^^^^^^^^^^^^^^ НЕЛИНЕЙНАЯ
АКУСТИКА
534.222
СТОЯЧИЕ АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ В КУБИЧНО НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
© 2007 г. О. В. Руденко, К. М. Хедберг*, Б. О. Энфло**
Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
119992 Москва, Ленинские горы E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru *Инженерный факультет, Технологический институт Блекинге, S-37179 Карлскрона, Швеция E-mail :claes .hedberg@bth .se **Факультет механики, Королевский технологический институт, S-10044 Стокгольм, Швеция
E-mail :benflo@mech. kth.se Поступила в редакцию 26.02.07 г.
Исследовано поведение поля в резонаторе, содержащем кубично нелинейную среду. Поле представлено в виде линейной суперпозиции двух бегущих навстречу друг другу сильно искаженных волн. В отличие от случая квадратично нелинейной среды, встречные волны в кубичной среде связаны через их средние (по периоду) интенсивности. Изучены свободные и вынужденные стоячие волны. Построены профили разрывных колебаний, содержащих ударные фронты сжатия и разрежения. Рассчитаны резонансные кривые, дающие зависимости средней интенсивности поля от разности частот колебаний границы и одной из мод резонатора. Проанализирована структура профилей сильно искаженных "вынужденных" волн. Показано, что разрывы формируются лишь в том случае, когда разность между средней интенсивностью и расстройкой принимает определенные отрицательные значения. Разрывы соответствуют скачкам между различными решениями нелинейного интегро-дифференциального уравнения, вырождающегося при малой диссипации в алгебраическое уравнение третьей степени с неопределенным коэффициентом. Найдена зависимость интенсивности стоячих волн с разрывами от частоты колебаний границы резонатора. Появляется нелинейное насыщение: интенсивность поля в резонаторе при очень большой амплитуде колебаний стенки перестает зависеть от нее и не может превысить своего предельного значения, определяемого нелинейным затуханием на ударных фронтах. Этот максимум достигается при плавном росте частоты выше линейного резонанса. Возникает область гистерезиса и бистабильность, как в сосредоточенных системах при нелинейном резонансе.
PACS: 43.20.Ks, 43.25-x, 43.25.Gf
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 4, с. 522-532
УДК
ВВЕДЕНИЕ
Интенсивные акустические волны в резонаторах, заполненных слабо нелинейной диссипатив-ной средой, изучены детально лишь для сред с квадратичной нелинейностью. Такая нелинейность, как известно, является доминирующей для акустических волн в жидкостях и продольных волн в твердых телах. Обзоры результатов по квадратично нелинейным резонаторам приведены в работах [1-3].
С другой стороны, кубично нелинейные системы исследованы гораздо менее полно. Их изучение представляет интерес по двум причинам.
Во-первых, это новый физический объект, эволюция которого радикально отличается от аналогичной эволюции квадратично нелинейной волны. Этот новый характер эволюции изучен применительно к общей теории нелинейных волн
в средах без дисперсии, для плоских волн - Ли-Бапти и Крайтоном [4], а для неодномерных волновых пучков - Руденко и Сапожниковым [5]. Вывод уравнения Бюргерса, модифицированного на случай кубичной нелинейности, как модельного уравнения для конкретной физической ситуации, дан Заболотской [6]. Этот вывод показывает, что поперечные упругие волны в однородном твердом теле подчиняются кубично нелинейному волновому уравнению; при этом квадратичная нелинейность оказывается исчезающе малой. Связь упругих констант с коэффициентом кубичной нелинейности для поперечных волн скорректирована авторами настоящей работы [7].
Во-вторых, кубично нелинейные среды привлекают большой интерес в последние годы в связи с новыми прикладными задачами. Одна группа таких задач связана с возбуждением силь-
ных сдвиговых волн для медицинских целей [5, 8, 9], другая - с различными геофизическими приложениями [10]. Появились данные измерений кубичной нелинейности сред типа резины или фантома биоткани [11].
ПОДХОД, УПРОЩАЮЩИЙ ЗАДАЧУ
Реальный успех в изучении стоячих волн в обычных квадратично нелинейных резонаторах достигнут с помощью приближения, основанного на предположении о суперпозиции двух нелинейных волн, бегущих во встречных направлениях. Детальное объяснение и физические основания этого подхода даны в работах [2, 12].
Похожий подход можно применить и к стоячим волнам в кубичном резонаторе, но теперь идея о полной независимости встречных волн становится несправедливой.
Чтобы показать, как можно видоизменить эту идею и применить здесь приближенный подход [2], рассмотрим волновое уравнение, моделирующее поперечные волны в однородном твердом теле [13-15]:
д2и д х2
1 д2и с дг
2 £ д 2 и 3
"37 э7'
(1)
ди £ и2 ди - о
дх
дт
(2)
Ищем решение уравнения (1) в следующем виде
(3)
и - и+1 х1 - цх, т+ - г — | +
+ и_| х1 - цх, т_ = г + - |.
Здесь ц <§ 1 - малый параметр задачи; для кубично нелинейной волны он имеет порядок квадрата
акустического числа Маха (~£и2тах /с2). После подстановки (3) в (1) и пренебрежения членами порядков ц2, ц3 удается получить
2е
3с
2 д2и+
2 д2и_
с дхдт+ с дхдт_
■ 3 и
2д2 и-дт_
ди+ди-дт+дт_
^2 3
д и+ дт+
. д2и+
22 ,д и+
дт+
-и_ +
дт+
3 и.
д2и- ^ д и+д и! + д2и--2 дт+ дт_
дт-
дт
2
Здесь и - колебательная скорость, £ - параметр акустической нелинейности, с - скорость распространения волны. Уравнение (1) - простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее кубичную нелинейность. Используя метод медленно изменяющегося профиля [13], можно вывести из (1) упрощенное эволюционное уравнение первого порядка
Пусть и+ - быстро осциллирующая функция переменной т+, и, аналогично, и- - быстро осциллирующая функция переменной т-. Пусть средние по периоду значения равны нулю: (и+}т+ = <и- }т.
Усредняя последнее выражение последовательно по переменным т- и т+, получим следующую систему:
ди+ £(/ 2} 2 чд и+ „ —--(/и-} + и+ - 0
дх
ди- , £(/ 2} . 2 )д и- „ Т- + -3( /и+) + и-)-7— - 0.
для простых (римановых) волн, бегущих по кубично нелинейной среде. Здесь т = г - х/с, х - "медленная" координата [13].
Свойства кубичных римановых волн изучены в работе [4]. Показано, что прогрессивное нелинейное искажение исходной гармонической волны приводит к формированию несимметричного временного профиля. При дальнейшем распространении в профиле появляются разрывы. В отличие от квадратично нелинейной волны, содержащей только скачки уплотнения, каждый период кубичной волны содержит как ударный фронт сжатия, так и ударный фронт разрежения. Кубичная нелинейность изменяет скорость распространения; для акустических пучков это изменение скорости в поперечном сечении приводит к появлению явлений самофокусировки и дефокусировки пучков [5, 14, 15].
дх
дт-
(4)
(5)
Уравнения (4) и (5), в отличие от аналогичных уравнений для квадратично нелинейной среды, не являются независимыми. Они связаны через усредненные квадраты (средние интенсивности)
1+ = / и+ } Ф 0, I = / и2} Ф 0 переменных и+, и-. Для стоячих волн, очевидно, нужно положить 1+ = I = I.
Используя метод, описанный в работах [2, 12], нетрудно проверить, что все отброшенные члены являются нерезонансными и не могут существенно влиять на обмен энергией между гармониками двух волн, бегущих навстречу друг другу.
Нелинейное поле в резонаторе можно представить как сумму двух точных решений уравнений (4) и (5), по аналогии с аналогичным представлением для задачи с квадратичной нелиней-
ностью. Запишем эти два решения в удобном для нас виде:
u+ = F+
u_ = F_
£ 2 юt - k(х - L) + — k(х - L)(I + u+)
raí + к(х - L) - £к(х - L)(I + u-)
(6)
Если уравнение (11) линеаризовать, формально положив £ = 0, удается найти его общее решение
Xr a
F = A s in ( ю t) 2cos(kL)
2n +1 cos (2n + 1 )«! t + B2 n
(12)
4sin (2n + 1 )ю1 í].
Здесь к = ю/с - волновое число, х = Ь _ координата правой границы нелинейной среды, занимающей область 0 < х < Ь. Функции определяются из граничных условий.
Как известно, при возбуждении поля гармоническим источником на частоте ю в кубичной среде возбуждаются только нечетные гармоники с частотами (2п + 1)ю. Если ю близка к частоте основной моды юх, то чисто стоячая волна может образоваться лишь в том случае, если частоты высших гармоник оказываются близкими к частотам соответствующих им высших мод. Такой режим наиболее интересен, поскольку позволяет накопить в полости резонатора значительную энергию даже при слабом внешнем источнике. Нужным спектром
ю
2n +
1 = (2 n + 1 )Ю1,
п с
Ю1 = 2l' n = 0 1, 2... (7)
обладает резонатор, одна из стенок которого (например, х = 0) является жесткой и на ней и(х = = 0, 0 = 0, а на второй стенке колебательная скорость имеет максимум, то есть
du д х
х = L
д u+ д х
д u дх
= i ^ + — =о.
(8)
х = L
u = F
ю t -ю (х - L) + ££Ю (I + F2)(х - L)
£(0,
3
+ F
ю t-
ю(х - L)(I + F2)(х - L)
(9)
F
(t
kL --£kL(I + F2)
+ F
(t - kL + ■£kL(I + F2)
(11)
= A sin(юt).
При точном резонансе, например, на основной моде ю = юх, решение (12) описывает колебания, неограниченно растущие во времени по линейному закону
F = — (ю11) cos (ю11). п
(13)
Этот рост, как известно, ограничивается поглощением, нелинейностью или отстройкой частоты от точного резонанса:
кЬ = 2 + А, А = (ю - Ю!)Ь = « 1. (14)
2 с 2 ю1
Здесь и далее безразмерная расстройка А считается малой величиной. При учете А Ф 0 колебания оказываются модулированными; они описываются ограниченной во времени функцией
„ . . -1 |пю - ю1 F = -A sin --
U ю1
ю - ю 1 Л |ю sin —— t cos
ю 1
t
Из граничного условия (8) находим, что произвольные функции в решении (6) должны быть одинаковыми, = = К При этом поле в резонаторе запишется так:
(15)
Используя метод, описанный в работе [2], сведем функциональное уравнение (8) к дифференциальному уравнению:
эи +1А--и] щ- В э? = -мС08 -(16)
Для простоты записи и сравнения результатов здесь использованы те же безразмерные обозначения, что и в работе [2]:
Пусть граница х = 0 колеблется по гармоническому закону
u = (х = 0, t) = A sin(юt). (10)
Используя (10), сведем (9) к нелинейному фу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.