научная статья по теме СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ДВУХАТОМНОМ ГАЗЕ НА ОСНОВЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Физика

Текст научной статьи на тему «СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ДВУХАТОМНОМ ГАЗЕ НА ОСНОВЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008

УДК 533.6.011.8:533.6.011.55

© 2008 г. В. А. РЫКОВ, В. А. ТИТАРЕВ, Е. М. ШАХОВ

СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ДВУХАТОМНОМ ГАЗЕ НА ОСНОВЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Структура прямого скачка уплотнения в газе с учетом вращательных степеней свободы молекул исследована на основе модельного кинетического уравнения для параметров газа, соответствующих азоту. Для различных чисел Маха проводится сравнение как с известными результатами экспериментов, так и с решением приближения Навье-Стокса в рамках двухтемпера-турной гидродинамики. Изучена возможность предположения о постоянстве доли возбуждаемых вращательных степеней свободы.

Ключевые слова: азот, разреженный газ, сверхзвуковое обтекание, скачок уплотнения, кинетическое уравнение, Л-модель, ¿'-модель.

Для течений газа с большими сверхзвуковыми скоростями необходимо учитывать возбуждение внутренних степеней свободы молекул. Первая ступень на этом пути -учет вращательных степеней свободы. Наиболее распространенный до сих пор способ учета основан на допущении, что доля столкновений, приводящих к возбуждению вращательных степеней свободы, составляет некоторую заданную постоянную величину для рассматриваемого течения или является функцией локальной температуры потока. Такой подход огрубляет результаты расчетов и нуждается в уточнении. В данной работе исследуются возможности уточнения подхода на примере задачи о структуре ударной волны.

В [1, 2] структура ударной волны в азоте изучалась методом статистического моделирования Монте-Карло с привлечением детальных траекторных расчетов взаимодействия двухатомных молекул. Получен ряд интересных результатов. К сожалению, отсутствует сравнение с имеющимися экспериментами по профилю вращательной температуры. В [3] структура ударной волны изучалась на основе модельного кинетического уравнения [4], учитывающего обмен энергией между поступательными и вращательными степенями свободы молекул (ТК-обмены). Цель настоящего исследования - продемонстрировать еще раз эффективность применения кинетической модели [4] (ниже называется Л-моделью) путем прямого сравнения с экспериментальными данными [5] и обратить внимание на некоторые неизученные аспекты проблемы.

Одно из положительных свойств подхода, основанного на кинетических моделях (по сравнению с методами Монте-Карло), состоит в возможности построения двух-температурной гидродинамики. Для газов с вращательными степенями свободы уравнения двухтемпературной гидродинамики на основе Л-модели получены в [6]. В предлагаемой работе структура ударной волны по уравнениям [6] сравнивается с решением по кинетическому уравнению [4].

1. Постановка задачи для двухатомного газа. Имея в виду решение стационарной задачи методом установления по времени, всюду ниже выписываются уравнения для соответствующих нестационарных процессов.

Рассмотрим одномерное течение двухатомного газа в стационарной ударной волне. Газ движется слева направо вдоль оси х от до +«>. Невозмущенный поток характеризуется плотностью л-м, скоростью и-х и температурой одинаковой как для поступа-

тельных, так и для вращательных степеней свободы: Т = Т, = Тг = Т-м. Однородный поток газа за ударной волной имеет равновесные параметры п+м, П+^, Т = Т, = Тг = Т+м, которые рассчитываются по условиям Рэнкина-Гюгонио для двухатомного газа при отношении удельных теплоемкостей у = ср/си = 7/5. Предполагается, что температура газа не слишком высока, так что колебательные степени свободы еще не возбуждены, и не слишком низка, поэтому вращательные степени свободы можно рассматривать классически.

