ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 4, с. 330-338
ПРИСТЕНОЧНАЯ
ПЛАЗМА
УДК 533.9
СТРУКТУРА СТАЦИОНАРНЫХ ДЕБАЕВСКИХ СЛОЕВ В РАЗРЕЖЕННОЙ ПЛАЗМЕ ВБЛИЗИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
© 2004 г. А. И. Морозов, В. В. Савельев*
РНЦ "Курчатовский институт" *Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН Поступила в редакцию 01.08.2003 г.
Окончательный вариант получен 20.10.2003 г.
Аналитически построены точные стационарные решения для одномерной нестационарной кинетической модели процессов в слое разреженной плазмы вблизи диэлектрической поверхности с учетом вторичной электронной эмиссии. Показано, что при низких температурах реализуется решение с монотонно убывающими к диэлектрической поверхности потенциалом и электронной плотностью (дебаевский скачок потенциала). При повышении температуры электронов появляются сначала режимы с монотонно нарастающим к диэлектрической поверхности потенциалом (антидебаев-ский скачок), а затем решения с немонотонным потенциалом.
1. ВВЕДЕНИЕ
Структура дебаевских слоев (ДС), которые всегда появляются около диэлектрических поверхностей, соприкасающихся с плазмой, была к настоящему времени предметом исследований довольно большого числа работ как общего, так и специального характера [1-3]. В этих работах, как правило, рассматривается случай достаточно низких температур, когда роль процессов вторичной электронной эмиссии (ВЭЭ) невелика и можно ограничиться анализом соотношения баланса потоков заряженных частиц на стенку
(I- о)]епехрI -
еи1 ~кТе
] и
(1)
Для этого требуется знание функции распределения вторичных электронов. При известных распределениях падающих частиц теория ДС должна строиться на основе системы уравнений Власова для функции распределения электронов (ФРЭ) /(г, г, у) в самосогласованном электрическом Е и заданном магнитном Н полях
Л + V / - е
дг дг т
^ + V1 Е + - [V, Н] |= 0,
д/ -д V
Дф = -4пе(пи -1/^)
(2)
В (1) ]еп и ]ип - плотности потоков электронов и ионов вдали от дебаевского слоя, о - коэффициент вторичной электронной эмиссии, ив > 0 - дебаевский скачок потенциала. В ряде случаев именно свойства ДС во многом определяют поведение плазмы в целом, при этом возникает ситуация существенно более сложная, чем описываемая (1). В частности, это справедливо для понимания особенностей процессов в стационарном плазменном двигателе (СПД) [1, 4, 5], где электронная компонента плазмы содержит много частиц с достаточно высокой энергией е, при которой коэффициент вторичной электронной эмиссии о(е) > 1.
Построение адекватных теоретических моделей ДС, справедливых для большого диапазона температур, является актуальной задачей для ряда плазменных устройств, прежде всего для определения масштабов электронной пристеночной проводимости и тепловых потоков на стенки [4-8].
при соответствующих граничных условиях. В ряде практически важных случаев может быть отброшено действие магнитного поля на электроны, т.к. дебаевский радиус обычно на порядок меньше электронного ларморовского радиуса.
В [9] была предложена одномерная кинетическая модель, которая ставила своей целью получить первые общие представления о свойствах ДС с учетом процессов ВЭЭ для широкого диапазона температур без предположения о стационарности. В этой модели делается целый ряд упрощающих предположений. Главными из них (кроме пренебрежения действием магнитного поля) являются: допущение о постоянной скорости и плотности падающих ионов, распределение по Максвеллу идущих из "бесконечности" к стенке электронов. Исследования в рамках этой модели показало, что при низких температурах независимо от начальных условий на стенке формируется стационарный дебаевский скачок потенциала с шириной порядка дебаевского радиуса, стенка заряжается отрицательно, плотность электронов у
стенки минимальна. При превышении температуры электронов некоторого критического значения картина качественно меняется: обнаружено появление "антидебаевского" слоя, в котором потенциал стенки больше потенциала плазмы; при этом стенка заряжается положительно, а плотность электронов у стенки максимальна. Этот режим течения оказался нестационарным. Дальнейший анализ показал, что причиной нестационарности является граничное условие для электронов в плазме - независимо от процессов в слое фиксировалась плотность падающих электронов и, тем самым, условие нейтральности плазмы на большом расстоянии от стенки могло нарушаться. Само по себе использованное в [9] краевое условие не только математически, но и физически вполне осмысленно, но соответствует несколько другой физической ситуации. Естественно возникает вопрос о существовании и свойствах стационарных решений типа антидебаевского слоя и об адекватной постановке задачи. Этим вопросам посвящена настоящая работа.
2. УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ
В [9] была предложена одна из возможных одномерных нестационарных постановок задач о структуре ДС вблизи диэлектрической стенки с учетом процессов вторичной электронной эмиссии. Опишем вкратце эту модель, причем рассмотрение будет проведено в отномерном приближении. Пусть х - координата поперек слоя (х = 0 соответствует удаленной от стенки точке в плазме, х = Ь - положению стенки), V - компонента электронной скорости вдоль х. Тогда имеем кинетическое уравнение для функции распределения электронов (ФРЭ) ¡(г, х, V)
д f т/дf е с дf n -Г + V-л - -Е -ГТ- = 0, дt дх m dV
(3)
где Е - электрическое поле вдоль оси х, потенциал которого ф(х) удовлетворяет уравнению Пуассона
^ = -4пe(н, - Пе). dx
(4)
Нормировку потенциала зададим условием ф(0) = 0.
Концентрация н, и скорость ионов Vi в пределах ДС считались в [9] постоянными - н, = Hi0 = = const, V \ = Vi0 = const. При этом отклонение скорости (и концентрации) от постоянной величины легко учесть для случая падающего к стенке по-
тенциала, если использовать гидродинамическое приближение
дщ , э( п,у) _ 0 э(пУ> + дМЙ - еПЕ (5)
Эг + Эх _ и' Эг + Эх " МЕ' (5)
Для ФРЭ в плазме ставим простейшее условие. При х = 0 и для V > 0 электроны имеют максвел-ловское распределение
f (t, 0, V) = He0(^)%
mV 2T~
e0
= f 0
mV'
(6)
а пе0, Те0 - известные параметры (плотность и температура падающих электронов).
Чтобы написать уравнение для плотности поверхностного заряда на диэлектрической стенке р и поставить граничное условие для / при х = Ь нужно задаться некоторой моделью процессов вторичной электронной эмиссии на стенке. Это делается следующим образом. Считаем, что при столкновении электрона с энергией ер со стенкой может происходить одно из трех возможных событий: 1) электрон исчезает, и стенка заряжается отрицательно; 2) электрон выбивает из стенки один вторичный электрон с энергией е; 3) электрон выбивает из стенки два вторичных электрона с энергиями е1 и е2 соответственно. Пусть Р0(ер) -вероятность первого события, Р1(е, ер) - вероятность второго события и, наконец , Р2(е1, е2, ер) -вероятность третьего события. Введем также следующие величины: ^0(ер) = Р0(ер), W1(еp) =
= |Р1 (е, ер)^е - вероятность рождения одного
вторичного электрона, W2(еp) = | Р2 (е1, е2,
ер^е^е2 - вероятность рождения двух вторичных электронов. Тогда, по определению, имеем выражение для коэффициента вторичной электронной эмиссии а(ер) - среднего числа вторичных электронов, выбитых электроном с энергией ер:
а(ер) _ W1 (ер) + 2 ^(ер), а также условие нормировки
W0(ер) + W1 (ер) + W2(ер) _ 1. (7)
Для дальнейшего введем Р21(е, ер) = Р22(е, ер) = = | Р2 (е1, е2, ер)^е1 - вероятность того, что рождается ровно два электрона и один из них имеет энергию е.
Теперь можно написать уравнение для плотности поверхностного заряда р
dp
dt
= е(nVi)|х = l- еJVf (t, L, V)[ 1- ст(е)]dV. (8)
При этом предполагается, что каждый ион, падающий на стенку, нейтрализуется электроном, находящимся на стенке.
Осталось написать краевое условие для ФРЭ при х = Ь. Для этого сначала подсчитаем число вторичных электронов (через ^ ±(е) ниже обозначены функции распределения по энергии первичных (падающих) и вторичных (отраженных) электронов соответственно)
№~(е) йе =
= |УрЕ+ (ер)йер[Л(е, ер) + 2Р1Х(е, ер)]йе
0
или окончательно в терминах распределения по скоростям
/(г, Ь, У) =
= т|[Рх(е,ер) + 2Р21(е,ер)]Ур/(г, Ь, Ур)йУр, (9)
0
У < 0.
Конкретный выбор функций, характеризующих процесс вторичной электронной эмиссии, проводился следующим образом1. Возьмем
Ще) = Р0ехр
Г 2 Л
е_
2
V а0)
, Ж2(е) = 1 - ехр
2
е_
2
V а2У
, (10)
Р1(е,е „) =
4 Р10Гр 1, е - еp,
0, е > ев,
(11)
Р2(е1, е2, ер) =
„„ е1 + е2 г е1 + е2 ■ 4 Р20-1р—2 [1-^—■ , е1 + е2 -е р
(12)
Тогда легко получить, что Рш(ер) = -— ^(ер),
2ер
3
Р20(ер) = — ^2(ер). Имеем также
^ 2(е р)
2
0, е>е р
Р21 (е,е р) =
-3
+ 1
, е-ер, (13)
Уравнения (3)-(5), (8) составляют основные уравнения нестационарной модели. Чтобы замкнуть задачу, нужно еще поставить то или иное граничное условие на ф при х = Ь.
3. СТАЦИОНАРНАЯ ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ
Нашей основной задачей далее будет получение и исследование стационарных решений представленной выше модели процессов в слое. Основными соотношениями тогда будут следующие уравнения:
уЩ-П -ее- Е (х) ЩУ = 0, (14)
дх т
д У
тогда ^(е) определяется из условия нормировки (7). При этом параметры Р0, а0, а2 должны быть таковы, конечно, чтобы ^(е) > 0. Теперь (также модельным образом) выбираются функции, связанные со спектром вторичных электронов, согласованные с (10). Предполагается при этом, что суммарная энергия вторичных электронов не может быть больше энергии падающего электрона. Пусть
й й 2 еп■
-й- (п1У1) = 0, -й- (пУ2) = —Е, (15)
йх йх М
й-рф йх2
= -4 п е (п - пе),
(16)
(пУи)|х = Ь = |У/(Ь, У)[W0(е) - (е)]йУ,
(17)
е=
тУ2
2
пе(х) = |/ (х, У)йУ, Е(х) = - йй-
и граничные ус-
0, е1 + е2 > е р, где Р10, Р20 - функции ер.
1 Насколько нам известно, экспериментально эти функции
не определялись.
где е ловия
х = 0: ф = 0, пи = пю, Уи = Ую,
/(0, У) = /с!^), У> 0, х = Ь: ф = ф Ь, /(Ь, У) = |О(У, Ур)/(Ь, Ур)йУр, У < 0.
(18)
(19)
р
р
0
р
0
W0, W1, W2, о
2.0 г
1.5
1.0
0.5
0 2 4 6 e/Te0
Рис. 1. Функции вторичной электронной эмиссии: 1 -W,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.