научная статья по теме СТРУКТУРА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ Механика

Текст научной статьи на тему «СТРУКТУРА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <5 • 2008

УДК 539.3

© 2008 г. Д.В. ГЕОРГИЕВСКИЙ

СТРУКТУРА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ

Исследованы решения задачи изотропной теории упругости в напряжениях в трехмерном пространстве без начала координат, имеющие особенность 1/г2, а после домножения на r2 полиномиально зависящие от направляющих косинусов. В этом полиномиальном классе выписано общее решение уравнений равновесия, являющееся статически допустимым (по Кастильяно) решением задачи Кельвина. Показано, что невыполнение одного или определенной группы уравнений Бельтрами приводит к неединственности классического решения Кельвина. Предъявлен путь построения неединственных решений такого рода. Обсуждена эквивалентность различных постановок задачи теории упругости в напряжениях.

В задаче о действии сосредоточенной силы в вершине произвольного конического упругого тела выписано точное решение в напряжениях в случае несжимаемого материала. Решение для сжимаемого материала представлено в виде рядов по параметру, характеризующему близость коэффициента Пуассона к 1/2. Получены итерационные цепочки задач в напряжениях и условия их конечности. Проанализирован случай реализуемости дробно-линейной зависимости решения в напряжениях от коэффициента Пуассона.

1. Полиномиальные поля напряжений. Как известно (см., например, [1, с. 119]), классическая постановка задачи теории упругости в напряжениях для изотропного тела при отсутствии массовых сил состоит в решении в области тела V трех уравнений равновесия и шести уравнений совместности Бельтрами

Oj, j = 0, x е V (1.1)

j) = о j kk = 0, 3o = oh, x е V (1.2)

относительно шести компонент oij (i, j = 1, 2, 3) симметричного тензора напряжений. В каждой точке границы X = dV заданы три условия, например, статического типа: ло ^

Oijnj = Pi , x е X

Решения сформулированных задач в напряжениях могут стремиться в бесконечность при подходе к некоторым граничным точкам X, как например, при стремлении к точке O действия сосредоточенной силы.

Обратимся к таким решениям в напряжениях, которые растут как 1/r2 в окрестности точки O, а после домножения на r2 полиномиально зависят от направляющих косинусов xi/r в каждой точке области V. Для кратности будем называть такие решения полиномиальными. Соответствующие им поля перемещений имеют особенность O(1/r) в окрестности точки O.

Известны решения и более высоких порядков, образованные, например, матрицей источников и получающиеся частным дифференцированием по координатам решений первого рода. В МДТТ им придается определенный, хотя зачастую и весьма условный (как для любого решения задачи механики, стремящегося в бесконечность) физический смысл.

Итак, рассмотрим следующие симметричные тензорные поля напряжений с особенностью порядка 1/г2 в начале координат (г = ^¡Х,):

(!) V а {Ь} ? I 1 +2 оч

= X К...^---ХкЬ1}1г (1.3)

Ь > 0

(2) V /п{М} п{м} ч Iм + 2 (21) (22) ,, ..

= Х( В1к1. км-1Х1 + Я^.км-1Х) Хк1 - хкм 7г + (1.4)

М > 1

°13) = X СкТ.. кЛ- Хк^,Х}/г" + 4 (1Д>

N > 0

л Ь} { м } { N }

где А , В и С - не зависящие от координат тензоры рангов Ь, м и N, и исследуем возможность того, что в пространстве Я3 без начала координат линейные комбинации этих полей будут решениями системы (1.1), (1.2). Из вида выражений (1.3)-(1.5) следуют симметрии, которые без ограничения общности можно наложить на компоненты

.{Ь} _{м} „{ N} тензоров А , В и С .

1°. Тензоры А{Ь} и С{N} симметричны по любым перестановкам своих Ь и м индексов. Это означает, что у них независимы (Ь + 1)(Ь + 2)/2 и ^ + 1)(N + 2)/2 компонент соответственно. Тензор В{ м} симметричен по любым перестановкам последних м - 1 индексов и имеет 3м(м + 1)/2 независимых компонент.

2°. В силу суммирования по Ь, м и N в рядах (1.3)-(1.5) достаточно потребовать, что-

^ Ь} N} _ _ „ _{м}

бы тензоры А и С были девиаторами по любой паре своих индексов, а В - де-

виатором по любой паре из своих последних м - 1 индексов. Это накладывает Ь(Ь - 1)/2 и NN - 1)/2 дополнительных ограничений на компоненты А{Ь} и С{N} и (м - 1)(м - 2)/2

" 0{м} с т{Ь}

ограничений на компоненты В . Выделение полного девиатора А , например, из

тензора А^Ь} производится как обобщение на ранг Ь разложения тензора второго ранга на девиаторную и шаровую части:

.{Ь} т{Ь} {Ь-2} 5 .. ^

\...кь = Ак1-кЬ + X ^—к.. кь 5к,к; (1.6)

1 < ■ < 1 < Ь

{ Ь-2}

где черта над индексом означает отсутствие этого индекса, а компоненты тензора а

являются линейными комбинациями некоторых сверток компонент тензора А{ Ь}. Так, например, для тензора третьего и четвертого ранга формула (1.6) дает

,{3} т{3} {1} {1}о Шо {1} д{3},г

А1к = А1к + а,■ 51к + а} 5;к + ак 8ц, ак = ^ /5

л {4} т{4} {2}~ {2}^ {2}^ {2} ~ {2}^ {2}^

A¡jk¡ = A¡jki + a¡j 8kl + aik + aa 5Д + ajk 5l7 + aj 8¡k + akl bi}

{2} (,{4} 4 {4}^1П\П

aki = (A¡¡ki - A¡j Oki/10)/7

Свойства 1° и 2° означают, что у A{ L} и С{ N} имеются всего

(L +1)(L + 2) /2 - (L-1) L/2 = 2L + 1, (N +1 )(N + 2)/2-(N-1 )N/2 = 2N + 1

независимые компоненты соответственно.

Отметим, что тензорные поля (1.3)—(1.5) являются частными случаями более общего представления

_{K + 2} . K +2

°¡j- = X D¡jk1 ...kKXk1---XkJг (1.7)

K > 0

при

И{К + 2} = 5 А{К}

И {К + 2} = 5. в {К} + 5 в {К}

г7к1---кК ]кК *к1---кК-1 IкК ^к1 ■■■кК-1

И {К + 4} = Д с {К}

Чк1--кК + 2 *1кК +1 кК +2 к1--кК

где Д::к к - компоненты единичного тензора четвертого ранга.

К+1 К+2

2. Статистически допустимое решение задачи Кельвина. Элементарное решение первого рода, или решение Кельвина

Ст;;- = (1 - 2\)Ък(5уХк - 51кх]- 5дХ)!гЪ - 3ЪкхХХк1г5 (2.!)

где компоненты Ък зависят от направления действия и величины сосредоточенной в начале координат силы, является суммой полей (1.3)-(1.5), если удержать члены рядов с Ь = 1, М = 1, N = 1 и положить Ак = -Вк = (1 - 2у)Ък, Ск = -3Ък. Для несжимаемого материала формула (2.1) дает

Ст;;- = -ЪЪкх\хХк1 о = -ЪЛ/г3 (2.2)

На площадке с единичной нормалью п вектор напряжений Р, создаваемый полем (2.2), равен = -3Ъкн/х;х;хк/г5. Если плоскость, содержащая площадку, проходит через начало координат, то н^х^ = 0 и вектор напряжений на этой плоскости равен нулю (плоскость свободна от напряжений).

Следствием этого является следующее утверждение. Поле напряжений (2.2) есть решение задачи о действии сосредоточенной силы в вершине любого несжимаемого конического тела V с вершиной в начале координат и со свободной границей. Действительно, любая коническая область V обладает тем свойством, что в любой точке М ее границы X касательная плоскость у проходит через вершину конуса (фиг. 1), а следовательно, в силу предыдущих рассуждений свободна от напряжений (2.2). Это подтверждают классические решения задач Буссинеска, Черутти, Мичелла и о действии сосредоточенной силы в вершине октанта [1-3], выписанные для случая несжимаемости1.

1 Для октанта и других пирамидальных областей требуется формулировка дополнительных граничных условий в окрестностях ребер [4, 5].

