество S целиком лежит внутри прямоугольника H, для которого q1 = 0,33, q2 = 0,38, t1 = 2,96, t2 = 3,02. Прямоугольник H разбивался на 25 ячеек — прямоугольников со сторонами £1 = 0,01 и £2 = 0,012, которые обозначались следующим образом:
Hk = {(^,t)|^1 + £1((k mod 5) - 1) < q < q1 + £1(k mod 5); t1 + £2((k - 1) div5) < t < t1 + £2(((k - 1) div5) + 1)}, k = 1725.
В приведенной формуле запись "k mod 5" означает, что берется остаток от деления числа k на 5; запись "(k — 1)div5" означает, что рассматривается целое от k - 1 5
( T, Ф)
моугольники Hk те попадают, а в прямоугольники H4, H10 и H15 попадают редко (не более 5 раз за 104 итераций отображения TN+1). Поэтому эти прямоугольники
H5
ставляет собой объединение ячеек H4 и H5, прямоугольник H9 представляет собой
объединение ячеек H9 и H10, прямоуголь ник H14 представляет собой объединение H14 H15
Пусть J = {j | Hj p| S = 0} обозначает множество прямоугольников, которые имеют непустое пересечение с множеством S, а через | J | обозначается количество J
В данном случае J = {5, 8 9 12 13 14 16 17 18 19 21 22}, т.е. | J| = 12.
В качестве начальных рассматривались точки P1 (0; 0; 2,8^ P2(0; 0,2; 2,75) и Рз(0; 0,32; 3). Были найдены ча
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.