В основу исследования положено описание состояния двухатомного газа при помощи функции распределения/(г, х, X, е), зависящей от времени г, пространственной координаты х, скорости молекулы X = (Х1, Х2, Х3) = (Хх, Ху, У и энергии вращательного движения e. Макропараметры газа определяются соотношениями

п = \fdedX, и; = П\XifdedX, | кТ, = 11 тг fdedX

р = пкТ, = 1 (Рп + Р22 + Р33), ег = кТг = 11 efdedX

2

Рц = | mv¡vjfdedX, £ = ¡^¡т2и- fded%, £ = jv¡efdedX

Ъ = Ъ + Ъ > dХ = dХldХ2d^3> и = Ъ - u¡> V = иаиа

Здесь т - масса молекулы, п - плотность частиц, щ - компоненты макроскопической скорости газа, v¡ - компоненты собственной скорости частиц, Т, - поступательная температура, или средняя энергия поступательных степеней свободы, Рц - компоненты тензора напряжений, р, - давление, обусловленное поступательными степенями

свободы, er - средняя энергия вращательных степенией свободы, ^ - компоненты потока тепла, связанного с поступательными степенями свободы, дг - компоненты потока тепла, обусловленные переносом вращательной энергии частиц; полный поток тепла равен сумме потоков: ^ = ^ + ; к - постоянная Больцмана. Предполагается

суммирование по повторяющимся греческим индексам.

Полная средняя энергия частицы Е и температура Т определяются выражением

Е = 3 кТ, + er = П тт22 + e) fdedX = 5- кТ

В равновесии, когда наступает равное распределение энергии по всем степеням свободы, имеем

Т = Т = Т

1 г 1 г 1

Выражение для полной средней энергии частицы определяет температуру двухатомного газа Т и в неравновесном случае.

Удельные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении определяются выражениями

dE 5, , _ 7, _ ср 7

Си = 2к' ср = Си +к = 2к' 1 = СГ~ 5

Локально-равновесная функция распределения имеет вид /(0) = fM( T) exp , /M = /м ( T)

fu(T) = fM = n (^)3/2exp

Для функции распределения / в [4] было предложено кинетическое уравнение, которое применительно к одномерной задаче представляется как

| + ^ = -/) + V - /), V = V, + V, (1.1)

Как обычно в кинетических моделях релаксационного типа, частоты столкновений V,, V , предполагаются зависящими только от макропараметров газа. Полная частота столкновений определяется аналогично тому, как это делается для одноатомного газа

V = Ц-, ц, = ц( Т,) Н*

Здесь ц, - вязкость газа, определяемая по поступательной температуре газа. Частоты столкновений V,, V, задаются в долях полной частоты столкновений V в виде

Р, 1 Рг(л П „ V

^ = ц* = ц(1- ^, 2 = V,

Величина 7Г1 показывает долю вращательных столкновений от общего их числа. Эта величина - важнейшая характеристика вращательной релаксации. В простейших случаях она принимается постоянной, иногда - функцией полной локальной температуры. На самом деле 2 - функция как вращательной, так и поступательной температур. Зависимости 2(ТГ, Т,) определены как теоретически, так и экспериментально для азота и кислорода в [7].

Функции/',/г, характеризующие распределения по скоростям и энергиям вращения частиц, испытавших упругие и неупругие столкновения соответственно, записываются в виде разложений относительно локально-равновесного распределения /(0) по первым ортогональным полиномам относительно переменных и, е с удержанием только

, , Т!

тех слагаемых, которые отвечают моментам qi, qi. Из-за громоздкости эти выражения не выписываются.

