АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2008, том 54, № 1, с. 32-39
^=ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА =
УДК 534.535
СТРУКТУРА ПЛАНАРНОГО НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА В ОСЦИЛЛИРУЮЩЕМ ПОТОКЕ КУЭТТА ЗА ПОРОГОМ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ
© 2008 г. Е. Н. Кожевников
Самарский государственный университет 443011 г. Самара, ул. Ак. Павлова 1 E-mail: kozhev@ssu.samara.ru Поступила в редакцию 14.12.06 г.
Теоретически описана деформация планарно ориентированного нематического жидкого кристалла при воздействии осциллирующего потока Куэтта; рассмотрены амплитуды воздействия, превышающие порог потери устойчивости исходной структуры кристалла. Анализ эффекта строится методом возмущений на основе нелинейных уравнений нематодинамики. Определен вид и величина искажений НЖК-структуры в зависимости от частоты и амплитуды сдвига.
PACS: 43.35.Pt, 43.35.Sx, 43.35.Ig
Реакция структуры нематического жидкого кристалла (НЖК) на периодический сдвиг разнообразна и зависит от геометрии, частоты и интенсивности воздействия (напр. [1]). При гомеотроп-ной ориентации кристалла малые амплитуды сдвига меняют прозрачность НЖК-слоя; с увеличением амплитуды в слое возникают пространственно-модулированные структуры, наблюдаемые оптически как "домены" [3-7]. Малые амплитуды периодического сдвига в НЖК-слое с исходной планарной ориентацией не приводят к значительной деформации структуры и изменению оптических свойств слоя. Искажения структуры планарного НЖК-слоя в осциллирующих потоках наблюдаются лишь при их критическом нарастании за порогом образования [8-12] и для описания реакции кристалла на периодический сдвиг необходимо анализировать механизмы неустойчивости нематической структуры.
При воздействии периодического течения Куэтта на планарный НЖК-слой, ориентированный вдоль потока, в слое возникают ролл-домены, вытянутые перпендикулярно направлению сдвига [8]. В теоретическом анализе эффекта [8] появление доменов объясняется инерцией среды, которая приводит к запаздыванию скорости вторичных осциллирующих потоков от скорости в потоке Куэтта. Экспериментальное наблюдение пороговой деформации планарного НЖК-слоя в осциллирующих потоках Куэтта и Пуазейля со скоростью потока, ортогональной ориентации кристалла, впервые описано в работах [9, 10]. В этих исследованиях частота осцилляций / и толщина Н слоя менялись в широком диапазоне: / = = 10-3-102 Гц, Н = 30-300 мкм. Авторы отмечают
появление как однородных искажений, так и ролл-доменов, ориентированных параллельно скорости потока, исследовано изменение вида искажений при наложении электрического и магнитного полей. В работе [11] исследованы экспериментально структуры, возникающие в планар-ном НЖК-слое при одновременном воздействии на него осциллирующих потока Куэтта и сжатия. Показано, что при малых амплитудах сжатия наблюдаемая деформация структуры схожа с описанной в работах [9, 10].
Воздействие осциллирующего потока Куэтта на структуру планарного НЖК-слоя впервые проанализировано в работах [12-14]. В работе [15] исследовано экспериментально и теоретически воздействие осциллирующего потока Куэтта на планарный НЖК-слой с ориентацией неортогональной скорости потока. Наблюдаемое в эксперименте увеличение пороговых значений и волнового числа доменов к при уменьшении угла между директором и скоростью потока объясняется изменением эффективных вязкостей нематического кристалла. Теоретическая картина искажений НЖК-структуры в осциллирующем потоке Куэтта уточнена в работе [16], где, в частности, дан анализ типа структуры в зависимости от частоты воздействия и коэффициента вязкости Лесли а3, а также в работе [17], в которой проводится компьютерное моделирование воздействия осциллирующего потока Куэтта на пла-нарный НЖК-слой.
В теоретических работах [9, 10, 12-17] вычисляются лишь пороговые характеристики эффекта: пороговая амплитуда сдвига и волновое число к, определяющее размер доменов на пороке эффек-
та при к Ф 0 или констатирующее однородность искажений при к = 0. В экспериментальных работах [9, 10, 12] также приводятся лишь пороговые значения амплитуды сдвига и размера доменов. Исключение представляет работа [11], в которой помимо пороговых параметров приведены данные экспериментального исследования искажений НЖК-структуры за порогом эффекта. Показано, что в нЖК-слое толщиной 35 мкм на частоте 20 Гц увеличение амплитуды сдвига за порогом эффекта приводит к уменьшению ширины доменов (примерно вдвое). Установлено также возникновение за порогом эффекта вторичных "несоразмерных" структур. Авторы высказывают предположение о природе вторичных структур, однако теоретический анализ эффекта отсутствует.
Наблюдаемые визуально искажения структуры кристалла за порогом неустойчивости в осциллирующих потоках разнообразны и зависят от расстояния до порога эффекта, геометрии и частоты воздействия, толщины слоя [11]. Искажения НЖК-структуры за порогом заслуживают отдельного теоретического анализа, однако до настоящего времени такой анализ не проводился, и в данной работе он проводится впервые. Рассматривается воздействие на кристалл низкочастотного осциллирующего потока Куэтта, определяется конфигурация и наблюдаемая картина искажений за порогом их образования. Предполагается отсутствие дополнительных факторов воздействия на НЖК-слой.
Анализ искажений НЖК-структуры проводится на основе нелинейных уравнений нематическо-го кристалла, в которых сохраняются кубические по возмущениям слагаемые; решение нелинейных уравнений строится методом возмущений.
Уравнения, описывающие течение жидкости и вращение молекул в нематическом жидком кристалле, следуя [18, 19], представим в виде
YiNi - Y2 [ UijHj - ( UjkHjHk)n,] - Г = 0, pli = - v P + Vô
Здесь n - директор, определяющий направление выстраивания молекул, U - скорость жидкости, Uij - компоненты тензора скорости деформации, N = ii - 1/2(rot U х n) - скорость вращения молекул по отношению к окружающей жидкости, p -плотность, P - давление, ô - тензор вязких напряжений Ya - коэффициенты вращательной вязкости, Г = h - (h ■ n)n, h - упругая сила Франка:
д g dg
h = V,
d(V,n ) dn'
g - плотность упругой энергии Франка g = 1 {Kii(divn)2 + K22(n • rotn)2 + K33(n х rotn)2},
Ки - упругие модули. Компоненты вязких напряжений с учетом уравнения вращения молекул (1) приводятся к виду:
= а4 и1} + (аб - азу2/71)(и1кпкп] + и]кпкп1) + + (7 2/71 + а1) иктпкптп;п] + а2 Г,п + а3Г п
Рассмотрим искажения структуры кристалла в осциллирующем потоке Куэтта. Рассмотрим в анализе эффекта частоты ю, ограниченные сверху неравенствами
^ < 1, < 2 х 104.
$4 K 33
(2)
Первое неравенство указывает на большую длину вязких волн по сравнению с толщиной слоя Н и позволяет рассматривать линейный профиль скорости в потоке Куэтта. При выполнении второго неравенства инерция среды не влияет на образование искажений [16], что позволяет опустить инерционные слагаемые в уравнениях движения.
Направим оси у и х в срединной плоскости соответственно вдоль и перпендикулярно плоскости потока, а ось г - перпендикулярно плоскости слоя, считая, что границы слоя соответствуют значениям X = ±Н/2 (Н - толщина слоя). Скорость в осциллирующем потоке Куэтта и ее градиент 5 имеют вид
U 0 x = U oz = 0, Uoy = ю^о Z cos (ю T ) 5 = dU0 y / д Z = ю s0cos (юТ)
(3)
Величина я0 является безразмерной амплитудой сдвига и равна отношению амплитуды смещения граничной пластины к толщине слоя.
При амплитудах % меньших некоторой пороговой величины, нематический кристалл сохраняет структуру с исходной ориентацией молекул. Если я0 превышает пороговое значение, возникает устойчивое искажение, при котором молекулы колеблются около нового равновесного направления. Возможные конфигурации искажений описаны в работе [16], там же указано, что практически можно наблюдать искажения двух видов с конфигурациями (1.1) и (1.2): в первой из них возникает стационарная составляющая в отклонении молекул от исходной ориентации по нормали к плоскости НЖК-слоя, а во втором - стационарную составляющую имеет угол поворота в плоскости слоя. В том и другом случае возможны как однородные вдоль слоя искажения так и пространственно-модулированные структуры, в которых ориентация молекул периодически меняется в направлении ортогональном скорости потоков.
В данной работе анализ искажений за порогом эффекта проводится для конфигурации (1.1). Вычисляется как функция частоты и амплитуды
КОЖЕВНИКОВ Здесь
D = n( к4+ 4 п4) + (1 + 2 п)п2 k2, Ау = (п к2 + а4/2п2),
Ае = (к2 + Lin2), Ау = (к2 + ¿2 п2),
22 А = к + п ,
П =
2 Y
£ =
ЮТ
Т =
2
K3
K,,
Li = —, i = 1, 2. к 3
^33 л33
В конфигурации искажений (1.1) углы б, у и скорости Уг, Уу четны по координате г. В одномо-довом по г приближении представим их в виде
сдвига угол стационарного поворота молекул, определяющего переход кристалла в новое ори-ентационное состояние. Найден пространственный спектр искажений, анализируется вид искажений при их визуальном наблюдении для различных частот и амплитуд сдвига.
В исходной геометрии невозмущенный директор направлен вдоль оси x. В возмущенной структуре директор отклоняется от оси x на угол Т в плоскости XY и на угол 0 - в плоскости XZ, а в слое возникают замкнутые потоки со скоростью U. Углы 0 и Т считаем малыми и представим компоненты директора разложением в ряд по углам 0 и Т, ограничиваясь третьей степенью разложения
nx - 1- 02/2 - Т2/2,
ny -Т - Т3/6- 02Т/2, nz -0 - 03/6.
В дальнейшем описании перейдем к безразмерным координатам x = X/h, z = Z/h, времени t = юТ, скоростям Vk = Ц/oih и безразмерной скорости сдвига 5 = S/ю = s0cost, безразмерным коэффициентам вязкости a, = а, /ух для i = 2, 3, 4 и a6 = (а6 -- a3Y2/Yi)/2Yi. Нелинейные уравнения для углов и удовлетворяющем граничным условиям. Коэффи-ск°р°стей потоков приводятся к виду циенты е, у, vz, vy зависят от времени, за порогом
эффекта эта зависимость периодическая. Волновое число к определяет ширину доменов d = nh/k.
Выделим систему уравнений для е, у, vz, vy, умножая уравнения (4) на cos nz cos kx и интегрируя по толщине слоя и по x в пределах от 0 до 2п/к. Исключим из системы скорости потоков, сохраняя при преобразованиях кубически
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.