Рассмотренная инфологическая модель СМУ была реализована и опробована при производстве компрессорных турбинных лопаток. Эксплуатация показала эффективность системы и повышение производительности труда метрологов не менее чем в 2 раза.
Л и т е р а т у р а
1. Соломенцев Ю. М. и др. Информационно-вычислительные системы в машиностроении. CALS-технологии. — М.: Наука, 2003.
2. Селиванов М. Н. // Измерительная техника. — 1987. — № 6. — С. 11.
3. ГОСТ Р ИСО 10303. Системы автоматизации производства и их интеграция. Представление данных об изделии и обмен этими данными.
4. OMG Unified Modeling Language Specification. — March 2003, Version 1.5, formal/03-03-01.
5. ГОСТ 8.051—81. ГСИ. Погрешности, допускаемые при измерении линейных размеров до 500 мм.
Дата одобрения 22.03.2006 г.
519.6:681.05
Структурная идентификация линейных динамических моделей электромагнитных систем и их связь с разложением полной
мощности
О. А. КАЗАКОВ
Предложен метод структурной идентификации линейных динамических моделей однофазных электромагнитных систем переменного тока типа «источник — нагрузка». Получены матричные уравнения, связывающие матрицы Грамма базисов Крылова и матрицу мощностей, из которых можно получить разложение полной мощности.
Ключевые слова: структурная идентификация, аппроксимирующие функции входа и выхода, линейные дифференциальные модели, разложение полной мощности, матрица мощностей.
The structure identification method of linear dynamic models of «power source — load» electromagnetic systems of an alternating current is proposed. It is obtained matrix equations, connecting Gram matrices of differential Krylov bases and the matrix of powers. It is shown that the apparent power decomposition can be obtained from these equations.
Key words: structure identification, approximate functions of «input» and «output», linear differential models, apparent power decomposition, matrix of powers.
Электромагнитные системы переменного тока, предназначенные для производства, передачи и преобразования электромагнитной энергии (в том числе и трехфазные), можно рассматривать как системы типа «источник — нагрузка», которые представляют собой замкнутую по некоторым (внутренним) входам u и выходам у систему. Внутренним «силовым» входом нагрузки — выходом источника Щх) — является, как правило, вектор напряжений (обобщенных сил, интенсивных переменных), внутренним «силовым» выходом нагрузки — входом источника у(х) — вектор фазных токов (обобщенный поток, экстенсивная переменная) [1]. Для однофазных систем вход (напряжение) и выход (ток) являются скалярными функциями u(x) = и(х), у(х) = у(х). Скалярное произведение (^ у) обобщенной силы и обобщенного потока обычно интерпретируется как средняя (активная) мощность. Нормальный (непереходный) режим работы таких систем характеризуется 2п-периодическими или почти пе-
риодическими функциями составляющих векторов входа и выхода нагрузки (х = ю0?, ? — время; Т0, <в0 = 2п / Т0 — период и основная угловая частота ЭДС источника). Предполагается, что все внешние входы влияют на внутренние вход и выход опосредованно через параметры, определяющие электромагнитные свойства объектов (коэффициенты моделей), и не изменяются на характерном времени — периоде Т0.
В работе предложен метод структурно-параметрической идентификации линейных динамических моделей однофазных систем «источник — нагрузка», включающий:
аппроксимацию измеряемых дискретных сигналов входа и выхода периодическими конечными рядами Фурье, суммой или произведением такого ряда и линейной функции;
построение класса эквивалентных однородных линейных дифференциальных моделей (ЭОЛДМ), базисом которого служат уравнения линейного преобразования дифференциальных последовательностей (базисов) Крылова, по-
рожденных аппроксимирующими функциями, — вычисление коэффициентов базисных моделей, являющихся элементами матрицы линейного преобразования.
Этот метод тесно связан с разложением полной мощности S на составляющие (в том числе и ортогональные) [2, 3], а повышение эффективности электроэнергетических систем и источников питания с нелинейными и несинусоидальными режимами работы непродуктивно без детального анализа характеристик энергопроцесса. Так, в [2, 3] для оценки показателей качества преобразования энергии вводятся высшие реактивные мощности, построенные на степенях операторов дифференцирования или интегрирования, и таким образом детализируются энергетические характеристики процесса, но не показывается, как эти мощности входят в разложение полной мощности.
Ниже приведено математическое обоснование использования этой идеи для построения разложений полной мощности. С применением ЭВМ в измерительных системах измерение мощностей и коэффициентов мощностей сводится к выбору алгоритма их вычисления с использованием непосредственно измеряемых сигналов.
В качестве аппроксимирующих функций входа и выхода на интервале 2п (7"0) будем использовать конечные тригонометрические ряды Фурье, если измеряемые сигналы периодические, и сумму или произведение таких рядов и линейных функций, если измеряемые сигналы нельзя считать периодическими. Предполагаем, что высокочастотные шумы отфильтрованы (измеряемые сигналы сглажены). Методы построения аппроксимирующих функций не рассматриваем.
