МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 533.6.011.8:533.6.011.55
© 2008 г. В. А. РЫКОВ, В. А. ТИТАРЕВ, Е. М. ШАХОВ
СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ДВУХАТОМНОМ ГАЗЕ НА ОСНОВЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Структура прямого скачка уплотнения в газе с учетом вращательных степеней свободы молекул исследована на основе модельного кинетического уравнения для параметров газа, соответствующих азоту. Для различных чисел Маха проводится сравнение как с известными результатами экспериментов, так и с решением приближения Навье-Стокса в рамках двухтемпера-турной гидродинамики. Изучена возможность предположения о постоянстве доли возбуждаемых вращательных степеней свободы.
Ключевые слова: азот, разреженный газ, сверхзвуковое обтекание, скачок уплотнения, кинетическое уравнение, Л-модель, ¿'-модель.
Для течений газа с большими сверхзвуковыми скоростями необходимо учитывать возбуждение внутренних степеней свободы молекул. Первая ступень на этом пути -учет вращательных степеней свободы. Наиболее распространенный до сих пор способ учета основан на допущении, что доля столкновений, приводящих к возбуждению вращательных степеней свободы, составляет некоторую заданную постоянную величину для рассматриваемого течения или является функцией локальной температуры потока. Такой подход огрубляет результаты расчетов и нуждается в уточнении. В данной работе исследуются возможности уточнения подхода на примере задачи о структуре ударной волны.
В [1, 2] структура ударной волны в азоте изучалась методом статистического моделирования Монте-Карло с привлечением детальных траекторных расчетов взаимодействия двухатомных молекул. Получен ряд интересных результатов. К сожалению, отсутствует сравнение с имеющимися экспериментами по профилю вращательной температуры. В [3] структура ударной волны изучалась на основе модельного кинетического уравнения [4], учитывающего обмен энергией между поступательными и вращательными степенями свободы молекул (ТК-обмены). Цель настоящего исследования - продемонстрировать еще раз эффективность применения кинетической модели [4] (ниже называется Л-моделью) путем прямого сравнения с экспериментальными данными [5] и обратить внимание на некоторые неизученные аспекты проблемы.
Одно из положительных свойств подхода, основанного на кинетических моделях (по сравнению с методами Монте-Карло), состоит в возможности построения двух-температурной гидродинамики. Для газов с вращательными степенями свободы уравнения двухтемпературной гидродинамики на основе Л-модели получены в [6]. В предлагаемой работе структура ударной волны по уравнениям [6] сравнивается с решением по кинетическому уравнению [4].
1. Постановка задачи для двухатомного газа. Имея в виду решение стационарной задачи методом установления по времени, всюду ниже выписываются уравнения для соответствующих нестационарных процессов.
Рассмотрим одномерное течение двухатомного газа в стационарной ударной волне. Газ движется слева направо вдоль оси х от до +«>. Невозмущенный поток характеризуется плотностью л-м, скоростью и-х и температурой одинаковой как для поступа-
тельных, так и для вращательных степеней свободы: Т = Т, = Тг = Т-м. Однородный поток газа за ударной волной имеет равновесные параметры п+м, П+^, Т = Т, = Тг = Т+м, которые рассчитываются по условиям Рэнкина-Гюгонио для двухатомного газа при отношении удельных теплоемкостей у = ср/си = 7/5. Предполагается, что температура газа не слишком высока, так что колебательные степени свободы еще не возбуждены, и не слишком низка, поэтому вращательные степени свободы можно рассматривать классически.
В основу исследования положено описание состояния двухатомного газа при помощи функции распределения/(г, х, X, е), зависящей от времени г, пространственной координаты х, скорости молекулы X = (Х1, Х2, Х3) = (Хх, Ху, У и энергии вращательного движения e. Макропараметры газа определяются соотношениями
п = \fdedX, и; = П\XifdedX, | кТ, = 11 тг fdedX
р = пкТ, = 1 (Рп + Р22 + Р33), ег = кТг = 11 efdedX
2
Рц = | mv¡vjfdedX, £ = ¡^¡т2и- fded%, £ = jv¡efdedX
Ъ = Ъ + Ъ > dХ = dХldХ2d^3> и = Ъ - u¡> V = иаиа
Здесь т - масса молекулы, п - плотность частиц, щ - компоненты макроскопической скорости газа, v¡ - компоненты собственной скорости частиц, Т, - поступательная температура, или средняя энергия поступательных степеней свободы, Рц - компоненты тензора напряжений, р, - давление, обусловленное поступательными степенями
свободы, er - средняя энергия вращательных степенией свободы, ^ - компоненты потока тепла, связанного с поступательными степенями свободы, дг - компоненты потока тепла, обусловленные переносом вращательной энергии частиц; полный поток тепла равен сумме потоков: ^ = ^ + ; к - постоянная Больцмана. Предполагается
суммирование по повторяющимся греческим индексам.
Полная средняя энергия частицы Е и температура Т определяются выражением
Е = 3 кТ, + er = П тт22 + e) fdedX = 5- кТ
В равновесии, когда наступает равное распределение энергии по всем степеням свободы, имеем
Т = Т = Т
1 г 1 г 1
Выражение для полной средней энергии частицы определяет температуру двухатомного газа Т и в неравновесном случае.
Удельные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении определяются выражениями
dE 5, , _ 7, _ ср 7
Си = 2к' ср = Си +к = 2к' 1 = СГ~ 5
Локально-равновесная функция распределения имеет вид /(0) = fM( T) exp , /M = /м ( T)
fu(T) = fM = n (^)3/2exp
Для функции распределения / в [4] было предложено кинетическое уравнение, которое применительно к одномерной задаче представляется как
| + ^ = -/) + V - /), V = V, + V, (1.1)
Как обычно в кинетических моделях релаксационного типа, частоты столкновений V,, V , предполагаются зависящими только от макропараметров газа. Полная частота столкновений определяется аналогично тому, как это делается для одноатомного газа
V = Ц-, ц, = ц( Т,) Н*
Здесь ц, - вязкость газа, определяемая по поступательной температуре газа. Частоты столкновений V,, V, задаются в долях полной частоты столкновений V в виде
Р, 1 Рг(л П „ V
^ = ц* = ц(1- ^, 2 = V,
Величина 7Г1 показывает долю вращательных столкновений от общего их числа. Эта величина - важнейшая характеристика вращательной релаксации. В простейших случаях она принимается постоянной, иногда - функцией полной локальной температуры. На самом деле 2 - функция как вращательной, так и поступательной температур. Зависимости 2(ТГ, Т,) определены как теоретически, так и экспериментально для азота и кислорода в [7].
Функции/',/г, характеризующие распределения по скоростям и энергиям вращения частиц, испытавших упругие и неупругие столкновения соответственно, записываются в виде разложений относительно локально-равновесного распределения /(0) по первым ортогональным полиномам относительно переменных и, е с удержанием только
, , Т!
тех слагаемых, которые отвечают моментам qi, qi. Из-за громоздкости эти выражения не выписываются.
Структура кинетического уравнения и основных макропараметров таковы, что они допускают понижение размерности определяющей функции распределения. В большинстве интересных случаев начальные и граничные условия также обладают этим свойством, так что возможно понижение размерности задачи в целом путем осреднения функции распределения по е. Следуя [4], введем редуцированные функции распределения путем соответствующего интегрирования по е
/о (,, х, X) = | fde, f 1 (,, х, X) = |efde о о
Умножая уравнение (1.1) последовательно на 1, е и интегрируя по переменной е, получаем замкнутую систему уравнений для /0, /
д/о К. д/О , ,-г , ч . л , ч
+ \ х ах = Vг(/о- /о ) + /о- /о )
(1.2)
-/■+ \ х / = /1- /1 ) + Vt( /1- /1)
А0 = fм (Т)
,2
1 2_ ЧаЧа.( V
1 + 1^Ю рЯТ\2ЯТ 2
Ао = Ам (Тг)
1 +
,2
2 Яаиа( и
15 р,ЯТ, V 2 ЯТ, 2
= тЯТАм (Т) Аг1 = тЯТАм (Т,) Ам = -П—312 ехР I -
г 2 г
1+2 ю Яаиа( V + ю( 1 5)Яаиа
1 + -®0-П-ГЛ + ю1( 1- 5)-
15 0 рЯТ{2ЯТ 2
рЯТ
г 2 г
1 ^^ _Ц_-5) (1- 5) д аи а 15 р, ЯТ- {2 Я Т , 2) ( ) р,ЯТг
(2п ЯТ)
{-щ),и=^ -и,5=тПп
Здесь Б - коэффициент самодиффузии. Параметр 5 - константа для степенных потенциалов взаимодействия между молекулами.
При 2 ^ ж первое уравнение системы (1.2) переходит в кинетическую 5 - модель для одноатомного газа [8].
Макропараметры газа выражаются через функцииА0,А по формулам
п = \fodX, пи = \ХхАоАХ 3 тпЯТ, +1 тпи = | X
тпЯТг = яХ = ¡ь^ А о ¿X, с[х = \vxf1 Ох (1.3)
53
2 тЯТ = 2 тЯТ, + тЯТг
р, = тпЯТ,, рг = тпЯТг, р = тпЯТ
Чтобы сделать полностью определенной систему (1.2), (1.3), необходимо задать конкретные выражения для ц, 2, 5, ю0, ю^ Вязкость ц и величина 2 выбираются в виде [9]
ц( Т,) = ц( Т*) (,), , = Т, /Т * ,) = 0.767 + 0.233 Г116ехр [-1.17 (, -1)]
2 (Т , Тг) = -- п
= 3 п ШИ-Т
4 ^6,+ 8 { Т,
0.461 + 0.55811 Т) + 0.035в{ Щ2
Выражение для 2 аппроксимирует результаты [7]. Параметры ю0, выбираются из условия совпадений значений коэффициента теплопроводности, полученного из модельного уравнения, и экспериментальных данных и зависят от вида газа, для которого производится расчет. Для азота [10]
Т* = 91.5 К, юо = о.5, ю1 = о.286, 1/5 = 1.55
В качестве граничных условий на плюс и минус бесконечностях задавалась равновесная функция распределения с макроскопическими параметрами п±м, Ц±м, Т±м. Для /о, /1 имеем
Í0 =
(2 п RT±„)
3/2
exp
( ( X - 豄)2Л
2 R T± „
, f! = mRT±^ fo
2. Упрощение задачи и уравнения сплошной среды. Перейдем к безразмерным величинам, выбрав в качестве масштабов пространственной координаты, времени, плотности, скорости, температуры и вязкости их значения в набегающем потоке
Х_
J2ÑT
_5 16"
~> T_„,^ mn 2п RT ,,Д „
в качестве масштабов потоков (поступательной и вращательной) энергии и функции распределения /0, /1 соответственно
шп_(2ЯТ_)3/2, п_(2ЯТ_)-3/2, шп_ЯТ_(2ЯТ_)-3/2
Здесь - длина свободного пробега в набегающем потоке. В дальнейшем безразмерные величины обозначаются теми же буквами, что и соответствующие им размерные.
Для одномерных течений размерность задачи можно понизить, проинтегрировав по Ху, Хг и перейдя от/0,/1 к тройке функций g = (^1, g2, g3)T по формулам [11]
g = j(fo, (4;+42)fo, fi)
Модельн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.