ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 3, с. 282-286
УДК 574.6.663.1
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ МОЛОЧНОЙ КИСЛОТЫ ПРИ ЗАДАННОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ СУБСТРАТА В ПОСТУПАЮЩЕМ ПОТОКЕ © 2014 г. Ю. Л. Гордеева, Л. С. Гордеев*
Московский государственный университет пищевых производств *Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва
l.s.gordeev@yandex.ru Поступила в редакцию 23.07.2013 г.
Получены соотношения, формирующие область существования множественности стационарных состояний для непрерывного процесса получения молочной кислоты в ферментере с перемешиванием. Описаны алгоритмы оценки технологических показателей процесса в условиях множественности. Приведены методы и результаты расчетов для различных вариантов задания концентрации субстрата в поступающем потоке, примеры численных расчетов.
Ключевые слова: биотехнология, молочная кислота, множественность стационарных состояний. Б01: 10.7868/80040357114030063
ВВЕДЕНИЕ
Одной из особенностей биотехнологических процессов в непрерывных условиях их реализации с нелинейной кинетикой роста микроорганизмов является возможность существования стационарных состояний, для которых одни и те же показатели процесса возможно получить при различных вариантах задания входных величин. Так, в работах [1, 2] показано, что одинаковое значение продуктивности по целевому продукту
может быть получено при различных значениях Б и Б,. При этом существует область значений этих переменных, для которой может существовать множественность стационарных состояний.
Относительно просто задача решается при использовании неструктурированных математических моделей. При использовании структурированных математических моделей учет внутриклеточного взаимодействия может приводить к математическим соотношениям, расчет по которым требует длительного времени. Рекомендуемым выходом здесь может быть применение параллельных расчетов. Однако это требует разработки специальных алгоритмов и программ [3].
В настоящей работе рассматриваются условия существования множественности стационарных состояний для одного из важных биотехнологических процессов получения молочной кислоты при заданной концентрации субстрата Б, в поступающем потоке с использованием неструктурированной модели. Результаты моделирования рас-
сматриваемого процесса и анализ множественности при заданной величине протока приведены в [4-6].
В настоящей работе постановка задачи сформулирована следующим образом. Задана величина продуктивности 0р по целевому продукту (молочной кислоте). Необходимо определить область значений Б, и Б, для которой возможно существование множества стационарных состояний. Требуется вычислить технологические показатели процесса в условиях множественности (если она существует) при заданной величине концентрации субстрата Б, в поступающем потоке.
Таким образом, решение задачи включает определение набора значений Б и Б, формирующих область существования множественности стационарных состояний для различных значений 0>р, и определение величины протока Б для принятого 0р при заданном значении Б, в условиях множественности.
Уравнения математической модели имеют вид [4, 7]
М (Ртх - Р)Х - БХ = 0, (1)
Б О - Б)- М (рм* - Р )Х = 0, (2)
N
аБХ + М(Ртр - Р)Х - БР = 0, (3)
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
283
где
M = P - P M = P - P M = P - P (4)
±Yi x ± mx i-lxi ±Yi s i ms * ist ±Yi p * mp * ipi V^J
KixS (5)
(6) (7)
Nx (S) = Цn N (S) = qSi
Np (S) = q
pmax
KsxKix + (Ksx + Kix)S + S
_KisS_
KssKis + (Kss + Kis)S + S
_KipS_
KspKip + (Ksp + Kip )S + S
ВЫВОД ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИИ
Введем следующие обозначения:
Мх , М, Мр с = —х, Ь =—1, а = —-.
С учетом (8) запишем систему уравнений (1)—(3) в виде
Р = Ртх - сБ,
P - P Sf = 1 X + S,
V X =
bD aDP
аБа + (РтР - Р) Из уравнений (9)—(11) получаем
_а£р_
аБа + ( - Ртх) + сБ
(Рт, — Ртх ) + сБ
X =
Sf =
bD
-X + S.
= т ±j( ш) - kk
где
S1,2 -
A (D)
2
1 ± 1 _ 4KsxKix
A2 (D)
4KsxKix < 1
A2 (D)
Равенство в (18) дает граничные значения Б, которые, в этом случае, определяют и соответствующие граничные значения S:
А (Б)
Sгр - S1 - S2 — '
2
где D вычисляется из условия
4 K K
sx^ix _ 1
A2 (D)
(19)
(20)
(8)
Значения Б, обеспечивающие выполнение условия (20), получаем из соотношения
А (Б) = ±2 (ККх )1/2. (21)
В (21) следует принять знак "+", в противном случае ^12 в (17) примет отрицательное значение.
Граничные значения для Б из условия (21) будут следующие:
г I-:—:-г-т\
Drp =•
P M
(9) 2 (( + Kf )
(10) где
1 ± I _ 4Qp (( + KZ2)
PlxM
(22)
(11)
(12)
(13)
M _ И maxKx
P - P
■*■ mx ■*■ ix
(23)
Минимальное граничное значение Б: P M
min D = ■ mx ~
2 (( + Kx 2 )2
Из уравнения (9) формируем соотношение для продуктивности:
) = РБ = Б (Ртх - СБ). (14)
Решение уравнения (14) относительно S имеет вид
1 -
1 - 4Q (( + К*2)
P2 M
-*- mx±v±
(24)
Максимальное граничное значение Б: P M
max D =-mx-~
2 (( + К12 )2
(15)
1 +
1 - 4Q (( + Kj2)2
P2 M mx
(25)
А(Б) = ^тах Кх (РтхБ ))р) - К + К,х). (16)
' ' (Ртх - Рх )Б ^ " ^ ' '
Таким образом, соотношение (15) формирует область, ограниченную соотношением между ^ и Б для любого значения 0р. Соотношение (15) перепишем в виде
(17)
из которого определяем условие существования решения по S:
(18) b =
Для вычисления граничных значений для используем соотношения (9)—(11), (19), (21), (24), (25). Значения ^гр с учетом (19) и (21) будут
5„ = ^ = («х/2. (26)
Для ^гр значения а, Ь и с по (8) вычисляются по соотношениям
Ртр - Рр (К,р + (К,хКы)1/2)(Кр + (К,хКы)1/2)
Я-ртах К1р (К,хК1х )!
