ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2008, том 44, № 3, с. 98-110
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ
© 2008 г. В. З. Беленький*, К. В. Кетова, О. Р. Сабирова
(Москва)
Рассматривается задача нахождения стационарных состояний в моделях экономической динамики с ограниченными траекториями. Ее решение дается на основе полученного ранее авторами "векового" уравнения для неподвижных точек оптимальной стратегии. Для монопродуктового и полипродуктового вариантов модели получены формулы, выражающие искомые стационарные состояния в явном виде через входные параметры.
ВВЕДЕНИЕ
В анализе динамических моделей экономики существенную роль играет нахождение стационарного состояния, к которому сходятся траектории системы (в регулярном случае такое состояние существует и единственно). Это справедливо и для теоретических исследований, и для прикладных моделей, ориентированных на применение в практике реального планирования.
В строгом смысле термин "стационарное состояние" корректен в гомогенных (однородных во времени) оптимизационных динамических моделях, причем в стационарной постановке. В таких моделях оптимальный ход зависит только от текущего состояния системы и, следовательно, оптимальная траектория однозначно определяется (речь идет о детерминированных моделях, без учета возможной неопределенности будущего) своей начальной точкой х0. Состояние х называется стационарным, если оно не изменяется во времени, т.е. если х0 = х, то х1 = х при всех I > 0.
В работе (Беленький, 1991) было получено уравнение, названное "вековым", которому обязано удовлетворять стационарное состояние в динамических моделях с дискретным временем (с единичным шагом по времени) — необходимое условие стационарности. Его частные случаи исследовались в более ранних работах (Беленький, 1979; Беленький, Сластников, 1997). В (Беленький, Кетова, 2006) аналогичное уравнение было получено для моделей в непрерывном времени.
В прикладных задачах условие гомогенности принимается как нулевое приближение, поскольку реальная прогнозная информация явным образом привязана к календарному времени и, следовательно, условие гомогенности не выполняется. В такой ситуации стационарное состояние в строгом смысле отсутствует, однако, если прогнозные кривые меняются достаточно плавно, то возникает так называемая квазистационарная траектория, на которую выходят оптимальные траектории системы (подобная модель изучалась в (Кетова, Сабирова, 2006)).
В настоящей работе исследуются два варианта гомогенной модели экономической динамики в конечномерном фазовом пространстве Я+ в непрерывном времени. Оба варианта рассматриваются в стационарной постановке и характеризуются двумя принципиальными чертами: 1) производственная функция относится к классическому типу (с бесконечной эффективностью в нуле и нулевой эффективностью на бесконечности (п. 2.1)); 2) учитывается амортизация производственных ресурсов (фондов). Как следствие, траектории системы остаются ограниченными (не уходят в бесконечность) и обеспечивается существование стационарной точки (лемма 1). Для рассматриваемых моделей справедливо полученное в (Беленький, Кетова, 2006) вековое уравнение, однако в отличие от общего случая, здесь оно прибретает более законченную форму. В статье приведены типичные примеры для случаев, когда стационарная точка единственна, и дается ее явное выражение через исходные данные модели. Вопрос о единственности стационарного состояния в общем случае остается открытым.
*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06-0100775).
1. КАНОНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ, ВЕКОВОЕ УРАВНЕНИЕ В ОБЩЕЙ ФОРМЕ
В этом разделе изложим основной результат работы (Беленький, Кетова, 2006). Гомогенная модель экономической динамики в стационарной постановке записывается в следующей канонической форме.
Задача 1:
Cr(Z) = Je а> u(x>, ct)dt—max =: G(a), (1)
С
0
x( 0) = a e X, X = f(x, c), c e d(x) с C, x e X, (2)
где X с R+ — фазовое пространство рассматриваемой экономической системы; C с Rm — пространство управлений; d : X—C — управляющее отображение; d(x) — множество управлений,
допустимых в состоянии x e X; f: Xх C —► R" — эволюционная функция (определяет эволюцию рассматриваемой системы во времени); u : Xх C —»- R — критериальная функция. Таким образом, информационный паспорт задачи 1 — это набор
{X, C, d, u,f, а}. (3)
Максимум в (1) берется по множеству всевозможных стратегий Z. По определению, стратегия — это произвольный селектор управляющего отображения d, т.е. функция Z на фазовом пространстве X такая, что
Z( x) e d( x) Vx e X.
Выбранной стратегии однозначно соответствует фазовая траектория {xt}; предполагается, что управляющее отображение задано так, что при любой стратегии Z траектория {x,} целиком находится в фазовом пространстве.
Максимальное значение критериального функционала (1) обозначено через G(a); G : X—- R — функция выигрыша, которая в стационарной модели является потенциалом (потенциальной функцией, объективным функционалом, см. (Беленький, 2006в, 2006а)) экономической системы. Потенциальная функция удовлетворяет уравнению Якоби—Гамильтона—Беллмана для задачи 1 (ЯГБ-уравнение, см. (Беленький, 2007, п. 4.3.2)):
аG(x) = max [u(x, c) + G'(x)f(x, c)], x e X. (4)
c E d(x)
1
Здесь G'(x) — градиент функции G в точке x, который формально понимается как ковектор , поэтому второе слагаемое в квадратной скобке есть скалярное произведение векторов G' иf Предполагается, что уравнение (4) имеет решение и оно единственно.
Оптимальная стратегия, доставляющая максимум критериальному функционалу (1) (обозначим ее S := ^опт), выражается через потенциальную функцию G:
S(x) = Arg max [u(x, c) + G'(x)f(x, c)], x e X. (5)
c E d(x)
Вообще говоря, значение S(x) (оптимальный ход в состоянии x) неединственно, т.е. S(x) — множество в пространстве Rm (поэтому в (5) стоит Arg, а не arg). Стратегия (5) порождает поле скоростей
v(x) :=f(x, S(x)), x e X. (6)
2
Неподвижной точкой x называется корень уравнения
x: v(x) = 0 e Rn. (7)
1 Ковектор есть элемент сопряженного пространства *Rn (вектор-строка, если считать х вектором-столбцом).
2 Поскольку v(х), так же как и S(х), является множеством, то более строго надо писать в (7) не равенство, а включение у(х) Э 0; это обстоятельство не является препятствием для дальнейших выкладок, поэтому мы игнорируем указанное осложнение.
Точка х локально устойчива, если она является внутренней точкой фазового пространства, т.е. входит в Xвместе с некоторой окрестностью O, и для любой точки x(0) = a е O оптимальная траектория {xt} стремится к точке x при t —- да. Ясно, что локально устойчивая неподвижная точка является стационарным состоянием модели.
1.1. Исходные посылки. Пусть искомая устойчивая неподвижная точка локализована в некоторой окрестности O с X такой, что выполнены следующие предположения.
Предположение 1. Любая точка x е O может быть "претендентом на неподвижность" в том смысле, что множество
E(x) := {с е d(x) f(x, с) = 0 е È"}, x е O, (8)
непусто; более того, предполагается, что оно содержит только одну точку, т.е. E(x), x е O — однозначная функция.
Предположение 2. Для каждой начальной точки x0 = a е O время T(a, x ) перехода оптимальной траектории в неподвижную точку x конечно.
Тогда задача нахождения неподвижной точки эквивалентна определению точки остановки (или момента остановки) при движении из начальной точки a по соответствующей оптимальной траектории (xt, ct).
Взяв в качестве точки остановки некоторую "пробную" точку y е O (т.е. предполагая, что эта точка является неподвижной) и обозначив т := T(a, y) отвечающий ей момент остановки, запишем соответствующее значение критериального функционала (1):
т
Je-a и(x, с,)dt + ea%N(y) =: V(y, a), a е O, т = T(a, y). (9)
0
Здесь N(y) — значение критериального функционала, отвечающее начальной точке x(0) = y, предположительно неподвижной; оно может быть вычислено, согласно (1), по формуле
N(y) = featu(y, E(y))dt = au(y, E(y)). (10)
J a
0
1.2. Вековое уравнение. Вывод векового уравнения основывается на следующем очевидном соображении, впервые использованном в работе (Кетова, 2004).
Принцип максимума для неподвижной точки. В описываемой ситуации для неподвижности искомой точки х необходимо, чтобы выражение (9), рассматриваемое как функция точки остановки y е O, достигало при y = x своего максимума для всех a е O.
Поскольку для любой начальной точки x0 = a е O существует управление, приводящее траекторию в точку х, число m управляющих переменных (т.е. размерность пространства управлений Rm) должно быть не меньше размерности фазового пространства n; таким образом, m > n. Далее, среди m управляющих переменных существует подгруппа из n переменных, с помощью которых траектории, начинающиеся в O, приводятся в неподвижную точку; назовем эти переменные существенными. Остальные, несущественные, управляющие переменные имеют в бесконечно малой окрестности неподвижной точки постоянные значения, равные их значениям в точке x ; их можно исключить из рассмотрения (эту операцию называют очисткой). Это означает, что, зафиксировав значения несущественных управляющих переменных, можно считать, что в окрестности неподвижной точки пространство управлений n-мерно и включает только существенные переменные. Будем обозначать суженное пространство существенных управляющих переменных через C ç È+ , а суженное множество управлений, допустимых в точке x, через d(x).
Дальнейшее изложение требует принятия еще одного предположения.
Предположение 3. Существенная часть с оптимального хода c = E(x ), обеспечивающего условие неподвижности (8), является внутренней точкой множества допустимых управлений d(x). Такую ситуацию назовем невырожденной.
В невырожденной ситуации имеет место следующая теорема.
Теорема 1 (Беленький, Кетова, 2006). Пусть оптимальная стратегия (5) задачи 1 обладает локально устойчивой неподвижной точкой х. Тогда (в невырожденной ситуации) в подпространс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.