ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2008, том 44, № 2, с. 68-82
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЧИСТОГО ОБМЕНА И АКТУАЛЬНО БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ЦЕНЫ*
© 2008 г. М. Ю. Андреев, И .Г. Поспелов
(Москва)
Исследуются равновесия с неполными рынками в стохастической динамической модели чистого обмена. Показано, что при определенных реализациях равновесной траектории в некоторый момент времени может происходить полное обесценение денежных накоплений агентов (дефолт).
1. ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена известной тематике неполных рынков. Исследование динамических моделей в (Поспелов, Поспелова, Хохлов, Шипулина, 2006) показало, что последовательная модель межвременного равновесия, учитывающая специфику существующих институтов, способна весьма точно воспроизводить прихотливую динамику несглаженных временных рядов основных макроэкономических показателей современной российской экономики. Некоторые внутренние свойства детерминированной модели показали, что она была бы более естественной, если ввести в нее элементы стохастического описания.
Прямое обобщение концепции экономического равновесия на стохастический случай дает, как правило, вместо одного эффективного состояния равновесия множество неэффективных равновесий. Это явление известно как проблема неполноты рынков (Ма§Ц, 8ИаГег, 1991, с. 1524— 1610). Основные усилия исследователей этой проблемы были направлены на выяснение вопроса о том, какие дополнительные инструменты (аналогичные условным обязательствам) нужно добавить, чтобы свести множество равновесий к одному эффективному равновесию.
Применительно к моделированию экономики России такой подход кажется не очень естественным: с одной стороны, условные сделки не играют в России большой роли, с другой — состояние рынка представляется не слишком эффективным. Возможно, стоило бы использовать для описания именно неэффективные равновесия с неполными рынками, но пока этот метод не принес результата. Однако изучение неэффективных равновесий обнаружило любопытный факт, изложение которого и является предметом данной работы. Оказалось, что в стохастической динамической модели среди равновесий рациональных ожиданий закономерно присутствуют равновесия с дефолтами. Это означает, что в какой-то момент при определенном случайном исходе происходит полное обесценивание всех денежных накоплений агентов. Часто эти равновесия оказываются наиболее эффективными среди всех равновесий с неполными рынками. С математической точки зрения равновесия с дефолтами аналогичны обобщенным равновесиям с актуально бесконечно малыми ценами, изученными в (Данилов, Сотсков, 1985, с. 3—18; ЭапИоу, 8о18коу, 1990, с. 341—356). Однако в отличие от детерминированной ситуации в стохастической модели такие равновесия возникают в регулярном случае.
2. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЧИСТОГО ОБМЕНА
Рассмотрим стохастическую динамическую модель чистого обмена. Для простоты изложения будем рассматривать обмен с одним видом продукта. При различном отношении агентов к риску такой обмен может иметь для них смысл. Модель описывает поведение конечного множества потребителей п е N. В последовательные периоды времени I, начиная с нулевого, каждый потребитель п получает запас продукта w". При I > 1 эти запасы представляют собой случайные вели-
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 07-0100563), Российского гуманитарного научного фонда (проект 07-02-00362), гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (проект НШ-2982.2008.1), ПФИ РАН № 14 (проект 111) и ПФИ ОМН РАН № 3 (проект 3.14).
чины, реализация которых становится известной потребителям к моменту t, а распределения известны заранее.
Предполагается, что случайные ве-
м
личины ж, определяются марковским процессом $ с конечным числом состояний на конечном множестве периодов времени. Процесс $ можно представить деревом сценариев (рис. 1). Каждому узлу дерева (позиции) 5, = («1, ..., st) отвечает
набор запасов ^ = wn(), п е М, и слу-
t = 0
t = 1
t = Т*— 1
t = V*
Рис. 1. Дерево исходов: возможные варианты реализации будущего потребителей.
чайная величина st + 1, в зависимости от
реализации которой выбирается та ветвь, по которой процесс пойдет дальше. Пусть исходящие дуги пронумерованы и У(5, + 1) — число исходящих из узла дуг. Тогда величина st+1 принимает
значения st + 1 = 1, ..., У^! + 1) с вероятностями к,+1 > 0, +1) п^ +1 = 1. Случайные величины, отвечающие разным узлам, независимы. При ! = 0 запас ^ = wn( 50) = wn(0) является детерминированной величиной.
Дерево сценариев задает частичный порядок на множестве позиций, который будем обозначать как с 5Г , где — начальный отрезок пути к позиции 5Г . Обозначим через Б — множество всех позиций 5,, включая корень дерева 0; Iс Б — множество всех терминальных позиций (или, что то же самое, множество всех реализаций случайного процесса $); Т(/) — длина пути /, I е I; 2Г(0 — последовательность {0, ..., Т(/)}; V* = тахТ(/) — длина дерева.
I е I
Потребитель п е М планирует объем потребления сп в каждой позиции : сп = сп(). В позиции он может продать или купить продукт по ожидаемой в этой позиции цене р( 5,). При этом потребитель ограничен в своем выборе межвременными бюджетными ограничениями:
X Р(А)™ (Л)^ X р()С"(5<), 5 - 5Т(о, ' е I,
, е 3~(1) , е ¡)
число которых составляет |1|.
Модель основывается на принципе рациональных ожиданий — ожидаемые цены для всех по требителей одинаковы и совпадают с фактическими ценами в равновесии.
Обозначим реализацию процесса изменения запасов, соответствующую позиции 5, вектор (5,) = ^п(0), wn(51), ..., wn(5,)) а набор векторов <({))|/ е I) —
(1)
через
п
w е
»151
(2)
„15
Аналогично имеем:
Сп(5,) = <Сп(0), Сп(51), ..., Сп(5,)), сп = (Сп(5п¡))|/ е I)
Р(5,) = <Р(0),Р(51), ...,р(5,)), р = <р(5т)|/ е I) е
Бюджетное множество потребителя Вп(р) состоит из наборов сп, удовлетворяющих неравенствам (1), которые в векторной форме имеют вид:
»14
(3)
р(5т)Сп(5п{)) < р(5пЦ))™ (5т0)), I е I,
(4)
где произведение векторов — это скалярное произведение. Подчеркнем, что для любого сп из Вп(р) объемы потребления сп( ), отвечающие разным ветвям дерева сценариев, связаны между собой посредством общего для всех наборов начального потребления сп(0). Предпочтения потребителей задаются как полный порядок >п на неотрицательных наборах сп.
Собственным равновесием назовем набор положительных цен р и объемов потребления (^|п е Я) такие, что:
1) вектор потреблений cn каждого потребителя является одним из лучших для него элементов в бюджетном множестве (4):
с е М(p) = {с е Вп(p^^ е Вп(p))с >п xn}, п е Я;
2) выполнены условия материального баланса:
£ 5,)> £ с"(5,), 5, с (5)
п е Я п е Я
Здесь не вводится привычного требования нормировки цен, но различие равновесий, сводящееся к различной нормировке цен в них, будем считать несущественным. Такую модель назовем моделью чистого обмена для собственных равновесий. Далее будем рассматривать простой случай, когда:
а) запас продукта каждого потребителя п е Я в каждой позиции положителен
5( )> 0, 5( с 5; (6)
б) предпочтения потребителей заданы с помощью неймановского функционала
Г Т* Л Г Т* Л
у « е| £ и(Хп(5()) [> ЕГ £ и(уп(5,)) Л, (7)
Х >п у
Ч = 0 > Ч = 0
где Е — оператор математического ожидания по реализациям процесса 5( и и — гладкая функция полезности такая, что:
д ип(0) = да, дип(х) > 0, д2ип(х) < 0. (8)
3. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ РАВНОВЕСИЙ
Основное отличие стохастической задачи от детерминированной заключается в том, что в стохастической задаче чистого обмена существенно различных равновесий очень много. В детерминированной задаче цены можно нормировать только все сразу, а в стохастической — на каждой реализации I е Iнезависимо друг от друга (т.е. под любые заданные положительные значения терминальных цен р(5ц¡)), I е I, можно подобрать остальные цены так, чтобы получить равновесие). Это происходит вот по какой причине.
Рассмотрим реализацию 5щ), I е I. Предположим, что в равновесии бюджетные ограничения (1) и материальные балансы (5) будут выполнены как равенства (в данной модели это достигается за счет свойств предпочтений потребителей (8)):
£ р(5,)ъп(5,) = £ р(5,)сп(5,), пе Я, (9)
, е 3~(г) , е 3~(1)
£ ^(5,) = £ сп(5,), , е 3(I). (10)
е Я е Я
Умножим (10) на р( 5,), сложим по I е 2Г(0 и получим
£ р(5,) £ ™ (5,) = £ р(5,) £с(5,).
, е ) пе Я , е 3~( г) пе Я
Просуммировав (9) по п е Я, получим аналогичное выражение. Это означает, что (9) и (10) линейно зависимы, а точнее, что (10) при I = Т(/) выполняется в виде тождества:
£ ™ (5Т(0) = £ с"(5Т(г)). (11)
п е Я п е Я
Данный факт обычно называют тождеством Вальраса. Тождественное выполнение (11) не позволяет определить соответствующую терминальную ценуp(sT({)). Следует ожидать, что набор терминальных цен p(sT( ц) произволен, т.е. для любого такого набора существует свое равновесие. Обозначим: pT(I) = (p(ST(0) > 0|i е I, p^(I>\T(I) = (p (sni)_,)|i e I, p = p^(I)\T(I) ® pT(I). Утверждение 1. Пусть pT(I) — произвольный фиксированный набор положительных терминальных цен. Тогда в предположениях (6)—(8) в стохастической задаче чистого обмена существует собственное равновесие такое, что p = p^(I)\T(I) ® pT(I).
Доказательство проводится по стандартной схеме. Равновесие оказывается неподвижной точкой многозначного отображения, которое можно считать отображением оптимальных ответов в некооперативной игре потребителей, определяющих с", и дополнительного игрока (торговца), устанавливающего нетерминальные цены p^(I>\T(I) из условия максимизации торговой прибыли. Существование неподвижной точки доказывается на основании теоремы Какутани (Никайдо, 1972, с. 97). Замкнутость графика отображения и выполнение остальных условий теоремы Какутани обеспечивают предположения (7)—(8) и свойство, следующее из предположения положительности запасов (6) — "обрезанное" бюджетное множество
~Ln 3~(Г)\T(I)-. I n| n „n, У(/)\Т(/)„ T(I)-. к,- ч , v^ k,-^ I
B (p 1 ;\ 1 ;) = i с |c e B (p 1 ;\ 1 ; ® p 1 ;) л V(st с S)c (st) < £ w (st) j,
^ k
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.