Аппроксимирующие функции входа u = u (x) и выхода У = У(х) принадлежат конечномерному линейному функциональному пространству E, размерности dim E = N, со скалярным произведением и нормой
2п
(f (x), ф(х))=-2- J f(x)ф(x)dx, || f (x)|| =
2n
2nJ f 2 (x) dx
1/2
Последовательности производных Dk - 1 и и Dk - 1 у различных порядков, из которых можно построить векторы-функции, соответственно и0 = (и, ... Ddlm и - 1 и)Т и у0 = = (у(х), ..., Ddlm у - 1 у)Т, составляют линейно независимые системы функций и являются базисами соответствующих функциональных подпространств и с Е, У с Е ф = d/dx — оператор дифференцирования) [4]. В дальнейшем векторы-функции и и у будем называть дифференциальными базисами Крылова, порожденными функциями и(х) и у(х).
Для Уи(х), у(х)е Е 3 минимальные многочлены (дифференциальные уравнения)
dim U -1
Ddim U u(x) = - X °nDn u(x),
n = 0
dimY- 1
Ddim Y y(X) = - X dnDn y(X).
n = 0
(1)
Коэффициенты уравнений (1) также являются элементами матриц дифференцирования (матрицами Фробениу-са) в базисах и, у и коэффициентами характеристических полиномов этих матриц.
С помощью характеристических полиномов можно оценить размерность пространства E аппроксимирующих тригонометрических функций, при которой еще не наступает численное вырождение базисов Крылова для различных типов представления данных в ЭВМ: «float» — Nmax = 32, «double» — Nmax = 128, «long double» — Nmax = 1024. Но
max max
удобнее строить базисы Крылова из «ортогональных» производных, последовательно повышая порядок производных Dk - 1 u (Dk - 1 y) и затем ортонормируя полученную систему функций до тех пор, пока производная следующего порядка не будет представлять собой линейную комбинацию уже по-
строенных ортогональных производных Dk0H u (Dко n'y
Если UпУ ф 0, то 3 линейные преобразования uD ^ yD,
Уо ^ u d:
,k -1,
y = Aт u + yD ±;
ud = BTyD + Ud i,
(2)
(3)
где A, B — прямоугольные dim Udim Y и dim YdimU матрицы, rank A = dim Y, rank B = dim U; yD±, uD± — векторы-функции, принадлежащие ортогональным дополнениям U до U и Y и Y до U и Y, соответственно; Вт = (А-1)т, yD± = uD± = 0 при U = Y; Ат = B (BTB)-1, uD± = 0 при U с Y; Вт = А(АтА)-1, yD±= 0 при Y с U.
Векторные уравнения преобразования базисов (2), (3) представляют собой системы линейных дифференциальных уравнений вида
dimU
Dk-1У = X ank Dn-1 u + Dk-1 y±;
n = 1
dimY
D k -1 u = X bnk D n-1 y + D k-1u ±,
n = 1
(4)
(5)
которые могут быть использованы в качестве линейных дифференциальных моделей объектов системы. Уравнения (4) системы (2) или (5) системы (3) порождают класс эквивалентных линейных дифференциальных моделей типа «вход—выход», который является линейным пространством, а сами уравнения служат базисом этого линейного пространства.
Классы неоднородных линейных дифференциальных моделей не интересны, так как эти модели явно зависят от аппроксимирующих функций входа. На практике спектры функций входа и выхода электромагнитных систем «источник — нагрузка» совпадают. Обычно объекты этой системы обладают некоторой аддитивной линейностью.
Поэтому будем рассматривать только классы ЭОЛДМ
dimY dimU
X«n Dn -1 y = X вт Dm-1 u,
n=0
m=1
(6)
являющихся линейными комбинациями (4) или (5) — базисов этих классов (линейных пространств). Классы неоднород-
0
0
ных моделей могут содержать подклассы ЭОЛДМ, если dim Y > dim(Y и U \ Yn U) или dim U > dim(Y и U \ Y n U).
В данном методе построения класса моделей, который фактически является структурной идентификацией моделей системы, используем априорную информацию только о базисе, размерности евклидова пространства E аппроксимирующих функций и их свойствах (например гладкости), а также о линейном операторе, определяющем тип моделей (дифференциальные, разностные и т. п.). Построенные функции, аппроксимирующие измеряемые сигналы входа и выхода, являются достаточной информацией для построения базиса линейного пространства моделей, сужающего их класс до класса ЭОЛДМ.
Параметрическая идентификация в этом случае сводится к поиску подходящей линейной комбинации базисных моделей. Не все коэффициенты an, Pm в (6) независимы. Количество независимых коэффициентов не превышает размерности линейного пространства эквивалентных однородных линейных дифференциальных моделей.
Если класс ЭОЛДМ содержит более одной модели, то для параметрической идентификации — выбора оптимальной модели из множества моделей — надо или иметь дополнительную априорную информацию о структуре модели, или задать некоторый критерий ее качества. Например, можно выбрать явную модель без полюсов — уравнение (4) при k = 1 или неявную модель без нулей — уравнение (5) при k = 1. Если априорная информация о структуре модели отсутствует, то можно выбрать модель с минимальным порядком производных в правой и левой частях (6).
Можн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.