АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2008, том 42, № 5, с. 418-432
УДК 523
СТОХАСТИКО-ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ХАОСА, ОБЛАДАЮЩЕГО ПАМЯТЬЮ, НА ОСНОВЕ ДРОБНЫХ УРАВНЕНИЙ ФОККЕРА-ПЛАНКА-КОЛМОГОРОВА
© 2008 г. А. В. Колесниченко
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва Поступила в редакцию 26.03.2008 г.
В работе рассмотрен стохастико-термодинамический подход к получению обобщенных дробных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ДФПК), описывающих процессы турбулентного переноса в подсистеме турбулентного хаоса на основе дробной динамики, учитывающей структуру и метрику фрактального времени. Известно, что реальное турбулентное движение жидкости является перемежающимся, поскольку обнаруживает промежуточные свойства между свойствами регулярного и хаотического движения. С другой стороны, возможная немарковость процесса турбулизации течения, происходящая за счет многомасштабных пространственно-временны х корреляций пульсирующих параметров, на физическом языке означает наличие памяти. Введение дробных производных по времени в кинетические уравнения ДФПК, предназначенные для определения функций распределения вероятности различных статистических характеристик структурированной турбулентности, позволяет учесть в контексте единого математического формализма эффекты памяти, нелокальности и перемежаемости во времени, с которой обычно связывают наличие турбулентных всплесков на фоне менее интенсивных низкочастотных колебаний фоновой турбулентности. Данное исследование нацелено на создание репрезентативных моделей космических и природных сред. Оно является развитием синер-гетического подхода к моделированию структурированной турбулентности астро-геофизических систем, развиваемого автором в серии работ (см. Колесниченко, 2002-2005).
PACS: 95.30.Lz
ВВЕДЕНИЕ
Турбулентность, без преувеличения, является самым распространенным видом движения "космической жидкости" во Вселенной и, вместе с тем, принадлежит к числу наиболее сложных природных явлений, связанных с возникновением и развитием многомасштабных пространственно-временны х когерентных структур (КС) при определенных режимах течения в существенно неравновесной открытой системе (см. Климонтович, 1990; 2002). Процессы самоорганизации на фоне мелкомасштабного турбулентного движения являются важнейшим механизмом, формирующим, в частности, свойства астро- и геофизических объектов на разных стадиях их эволюции, включая возникновение галактик и галактических скоплений, рождение звезд из диффузной среды газопылевых облаков, образование протопланетных дисков и последующую аккумуляцию планетных систем, формирование газовых оболочек планет (атмосфер), динамику больших вихрей в атмосферах и околопланетной плазме и т.д. К сожалению, прямое численное моделирование нестационарных турбулентных движений на основе точных (мгновенных) гидродинамических уравнений сопряжено обычно со значительными математическими трудностями, а построение
общей теории структурированной турбулентности, из-за чрезвычайной сложности механизмов возникновения и эволюции взаимодействующих вихревых образований при больших числах Рейнольдса, вряд ли вообще возможно в обозримом будущем. Все это требует развития новых модельных подходов к описанию предельно развитой турбулентности, которые, несмотря на все упрощения "реального мира", отражают в главном специфику структурированного турбулентного течения (при минимуме необходимых вычислительных усилий).
В работах автора (Колесниченко, 2002; 2003; 2004а, б) была начата разработка теории самоорганизации при необратимых процессах и вихревого структурообразования в развитых турбулентных течениях, что служит отражением общей концепции нелинейной динамики, связанной с возникновением упорядоченных структур при значительном отклонении от равновесия. Проблема возникновения и эволюции когерентных вихревых образований в турбулизованной сжимаемой среде рассматривалась, исходя из анализа соотношения порядка и хаоса в открытых диссипативных системах с позиций стохастической нелинейной термодинамики необратимых процессов. Исходной концепцией послужило представление турбулизованного движения жидкости в виде термодинамического
комплекса, состоящего из двух континуумов - подсистемы осредненного движения и подсистемы турбулентного хаоса, которые заполняют одновременно один и тот же объем координатного пространства непрерывно. Подсистема осредненного движения, которая получается в результате теоретико-вероятностного осреднения мгновенных гидродинамических уравнений, предназначена для исследования динамики осредненного течения и, в частности, крупномасштабных вихревых образований. Стационарно-неравновесная подсистема турбулентного хаоса связана с флуктуационным (вихревым) движением жидкости, причем, в соответствии с точкой зрения Пригожина на турбулентность как на течение макроскопически более высокоорганизованное, чем течение ламинарное (см. Пригожин, Стенгерс, 1986), ее можно рассматривать как конгломерат вихревых структур различных пространственно-временных масштабов и моделировать континуумом с некоторой внутренней структурой. Для каждого из двух указанных континуумов вводились локальные (для макроскопически малых областей термодинамические параметры, такие как плотность, давление, термодинамическая температура, внутренняя энергия, энтропия и т.п. При этом для описания квазистационарного континуума, относящегося к турбулентному хаосу, помимо обобщенных термодинамических переменных (см. В1аскМаг, 1955), вводились дополнительные внутренние переменные, отвечающие, в конечном счете, возбужденным макроскопическим степеням свободы турбулизованной жидкости. Поля гидродинамических скоростей для указанных подсистем предполагались совпадающими, поскольку в процессе реального турбулентного течения не происходит разделения соответствующих лагранжевых объемов (эффекта диффузии) - подсистема турбулентного хаоса не имеет диффузионной скорости относительно подсистемы осредненного движения. Кроме этого, считалось, что обобщенные термодинамические параметры состояния, характеризующие мелкомасштабную стационарно-неравновесную вихревую структуру хаоса ("собственно" турбулентность), связаны обычными для локально-равновесной термодинамики соотношениями типа тождеств Гиббса, Гиббса-Дюгема и т.п. Другими словами, считалось, что подобного рода соотношения остаются справедливыми и вдали от локального равновесия1, если тем не менее подсистема хаоса нахо-
1 Поскольку энергия турбулентных движений благодаря вязкости непрерывно рассеивается, то ситуация, при которой достигается локальное статистически равновесное состояние турбулентного хаоса, оказывается, в общем случае, невозможной. Вместе с тем в случае стационарного течения турбулизованной жидкости, когда вязкая диссипация энергии за большое время в среднем компенсируется энергией от стационарного источника неравновесности, стохастические процессы в подсистеме турбулентного хаоса, в принципе, не отличаются от случайных процессов в какой-либо диссипативной системе.
дится в устойчивом стационарно-неравновесном состоянии. Данное ключевое предположение явилось своего рода "новым" постулатом, на котором, собственно, и основывался стохастико-термодина-мический подход к модельному описанию развитой структурированной турбулентности. Характерной особенностью предложенного подхода является введение в модель турбулентного хаоса набора случайных величин д(1) - пульсирующих внутренних координат (типа скоростей диссипации турбулентной энергии, собственных завихренно-стей поля пульсаций скорости, относящихся к ме-зомасштабным вихревым образованиям и т.п.), характеризующих структуру и временную эволюцию флуктуирующего поля гидродинамических параметров течения. Были развиты представления о стационарно-неравновесном состоянии диссипа-тивно активной подсистемы турбулентного хаоса, возникающем вследствие притока негэнтропии от внешней среды (подсистемы осредненного движения) и появлении в подсистеме хаоса относительно устойчивых вихревых когерентных структур (отвечающих реальным вихревым образованиям в турбулизованном течении) при изменении параметров, управляющих режимом течения, например, числа Рейнольдса Яв. Это позволило рассматривать некоторые процессы перестройки турбулентного хаоса как процессы самоорганизации в открытой системе.
Методами стохастической теории необратимых процессов и расширенной необратимой термодинамики были получены определяющие соотношения для турбулентных потоков и сил, которые замыкают систему осредненных гидродинамических уравнений и с достаточной для практики полнотой описывают процессы переноса и самоорганизации в стационарно-неравновесном случае. В частности, при учете центрального для данного подхода постулата Пригожина, касающегося направления протекания необратимых процессов в каком-либо локальном объеме пространства внутренних координат (см. Пригожин, 1960; Гл. 3, § 11), в рамках данного подхода удалось получить термодинамическим путем эволюционные уравнения Фокке-ра-Планка-Колмогорова (ФПК) в пространстве конфигураций Подобного рода кинетические уравнения предназначены для определения временной эволюции плотностей распределения условных вероятностей различных статистических характеристик турбулентности. Кроме этого, они позволяют исследовать марковские стохастические диффузионные процессы перехода в конфигурационном пространстве внутренних координат из одного устойчивого стационарно-неравновесного состояния в другое, вызванные последовательной потерей устойчивости гидродинамической системой при изменении управляющих параметров. Подобные переходы могут быть описаны как неравновесные "фазовые переходы вто-
рого рода" в вихревом континууме, в результате которых внутренние координаты в бифуркационных точках меняются скачкообразно (см. Кадомцев, Рязанов, 1983). Заметим, что преимущество подобного подхода состоит, в частности, в том, что мы приобретаем возможность, на уровне теории случайных функций, исследовать свойства и поведение тех стационарно-необратимых дисси-пативных процессов в подсистеме турбулентного хаоса,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.