тов при Хк , ... Хк /г", п > 3 и приравнивания их нулю получим связи тензоров А и В

(3) (21)

Нетрудно проверить, что ряды о у (1.5) и о у (1.4) обращают уравнения равновесия в тождества. После подстановки Оу = о' + о у22*1 в (1.1), вычисления коэффициен-

Х к , . Х к п к1 к

различных рангов:

(п - 2)А{"-2} + В{"-2} _

^ ' |к1 . . . кп - з |к1 . . . к" - з

1 " 3 1 п3 (2.3)

- [(п-2)(Ак{п:к4}-4+Вкп.-к?-4) - (п-3 ]§!кп-3 =0

В (2.3) и далее компоненты тензора А отрицательного ранга и тензора В ранга меньше единицы следует считать равными нулю.

Положим в (2.3) кп - 3 = ■ и просуммируем по Пользуясь свойством 2° п. 1, выразим

{п-4} {п-4} {п-2}

А через В и В :

,{п-4} 3 п-8 „{п-2} {п-4} ,

Ак к = -В ¡¡к к - Вк к , п > 3 (2.4)

к1-• • кп-4 3 (п - 2) 11к1'''кп-4 к1' '' кп-4

причем при п = 3 равенство (2.4) превращается в тождество. Подставим (2.4) в (2.3):

(п -2) А-= -В{п -к} +1/3В {к 2к 5кк (2.5)

к1.. .Кп 2 к1--■кп-2 уук2■■ ■кп-3 к1кп-2

С другой стороны, заменяя в (2.4) п - 4 на п - 2, получим

,{п-2} {п-2} 3 п-2 {п}

Ак к = -Вк к +----В ¡¡к к (2.6)

к1-■ ■ кп-2 к1-■ ■ кп-2 3 п 11к1-■ ■ кп-2

Из сравнения выражений (2.5) и (2.6) следует рекуррентная связь тензоров В различных рангов:

(п-3) Вк!Г: г., + 1 В {кД-3 5к,к, Д 3п - 23)„(" - 2 ' В'} . .= 0 (2.7)

Полагая, наконец, в (2.7) кп- 2 = к и суммируя по кх, придем к соотношению (п -2)В^X 3 = 0 (2.8)

говорящему о том, что все свертки В ' к при п > 4 равны нулю. Следовательно, в силу (2.7) равны нулю все тензоры В{п ^ к} ^ при п > 4. При п = 3 равенство (2.7) обращается в тождество и о тензоре первого ранга В{ 1} ничего заведомо сказать нельзя.

с{3} С{3} °у, кк 3 с{Ц

N = 0 г-4 г-4, г-6 г-4, г-6

N = 1 г-5 г-5, г-7 г-5, г-7

N > 2 г-(N + 4) + 4), + 6) + 2), + 4), + 6)

Итак, уравнения равновесия (1.1) требуют, чтобы из всех тензорных коэффициентов B{ M} в (1.4) отличным от нуля был лишь коэффициент B{1}. Тогда в силу (2.5) (либо (2.6)) из всех тензорных коэффициентов А{в (1.3) отличен от нуля лишь А{1}, причем A{k1} = -B{k1}.

Подставим получившуюся линейную комбинацию

Сц = (Al1}Xk5ц - А{1}xj - A{1}х;)/Г3 + сЦ (2.9)

по существу являющуюся статически допустимым (согласно вариационному принципу Кастильяно) решением, в уравнения совместности (1.2):

Н;(с(3)) = 3

ц ~ ' 1+ V

1 (4Ш о ,{1} Л1} ) 55 . {1}

5(Ак Хк"ц + Ai ХЦ + АЦ xi) - 7Ак Х^ЦХк ГГ

(2.10)

Левая часть (2.10) представляет собой ряд по отрицательным степеням г м, N > 4 (полиномиальную форму порядка -4). В таблице отражено, какие степени г^ входят в каждое из слагаемых левой части (2.10). Нетрудно проверить (частично это показано ниже), что для уравнивания в (2.10) всех коэффициентов при г ^ N > 4 необходимо

взять нулевыми все тензоры , N = 0, 2, 3, 4, ..., и, кроме того, С{1} = -3А{1}/(1 - 2у). В результате приходим к решению (2.1), где Ак = -Вк = (1 - 2v)bk, Ск = -3Ьк.

Таким образом, среди всех линейных комбинаций (1.3)-(1.5) единственным решением системы уравнений теории упругости (1.1), (1.2) во всем пространстве без начала координат будет решение Кельвина (2.1). Этот факт, впрочем, сразу следует из теоремы единстве

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком