ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН, Том 2, М>3, 2006, стр. 3-7
МЕХАНИКА
УДК 539.4 : 678.067
СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
© 2006 г. Академик В.И. Колесников1, В.В. Бардушкин2, А.П. Сычев3,
В.Б. Яковлев2
Построена вероятностная модель разрушения волокнистых композитов, основанная на теории стохастических процессов. Найдено нетривиальное решение полученной задачи Коши для производящей функции. Моделирование опирается на результаты экспериментов, проведенных на однонаправленных композитах. Экспериментальные данные получены в результате нагружения в направлении армирования образцов стеклопластиков при повышенной температуре внешней среды. Проведено сопоставление экспериментальных и теоретических результатов исследования.
Широкое использование однонаправленных волокнистых композитов стохастической структуры в качестве несущих конструкционных материалов обусловливает необходимость и высокую практическую значимость построения математических моделей их разрушения. Стоха-стичность структуры, т.е. случайные отклонения размеров и местоположения волокон друг относительно друга, приводит к необходимости построения этих моделей на основе статистического подхода. Как правило, прочностные свойства таких композитов реализуются при растяжении в направлении армирования. При малой объемной доле волокон (на уровне 3-8%) во многих композитах наблюдается длительная стадия локального разрушения (многократное дробление волокон) [1-3]. При этом напряжения на волокне перераспределяются так, что у места разрыва осевое напряжение близко к нулю и постепенно возрастает по мере удаления от места разрушения до осевого напряжения в волокне. Многочисленными исследованиями установлено, что если образование первого очага не приводит к катастрофическому разрушению, то разрывы волокон будут накапливаться до тех пор, пока не будет достигнуто некоторое критическое число повреждений. Экспериментальные данные многих исследователей показывают, что
1 Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону.
2 Московский институт электронной техники (Технический университет), Москва.
3 Южный научный центр Российской академии наук, Ростов-на-Дону.
разрушение волокнистого композиционного материала можно представить в виде стохастического процесса [3-5].
При исследовании кинетики накопления разрывов однонаправленных композитов в виде одного слоя волокон бесщелочного стекла в эпоксидной матрице Э-181 (отвердитель ТЭАТ) в [5] было показано, что при нормальных условиях внешней среды (Г = 20 °С) накопление повреждений происходило, как правило, в случайных местах, а при повышенной температуре {Т -10 °С) - вдоль определенного поперечного сечения (рис. 1). На основании экспериментальных данных была построена вероятностно-статистическая модель разрушения волокон в полосе однонаправленного композита.
Модель, предложенная в [5], наилучшим образом описывает разрушение композита, когда оно происходит вдоль определенного поперечного сечения. Однако авторами этой работы была решена лишь приближенная задача, позволяющая вывести соотношение для математического ожидания числа неразорванных армирующих элементов композита в любой момент времени нагружения. Поэтому целью данной статьи является получение точного аналитического решения в задаче разрушения однонаправленного композита перпендикулярно его волокнам.
Примем, что случайный процесс разрушения волокон армирующего материала, объемная доля которого достаточно мала, имеет дискретный характер; внешняя нагрузка о, приложенная в направлении армирования, возрастает по известному закону; условия внешней среды (температура, влажность и т.п.) стабильны; полоса ком-
Рве 1. Характерный вид разрывов волокон однонаправленных стеклопластиков при нагружении в направлении армирования при температуре Т = 70 °С
позита, к которой прикладывается напряжение, содержит достаточно большое количество армирующих волокон, а К - некоторое критическое число обрывов, по достижении которого происходит разрушение материала. Заметим, что при разрушении вдоль поперечного сечения К фактически совпадает с количеством волокон в материале. Будем считать, что п - количество неразорванных волокон в полосе композита. Пусть процесс появления за время А/ некоторого числа обрывов волокон представляет собой пу-ассоновский поток с параметром а и 6 - вероятность того, что за промежуток времени А? появится ровно один обрыв армирующего элемента. Тогда вероятность, что за время А? появится / обрывов волокон из п неразорванных, будет равна
СпЬ'(\-Ь)пЧ.
Обозначим через Р„{0 вероятность того, что в момент времени t в полосе композита имеется п неразорванных волокон. Причем Ял(/) = 0, если л — 0 или п > К. Тогда по формуле полной вероятности получим, что
РМ + АО = а£ Сп+Р(\ - 8)" Ря+,(/).А/ +
+ад|1-«Х С„Ь'(\-ЬГ'Ai
i=i
Отсюда при Ы -* 0 получается система дифференциальных уравнений Колмогорова
= а£ Сп+р(\-ьурп+м-i=1
-а! Q5'(I-Ы'РМ
(1)
где P(t)= lim + Регулярность
системы (1) выполнена, так как
£ £ O'd-sypn+i(t)~
\я=0 ¿=1
л=0
оо оо
"I Z С^'(1-5Г'Р„(0
я=0 ¿=1
= а
I j=l
п — I 1=1 у
Для решения системы (1) используем метод производящей функции, определяемой как
Ф(Г,*)= £ Рп{1)х\ гдехе [0, 1]. Умножая каж-
п=О
дую строку системы (1) на хп и суммируя все уравнения, получим следующие равенства:
л=о dt
(а)
0 1= [
= £ £ С^б'О -5Г'>„(0л:п = (б)
л=0 ¡=1
£ £ сп+Р(\-ьурпл»хп =
п=О 1-1 и=0 г'=0
= £ £ =
л=0 (-0
= £ рло £ с^б'((1-5)*)я"' =
л=0 ¿=0
= 1 Рпи)(Ь + (1-Ъ)хУ =Ф(1,д + (\-Ь)х). (в)
л=0
Из этих равенств возникает функционально-дифференциальное уравнение в частных производных для производящей функции
ЭФ(/,л:)
dt
= аФ(г, л + 5(1 - jc)) - аФ(г, х). (2)
Ai
Из условия регулярности системы уравнений (1) следует очевидное условие для функции Ф: Ф(/, 1) = 1. В качестве начального условия примеси Ф(0, х) - G(x), G( 1) = 1, где G(x) - произвольная бесконечно дифференцируемая функция.
Получим вначале аналитическое решение следующей задачи: 'дФ(^х)
d t
Ф(М) = 1, Ф(0,;с)= G(jc).
(3)
Здесь t е [0, +00), JC е [О, 1], О < б < 1, G(x) - бесконечно дифференцируемая функция, а 0(1) - 1.
Заметим, что ввиду отсутствия производной по ху можно решать уравнение (3) при его фиксированных значениях. Если найденная функция будет непрерывна по х, то она будет решением этой задачи. Очевидно, что для нахождения решения задачи (3) на прямой X = х необходимо знать решение на прямой X = у((лс), где Yi(x) = 6 + (1 - Ь)х. Для того чтобы получить решение на прямой X = Yj(jc), необходимо знать решение на прямой у2(х) - б + (1 - 6)yi(jc). Продолжая для произвольного «€N, получим, что для нахождения решения на прямой X = (х) необходимо знать решение на прямой X - у„(х), где ул(х) = 0 + (1 - 6)уп_,(х).
Последовательность yrt(jc) не убывает и ограничена сверху единицей, поэтому для любого х Е [0; 1 ] существует lim уп(х) - а < 1. Покажем,
П—>оо
что йту„(х) = 1. Действительно» переходя к
пределу при п <» в рекуррентном соотношении у„(х) = 6 + (1 - 6)y„_i(x), получим а = б + (1 - б)а. Отсюда а = 1. Напомним, что Ф(/,дс)|л=1 =1.
Поскольку искомое решение должно быть непрерывно по а\ то для достаточно больших п решение на прямой уп(х) будет близко к единице. Поэтому на прямой Y^-tC*) будем иметь
откуда Ф(/, Yn-i С*)) = 1 + С ¡с4. Согласно начальному условию, 1 + С, = G(y„_,(jc)). Аналогично на прямой уп_2(*)
дФ(^уп_2(х))
Эг
l + qe-'- Ф(/,уи_2(*)),
<*>(?,У fl_2(Jc)) = l + (Q + C2)€-?, l + C2=G(y„_2(*)). Продолжая для произвольного i £ N, по индук-
ции можно доказать, что
Ф(/,У„-мО)) = 1 + где Cj = G(y„_i(x)) - 1.
i-i
(|-1)!
+ ... + С
x+l
Устремляя n ос и обозначая п - i - \ ~ к,
получим
Cut
¿Го к\
где Ск - С{ук(х)) - I. Проведя ряд преобразований, выражение для Ф(?, х) можно представить
в виде
Ф{г,х)~е~* X
G{yk{x))tk
Далее, разложив функцию С в ряд Тейлора в окрестности точки х, получим
оо П(к)(г^
к=о к\
Этот ряд сходится, так как уп(х) - х £ 1 - (1 — б)" < < 1. Тогда с учетом у„(х) = —(I — 6)" 1 + .*( 1 - б)" можно преобразовать Ф(?, х) следующим образом:
оо оо ГЛ
/=о к=0 к! *!
С(к)(х)
" £ к!
i=0
*=о к!
("'(к)/ \ оо оо J
1 ;(1-J0*£ I =
1=0 1=0 -(A),
|=о к=1 к\ 1\{к-1)\
= £ С<т+1)(Х\\-Х)т. /=о /! гп=о т\
Отсюда для функции Ф(г, х) задачи (3) окончательно получим выражение
Ф(М)=1 (4)
ыо
/!
Найденное решение (4), очевидно, непрерывно по х и по г. Отметим, что каждый член ряда (4) представляет собой произведение функции, зависящей от ? и равной единице при I = 0, и члена разложения Ох) в ряд Тейлора в точке х-1. Поэтому полученное решение удовлетворяет на-
оо /д. _
чальному условию X -0(°(1) = С(*). Вы-
1=о
полнение условия Ф(М)|*=1 =1 проверяется непосредственно: Ф(/,1) = ег(1~5) =1 (поскольку 0(1) -1).
Для нахождения решения задачи (2) в правой части (4) следует сделать замену переменной \ на ш. Тогда
ф(!,х)= I (5)
1=0
II
О
10
t, мин
Рис. 2. Динамика изменения количества неразорванных волокон в двух образцах
Построенная модель позволяет оценить среднее число неразорванных волокон в полосе однонаправленного композита до того момента, как произойдет разрушение всего материала. Для этого надо вычислить математическое ожидание случайной величины
ЭФС/.дг)
М(0= S «0 =
я= О
Эх
А= I
Пусть в момент времени { = 0 случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром X: я (0) = —<г\ Тогда С(х) = Ф(0, х) = п\
и в (5) получается
1=0
Отсюда
М(0 = %е
-абг
(6)
Адекватность модели реальным процессам разрушения однонаправленных композитов проверяли с помощью сопоставления данных, описывающих динамику изменения количества неразорванных волокон из бесщелочного стекла в эпоксидной матрице Э-181 (отвердитель ТЭАТ), с кривыми у = Ае~в!, полученными методами регрессионного анализа. Зависимость у = Ле~Вг была выбрана по причине ее соответствия функции (6) для математического ожидания. На разрывной установке при температуре Т - 70 °С было испытано несколько стеклопластиков. Диаметр волокон был 100 мкм, а их количество в каждом образце изменялось от 12 до 14. Толщина о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.