Структура кинетического уравнения и основных макропараметров таковы, что они допускают понижение размерности определяющей функции распределения. В большинстве интересных случаев начальные и граничные условия также обладают этим свойством, так что возможно понижение размерности задачи в целом путем осреднения функции распределения по е. Следуя [4], введем редуцированные функции распределения путем соответствующего интегрирования по е

/о (,, х, X) = | fde, f 1 (,, х, X) = |efde о о

Умножая уравнение (1.1) последовательно на 1, е и интегрируя по переменной е, получаем замкнутую систему уравнений для /0, /

д/о К. д/О , ,-г , ч . л , ч

+ \ х ах = Vг(/о- /о ) + /о- /о )

(1.2)

-/■+ \ х / = /1- /1 ) + Vt( /1- /1)

А0 = fм (Т)

,2

1 2_ ЧаЧа.( V

1 + 1^Ю рЯТ\2ЯТ 2

Ао = Ам (Тг)

1 +

,2

2 Яаиа( и

15 р,ЯТ, V 2 ЯТ, 2

= тЯТАм (Т) Аг1 = тЯТАм (Т,) Ам = -П—312 ехР I -

г 2 г

1+2 ю Яаиа( V + ю( 1 5)Яаиа

1 + -®0-П-ГЛ + ю1( 1- 5)-

15 0 рЯТ{2ЯТ 2

рЯТ

г 2 г

1 ^^ _Ц_-5) (1- 5) д аи а 15 р, ЯТ- {2 Я Т , 2) ( ) р,ЯТг

(2п ЯТ)

{-щ),и=^ -и,5=тПп

Здесь Б - коэффициент самодиффузии. Параметр 5 - константа для степенных потенциалов взаимодействия между молекулами.

При 2 ^ ж первое уравнение системы (1.2) переходит в кинетическую 5 - модель для одноатомного газа [8].

Макропараметры газа выражаются через функцииА0,А по формулам

п = \fodX, пи = \ХхАоАХ 3 тпЯТ, +1 тпи = | X

тпЯТг = яХ = ¡ь^ А о ¿X, с[х = \vxf1 Ох (1.3)

53

2 тЯТ = 2 тЯТ, + тЯТг

р, = тпЯТ,, рг = тпЯТг, р = тпЯТ

Чтобы сделать полностью определенной систему (1.2), (1.3), необходимо задать конкретные выражения для ц, 2, 5, ю0, ю^ Вязкость ц и величина 2 выбираются в виде [9]

ц( Т,) = ц( Т*) (,), , = Т, /Т * ,) = 0.767 + 0.233 Г116ехр [-1.17 (, -1)]

2 (Т , Тг) = -- п

= 3 п ШИ-Т

4 ^6,+ 8 { Т,

0.461 + 0.55811 Т) + 0.035в{ Щ2

Выражение для 2 аппроксимирует результаты [7]. Параметры ю0, выбираются из условия совпадений значений коэффициента теплопроводности, полученного из модельного уравнения, и экспериментальных данных и зависят от вида газа, для которого производится расчет. Для азота [10]

Т* = 91.5 К, юо = о.5, ю1 = о.286, 1/5 = 1.55

В качестве граничных условий на плюс и минус бесконечностях задавалась равновесная функция распределения с макроскопическими параметрами п±м, Ц±м, Т±м. Для /о, /1 имеем

Í0 =

(2 п RT±„)

3/2

exp

( ( X - 豄)2Л

2 R T± „

, f! = mRT±^ fo

2. Упрощение задачи и уравнения сплошной среды. Перейдем к безразмерным величинам, выбрав в качестве масштабов пространственной координаты, времени, плотности, скорости, температуры и вязкости их значения в набегающем потоке

Х_

J2ÑT

_5 16"

~> T_„,^ mn 2п RT ,,Д „

в качестве масштабов потоков (поступательной и вращательной) энергии и функции распределения /0, /1 соответственно

шп_(2ЯТ_)3/2, п_(2ЯТ_)-3/2, шп_ЯТ_(2ЯТ_)-3/2

Здесь - длина свободного пробега в набегающем потоке. В дальнейшем безразмерные величины обозначаются теми же буквами, что и соответствующие им размерные.

Для одномерных течений размерность задачи можно понизить, проинтегрировав по Ху, Хг и перейдя от/0,/1 к тройке функций g = (^1, g2, g3)T по формулам [11]

g = j(fo, (4;+42)fo, fi)

Модельн

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком