РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 6, с. 720-725
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 517.9
СТРУКТУРА БАССЕЙНОВ ПРИТЯЖЕНИЯ АТТРАКТОРОВ ГЕНЕРАТОРА "TORUS" © 2004 г. Е. Н. Егоров, А. А. Короновский, А. Е. Храмов
Поступила в редакцию 23.07.2002 г.
Исследована структура бассейнов притяжения аттракторов, сосуществующих в фазовом пространстве для генератора "TORUS" с кусочно-линейной характеристикой. Показано, что в том случае, когда в системе наблюдается мультистабильность, т.е. когда в фазовом пространстве системы сосуществуют несколько аттракторов, бассейны притяжения аттракторов имеют сложную самоподобную структуру. В сечении Пуанкаре фазового потока бассейны притяжения аттракторов имеют вид "рукавов" спиралей, раскручивающихся от точки неустойчивого цикла, лежащей в этом сечении Пуанкаре.
Динамические системы, в которых возможна мультистабильность, довольно часто встречаются исследователям. Обнаружить области мульти-стабильности в пространстве управляющих параметров можно либо при детальном исследовании этого пространства параметров (например, с помощью построения бифуркационных линий), либо при исследовании строения фазового пространства при заданных фиксированных значениях управляющих параметров. При этом сосуществующие в фазовом пространстве бассейны притяжения аттракторов могут иметь как гладкие, так и фрактальные границы [1, 2]. Феномен существования фрактальных границ обусловливается пересечением устойчивых и неустойчивых многообразий неустойчивых циклов, сосуществующих в фазовом пространстве [3, 4].
В данной работе рассматривается генератор "TORUS" с кусочно-линейной характеристикой, являющийся классической схемой семейства Чуа [5, 6]. Радиотехнический генератор "TORUS" представляет собой автономную систему с тремя реактивными элементами (С1, C2, L, рис. 1а) и нелинейным элементом, имеющим трехсегментную кусочно-линейную вольт-амперную характеристику (рис. 16). Интересной и характерной особенностью данной системы является существование в ней квазипериодических колебаний при минимально необходимом для этого числе степеней свободы (1.5 степени свободы) без внешнего воздействия. Образом таких квазипериодических колебаний в фазовом пространстве системы является двумерный тор, откуда и возникло название генератора "TORUS", впервые введенное в работе [5]. Как было показано при глобальном исследовании плоскости управляющих параметров (см. [7]), возможны случаи, когда в фазовом пространстве системы одновременно сосуществуют три аттрактора, соответствующие разным режимам ко-
лебаний. В работе анализируется структура бассейнов притяжения сосуществующих аттракторов, а также характер переходных процессов, предшествующих выходу изображающей точки в фазовом пространстве на аттрактор того или иного режима. Характер переходного процесса и зависимость его длительности от начальных условий, как правило, несут дополнительную информацию о системе ([8-10]).
(a)
N
Vc1
(б)
V
Рис. 1. Принципиальная схема генератора "TORUS" (a) и вольт-амперная характеристика нелинейного элемента (б).
Динамика рассматриваемой системы описывается тремя обыкновенными безразмерными нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка, полученными на основе законов Кирхгофа:
-х _ ( ос - 1 ) / ( х ) - г йг у
у
3.5
dy _ af ( x ) dt ~ y
f _ Y(x + У)'
(1)
где
f (X) = - m X +2 (m + l)l x + 1|-Ix-1| ) W[ 2 \m1 )
- безразмерная кусочно-линейная функция, описывающая вольт-амперную характеристику (см. рис. 16) нелинейного элемента генератора [11]. Параметры схемы (см. рис. 1а) и безразмерные величины системы (1) связаны следующими соотношениями: x = VCi /E1, y = VC /Еъ z = iL/Im, т =
= t/JbC~2 , а = C2/C1, Y = (1/mx)J C2/L. Величины m0 и m1 характеризуют наклон участков кусочно-линейной функции fx), и их отношение m0/m1 было выбрано равным 1/2. Величины а и y являются управляющими параметрами системы. В зависимости от их значений в системе могут реализовы-ваться сложнопериодические, квазипериодические и хаотические колебания (см., например, работу [7], где было проведено детальное исследование поведения системы на плоскости управляющих параметров). Данная система обладает двумя собственными частотами, поэтому периодические режимы удобно классифицировать исходя из чисел вращения [7]. При этом, если n - число оборотов фазовой траектории на двумерном торе вокруг его оси симметрии, а m - число оборотов фазовой траектории вокруг линии, проходящей через центры всех поперечных сечений тора, то р = m/n будет числом вращения.
В данной работе исследовалась структура бассейнов притяжения аттракторов в фиксированной точке на плоскости управляющих параметров а = 1.5, y = 3.0. Карта бассейнов притяжения аттракторов строилась в сечении Пуанкаре фазового пространства плоскостью z = 0. В ходе численного эксперимента осуществлялось моделирование системы дифференциальных уравнений (1) методом Рунге-Кутта четвертого порядка с шагом интегрирования h = 0.005. Последовательно перебирая начальные условия, лежащие в плоскости сечения Пуанкаре, определялись тип колебаний, соответствующий данным начальным условиям, и длительность переходного процесса. Рассматриваемую точку начальных условий сечения Пуан-
-1.50
0.75
3.00
х
Рис. 2. Структура бассейнов притяжения в сечении Пуанкаре. Область, отмеченная единицей, соответствует начальным условиям, стартуя с которых фазовая траектория "уходит" на бесконечность.
У
1.7
0.60
0.75
0.90
х
Рис. 3. Фрагмент сечения Пуанкаре фазового потока системы (1). Светло-серым цветом показаны бассейны притяжения аттрактора, соответствующего режиму 1:8, серым цветом - бассейны притяжения аттрактора режима 2:15, черным - режима 1:7. Отчетливо видна самоподобная структура бассейнов притяжения аттракторов, сосуществующих в системе. "Центром" самоподобной структуры является точка сечения неустойчивого цикла 1:8.
каре окрашивали в цвет, соответствующий установленному режиму.
При рассмотрении поведения системы (1) в сечении Пуанкаре г = 0, фактически осуществляет-
-1.50 0.75 3.00
х
Рис. 4. Вид зависимости длительности переходного процесса от начальных условий для цикла с периодом 8. Более светлые участки обозначают точки аттракторов и, соответственно, более короткие переходные процессы. Темные области имеют значения длительности переходных процессов в безразмерных единицах порядка 1325, светлые области - порядка 931. Белый цвет соответствует положению циклов 1:7 и 2:15.
У 3.50
0
-1.50 0.75 3.00
х
Рис. 5. Схематическое расположение элементов устойчивого (темные кружки) и неустойчивого (светлые кружки) циклов периода 8 в сечении Пуанкаре. Сплошными линиями обозначены устойчивые многообразия неустойчивого цикла 1:8, пунктирными -неустойчивые многообразия.
ся переход от трехмерной потоковой системы к двумерному отображению
Хп +1 = ^( Хп, Уп ) , Уп +1 = в(Хп, Уп ),
(2)
где функции ^(х, у) и в(х, у) задают координаты точек пересечения фазовой траектории плоскостью сечения Пуанкаре и определяются численно интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1).
При указанных выше значениях управляющих параметров в фазовом пространстве системы сосуществуют три аттрактора, отвечающие периодическим режимам 1:7, 2:15 и 1:8. Как следует из [7], эти режимы соответствуют трем языкам синхронизации, перекрывающимся на плоскости параметров (а, у).
На рис. 2 приведено соответствующее сечение Пуанкаре с указанными бассейнами притяжения аттракторов: светло-серый цвет соответствует периодическому режиму 1:8, серый цвет - "промежуточному" режиму 2:15, черный цвет - режиму 1:7. На этом же рисунке указаны точки аттракторов в сечении Пуанкаре для режимов 1:7 (светлые квадраты) и 1:8 (крестики). Понятно, что периодическому режиму 1:8 в сечении Пуан-
каре соответствуют восемь точек, получающиеся при сечении аттрактора плоскостью г = 0 (рассматриваются только те точки аттрактора, которые получаются при пронизывании сечения Пуанкаре фазовой траекторией в направлении оси г, т.е. при возрастании переменной г). Аналогично, режиму 1:7 в сечении Пуанкаре будут соответствовать семь точек, режиму 2:15 - 15 точек и т.д.
Из рис. 2 видно, что структура бассейнов притяжения аттракторов для рассматриваемой динамической системы весьма сложна. Рис. 3 иллюстрирует строение зоны сечения Пуанкаре, лежащей внутри области расположения аттракторов, соответствующих режимам 1:7 и 1:8. Видно, что бассейны притяжения различных аттракторов "устроены" сложным образом: участки бассейнов притяжения аттрактора 1:7 образуют "ветви", раскручивающиеся из некоторой точки сечения Пуанкаре и заканчивающиеся на точках сечения аттрактора. Участки бассейнов притяжения аттрактора 1:7 "сопровождают" области бассейнов притяжения аттрактора 2:15, а все остальное пространство сечения Пуанкаре оказывается занятым бассейном притяжения аттрактора 1:8.
На рис. 4 приведена зависимость длительности переходных процессов от начальных условий, лежащих в плоскости г = 0 для цикла 1:8. Длитель-
Рис. 6. Карта бассейнов притяжения (а), построенная в новой системе координат (и, V); б - фрагмент сечения Пуанкаре бассейнов притяжения до трансформации, вырезанный из карты бассейнов по кругу, отмеченному сплошной линией; в - фрагмент сечения, вырезанный из карты по кругу, обозначенному пунктирной линией, и подвергнутый преобразованию скейлинга.
ность переходных процессов отмечалась с помощью градации серого цвета. Отчетливо видны области светло-серого цвета, окруженные более темным полем. Этим областям соответствуют точки аттракторов, отмеченные на рис. 2, и, соответственно, более короткие по длительности переходные процессы, в отличие от граничных областей бассейнов притяжения, окрашенных более темным оттенком серого.
Отличия длительности переходных процессов в разных участках бассейнов притяжения аттракторов объясняются характером движения изображающей точки вблизи устойчивого и неустойчивого предельных циклов, сосуществующих в фазовом пространстве. На рис. 5 схематически изображено расположение точек пересечения устойчивого и неустойчивого циклов с пер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.