Р- Р, (К,, + (К,хКЫ)(+ (К,хКЫ))2)
a = ■
qs,
К is (KsxKix )
V2
,(27) ,(28)
284
ГОРДЕЕВА, ГОРДЕЕВ
Sf, г/л
max S,
min S,
min D D
D2 max D
D, ч-1
Зависимость Sf от D при заданном Qp: 1 — рассчитывается по (12), (13), (36); 2 — рассчитывается по (12), (13), (35).
P - P
-*• mx ix
X (Ki2 + KX2)2
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
Б/1 > Бп. (34)
Соотношение (17) для любого значения Ор определяется двумя уравнениями:
Hmax Kix
Граничное значение S, для min D:
у __aQ_
X1 =-7-ч-,
аДа + (Pmp - Pmx) + cDi
о (Pms — Pmx) + cD1 v I I V V Ч1/2 Sf1 = -—-X 1 + (KsxKix ) •
bD1
Граничное значение S, для max D:
aQp_
X =
üD2a + (Pmp - Pmx) + CD^
о (Pms Pmx) + cD2 \r . / ту ту \1/2 Sf2 --—-X2 + (KsxKix) •
f bD2
Соотношение между Sf1 и Sf2 следующее:
S =
S2 =
A (D)
2
A (D)
1 _ Ц _ 4KsxKix
2
A2 (D):
1 + 1 — 4K sxKix
i~A2 (D)
(35)
(36)
Область по D для обоих уравнений:
min D < D < max D, (37)
где minD и maxD рассчитываются по (24) и (25) соответственно.
Значения S1 и S2 на границах области определения для обоих уравнений равны (KsxKlx )2 по (26).
Граничные значения для Бл и Б^ вычисляются по (31) и (33).
На рисунке показана зависимость Б, от Б при заданном значении Ор.
Значения Б1 и Б2 находятся численно из необходимого условия экстремума функции Б, для двух соотношений: Б = Б2 (по (36)) и Б = Б1 (по (35)).
МНОЖЕСТВЕННОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
Обращаясь к рисунку, отметим, что для любого заданного значения Qp в пределах определения S, от min S, до maxS, и значения D от min D до maxD может иметь место множественность стационарных состояний, которая трактуется следующим образом. Если задано значение концентрации субстрата S, в поступающем потоке, то для принятого значения продуктивности Qp имеется возможность определить два значения D, обеспечивающие указанную продуктивность.
Из анализа следует, что если S, равно min S, или max Sf, то множественность не существует, т.е. решение всегда единственное.
С другой стороны, существование множественности связно и со значением продуктивности Qp, которое должно быть меньше наибольшего значения Qp, обеспечивающегося соответствующими кинетическими константами.
Максимальное значение Qp по уравнениям материального баланса вычисляется по соотношению
max Qp = PmxDopt, (38)
где
Dopt = '
2
Mmax KixPm.
\2'
(39)
2(Pmx - Pix)(( + K12)
Если заданное значение Qp = maxQp, множественность не существует, т.е. решение единственное.
В результате имеем еще одно условие существования множественности:
Qp < max Qp, (40)
т.е. множественность существует для любой продуктивности, которая меньше максимально возможной.
Таким образом, существование множественности стационарных состояний определяется условием (40). При этом расчет показателей технологического процесса осуществляется для трех возможных вариантов.
Вариант 1. Значение Sf в поступающем потоке удовлетворяет условию
Sf1 < Sf < max Sf.
(41)
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА 285
Числовые значения кинетических параметров
Для образования биомассы Для утилизации субстрата Для образования продукта
Mmax, ч 1.10 ?smax, г/(г ч) 3.42 а, г/г 0.39
г/л 1.32 Kss, г/л 2.05 qpmax^x г/(г ч) 3.02
Kx, г/л 304 Ks, г/л 140 ^ г/л 2.05
PX г/л 1.39 ^ г/л 47.1 Kp г/л 140
Pmx, г/л 49.9 Pms, г/л 95.5 Pip, г/л 47.1
^ г/л 95.5
Значение D для первого стационарного состояния находится в области
min D < D < D1. (42)
Значение D для второго стационарного состояния находится в области
D1 < D < max D. (43)
Оба стационарных состояния вычисляются с использованием соотношений (13) и (36).
Вариант 2. Значение Sf в поступающем потоке удовлетворяет условию (учитывая, что Sf1 > Sf2) Sf 2 < Sf < Sf 1. (44)
Значение D для первого стационарного состояния находится в области
min D < D < D1. (45)
Стационарное состояние вычисляется с использованием соотношений (13) и (35).
Значение D для второго стационарного состояния находится в области
D1 < D < max D. (46)
Стационарное состояние вычисляется с использованием соотношений (13) и (36).
Вариант 3. Значение Sf в поступающем потоке удовлетворяет условию
min Sf < Sf < Sf 2. (47)
Значение D для первого стационарного состояния находится в области
max D < D < D2. (48)
Значение D для второго стационарного состояния находится в области
D2 < D < min D. (49)
Оба стационарных состояния вычисляются с использованием соотношений (13) и (35).
Отметим, что критерием поиска D являет
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.