ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 1, с. 56-66
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗНОСА МАШИН
© 2012 г. С.А. Смоляк
(Москва)
Метод дисконтированных денежных потоков применен к задаче стоимостной оценки подержанных машин и оборудования. Предложена модель, позволяющая при небольшой исходной информации оценивать уменьшение рыночной стоимости (износ) машины с возрастом. В модели учитываются налоги на имущество и прибыль, а процесс износа машины рассматривается как случайный.
Ключевые слова: машины, оборудование, стоимость, износ, оценка, стохастическое моделирование.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Настоящая статья посвящена проблеме стоимостной оценки машин, состояние которых в процессе эксплуатации меняется случайным образом.
Начнем с определения основных понятий. Под "машинами" мы понимаем отдельно оцениваемые установки, машины, оборудование и транспортные средства и будем подразделять их на виды, а каждый вид - на марки (этим термином охватываются и модели, и модификации). Примем, что разные марки машин одного вида используются для одних и тех же целей: они способны производить ту же продукцию, выполнять те же работы или оказывать те же услуги (в противном случае будем относить их к другому виду машин). Тем самым они "взаимозаменяемы" и являются товарами, конкурирующими друг с другом на рынке. Поэтому машина - это типичный представитель массового имущества, которое серийно изготовляется (производится, создается) и обращается на рынке в достаточно большом количестве. Рынок машин каждого вида делится на первичный и вторичный. На первичном рынке продаются машины в новом состоянии (только что изготовленные1), на вторичном - подержанные (бывшие в эксплуатации).
Независимо от того, обращается ли на рынке продукция, производимая машиной, или нет, ее использование приносит владельцу определенные выгоды. Их можно определить как рыночную стоимость произведенной продукции за вычетом затрат по эксплуатации машины - такой показатель близок по содержанию к так называемой "прибыли до начисления амортизации и уплаты процентов и налогов" (Earnings before Interests, Taxes, Depreciation and Amortization), если в составе затрат не учитываются налоги, и с так называемым чистым операционным доходом, если их учитывать. Если машина производит промежуточную продукцию или отдельные технологические операции, то такие результаты работы, хотя и не обращаются на рынке, тоже обладают определенной полезностью для владельца и потому, теоретически, имеют рыночную стоимость, отражающую их вклад в рыночную стоимость готовой продукции. Другое дело, что эта рыночная стоимость не может быть измерена непосредственно.
Если рассматривать процесс использования машины в непрерывном времени, то основной экономической характеристикой этого процесса становится интенсивность приносимых выгод -размер выгод от использования машины за малую единицу времени. В процессе старения машина подвергается физическому износу. В конечном счете он проявляется в том, что интенсивность приносимых ею выгод с течением времени имеет общую тенденцию к снижению (разумеется, после ремонта показатели машины улучшаются, однако указанная тенденция все равно сохраняется).
1 Мы не используем термин "новые", обозначающий машины новых марок, которые только начинают поступать на рынок.
В (Смоляк, 2006; Смоляк, 2008) для описания этого процесса (в детерминированной ситуации) указанные выгоды раскладывались на две составляющие - не зависящую от возраста машины и меняющуюся в зависимости от возраста по экспоненциальному закону. Такое представление адекватно, во всяком случае для двух составляющих. В первой ситуации производительность машины в процессе эксплуатации остается примерно постоянной, тогда как эксплуатационные затраты экспоненциально растут. Вторая ситуация в некотором смысле обратная: эксплуатационные затраты по мере старения машины не меняются, тогда как производительность экспоненциально снижается. Разумеется, возможны и промежуточные ситуации, когда производительность машины снижается с возрастом по одному закону, а эксплуатационные затраты растут по какому-то другому закону. Однако, как показывают экспериментальные расчеты, динамика выгод и здесь может быть с достаточной точностью аппроксимирована указанной зависимостью.
При оценке рыночной стоимости машины (МСО, 2005) предполагается, что после даты оценки она будет использоваться экономически рационально (в оценке имущества это трактуется как принцип наиболее эффективного использования - НЭИ). Однако когда-нибудь наступит момент, когда ее дальнейшее функционирование становится неэффективным, невыгодным. Этот момент определяет срок службы машины, когда она должна быть утилизирована - передана в сферу вторичного использования. При утилизации владелец машины получает определенные доходы и несет некоторые расходы. Разность между ними определяет утилизационное сальдо машины, которое может быть как положительным, так и отрицательным.
Для оценки основных средств часто применяется сравнительный (рыночный) подход, когда стоимость объекта оценивается по данным о ценах сделок с аналогичными объектами. При оценке подержанных машин такой подход не всегда удается реализовать, так как из данных о реальных сделках или объявлений о продаже не всегда можно установить, действительно ли проданная или предлагаемая к продаже машина находится в таком же техническом состоянии, что и оцениваемая. Кроме того, "подержанность" машины может быть разной, так что цены на вторичном рынке имеют гораздо большую вариацию, чем на первичном. По этой причине гораздо чаще сравнительный подход применяют в сочетании с затратным. Это выглядит следующим образом: вначале, опираясь на данные о ценах первичного рынка, оценивают стоимость машины данной марки в новом состоянии - восстановительную стоимость, а затем корректируют ее с учетом износа оцениваемой машины (см. ниже). Для такой корректировки обычно используют таблицы или функции, отражающие уменьшение рыночной стоимости (износ) машины в зависимости от ее хронологического возраста (критический обзор подобных таблиц и формул приведен в (Смоляк, 2008)). Однако техническое состояние машины (а оно во многом зависит от истории ее эксплуатации) при этом не учитывается. Поэтому в тех случаях, когда опытный оценщик имеет возможность оценить техническое состояние машины, он мысленно сопоставляет оцениваемую машину с "нормально эксплуатировавшимися" машинами разного возраста и определяет, в каком возрасте "нормально эксплуатирующаяся" машина окажется в том же состоянии, что и оцениваемая. Этот возраст оценщики именуют "эффективным" и при оценке машины с помощью указанных формул или таблиц используют его вместо хронологического возраста (Ковалев и др., 2003).
При доходном подходе рыночная стоимость машины оценивается исходя из тех (чистых) выгод, которые она будет (при рациональном использовании) приносить в будущем, а именно -как их дисконтированная сумма за оставшийся срок службы.
В общем случае машины могут эксплуатироваться и утилизироваться разными способами. Однако из принципа НЭИ вытекает, что выгоды должны прогнозироваться оценщиком применительно к наиболее эффективным способам эксплуатации и утилизации машины. При этом утилизационное сальдо, отвечающее наиболее эффективному способу утилизации машины, будет ее утилизационной стоимостью (salvage value). Мы будем считать ее известной величиной.
Срок службы машины, отвечающий наиболее эффективному способу эксплуатации, будем называть рациональным, измерять в годах и обозначать через T. Обычно такие сроки известны и не слишком велики.
В этой статье мы предложим метод определения стоимости подержанных машин. Этот метод также основан на сравнительном подходе, однако коэффициенты, отражающие зависимость стоимости машины от ее эффективного возраста, мы устанавливаем, используя доход-
ный подход. Для этого в следующем разделе мы построим экономико-математическую модель износа машины, рассматривая процесс износа машины как случайный процесс в непрерывном времени.
2. МОДЕЛЬ ИЗНОСА МАШИНЫ
Рассматриваются машины определенной марки, различающиеся по своему состоянию, в один и тот же момент времени 0, являющийся датой оценки. Состояние машины будем понимать как ее эффективный возраст. Предельный эффективный возраст машины обозначим через T. Это означает, что дальнейшая эксплуатация машины, находящейся в состоянии t, целесообразна только при t < T, а машины в состоянии t > Tподлежат утилизации. Стоимость машины, находящейся в состоянии t, обозначим через K(t). В этих обозначениях величина K(T) будет отражать утилизационную стоимость U машин данной марки и будет считаться известной. При оценке имущества обычно отсутствует информация о налогах на имущество и прибыль, уплачиваемых владельцем имущества. Поэтому далее мы временно принимаем, что оценщику известны величины B(t) - интенсивность выгод, приносимых машиной в состоянии t до осуществления указанных расходов (доналоговая). Таким образом, доналоговые выгоды, приносимые машиной, находящейся в состоянии t, за малый отрезок времени е составляют B(t)s. Функцию B(t) будем считать убывающей, а функцию K(t) - гладкой.
Кроме того, для дисконтирования будем применять непрерывную номинальную посленало-говую ставку pa.
Мы предполагаем, что процесс физического износа машины в ходе ее рациональной эксплуатации состоит из случайно возникающих скачкообразных изменений (например, отказов узлов), назовем их "сбоями", после которых машина "стареет", т.е. ее эффективный возраст увеличивается. Поток "сбоев" мы считаем простым пуассоновским с некоторой интенсивностью А. Таким образом, в течение времени s возможны две ситуации.
1. "Сбой" не произошел. В этой ситуации эффективный возраст машины не меняется.
2. Произошел "сбой". Вероятность этой ситуации равна Ае. В этом случае эффективный возраст машины увеличивается на случайную величину s, зависящую от того, какой именно узел машины отказал и как именно проявился этот отказ. Будем считать, что эта случайная величина не превосходит предел
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.