МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2011
УДК 539.3
© 2011 г. Д.Л. БЫКОВ, Е.Д. МАРТЫНОВА
СТРУКТУРНО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНО ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ С НЕСКОЛЬКИМИ ФУНКЦИЯМИ СТАРЕНИЯ И ВЯЗКОСТИ
Рассматриваются обобщенные одномерные модели вязкоупругих материалов Максвелла и Кельвина—Фойгта, в которых свойства упругих и вязких элементов задаются соответственно секущими модулями и коэффициентами вязкости, являющимися функциями параметров, определяемых процессом деформирования. В отличие от нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ), использующей для описания свойств всех упругих элементов одну и ту же функцию старения, а для описания свойств всех вязких элементов одну и ту же функцию вязкости [1, 2], предполагается, что вид этих функций свой для каждой элементарной модели. Для рассматриваемых обобщенных моделей Максвелла и Кельвина—Фойгта получены представления удельной работы внутренних сил в виде сумм четырех слагаемых, имеющих различный физический смысл. Эти представления подобны приведенным в работах [1, 2] для НЭТСВУМ. Приведен пример построения определяющих соотношений вязкоупругости, содержащих две функции старения и одну функцию вязкости, для материала, свойства которого чувствительны к скорости деформации. Использование сразу нескольких функций старения и вязкости для описания свойств структурных элементов модели, а также некоторых составляющих удельной работы в качестве аргументов этих функций позволяет расширять пределы применимости рассматриваемых моделей.
Ключевые слова: вязкоупругость, эндохронная теория, функция старения, функция вязкости, чувствительность к скорости деформации.
1. Введение. Известные модели Максвелла и Кельвина—Фойгта, используемые в линейной теории вязкоупругости, образованы различными комбинациями пружин и демпферов. При постоянных значениях модулей упругости пружин и коэффициентов вязкости демпферов указанные модели приводят к линейным интегральным операторам Больцмана—Вольтерры [3]. Ядра этих операторов содержат суммы убывающих во времени экспоненциальных функций, множители при которых зависят от модулей упругости пружин, а коэффициенты при величинах времен в показателях степеней экспоненциальных функций равны отношениям модулей упругости и коэффициентов вязкости. Упомянутые модули и коэффициенты находятся из опытов, в которых одновременно известны напряжения и деформации как функции времени.
Эксперименты показывают, что в высоконаполненных полимерных материалах (ВНПМ), жесткость частиц-наполнителей которых значительно превосходит жесткость связующего материала, ядра релаксации и ползучести меняются в зависимости от происходящих деформационных процессов, т.е. не являются универсальными. Это означает, что в общих случаях модули упругости и коэффициенты вязкости не остают-
3 Механика твердого тела, № 1
65
ся постоянными. Они могут зависеть, например, от инвариантов напряженно-деформированного состояния материалов, температуры и процессов их изменения во времени. Помимо этого механические характеристики ВНПМ могут зависеть от некоторых других параметров, имеющих физическую и химическую природу. В частности, от радиации, полимеризации, кислотности и влажности окружающей среды и других.
Учет большого числа указанных аргументов требует проведения значительного объёма экспериментов, что вызывает трудности при их реализации. Поэтому при решении конкретных задач, используя априорную информацию, сокращают общее число аргументов, от которых могут зависеть механические характеристики ВНПМ, и иногда заменяют их другими. Например, в качестве параметров, влияющих на деформационные процессы, возникающие в образцах, принимаются постоянные скорости деформаций при растяжении и сжатии, давление в камере, заключающей деформируемые образцы материала, частоты и амплитуды колебаний образцов и другие. Удобство использования подобных параметров связано с тем, что они легко определяются и не требуют проведения специальных расчетов.
В работах [1, 2] изложена нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ), в которой изменение во времени свойств упругих элементов описывается одной функцией старения, а изменение свойств демпферов — одной функцией вязкости. Развивая в данной статье эту идею, предположим, что вид структурных функций материала, т.е. функций старения и вязкости, будет задаваться независимо для каждого структурного элемента, таким образом, количество функций старения будет равно количеству пружин, а количество функций вязкости — количеству демпферов в соответствующей обобщенной модели. В число аргументов вводимых структурных функций могут входить какие-либо из названных выше параметров.
Каждая из конкретных функций старения и вязкости позволяет описывать различное изменение во времени соответственно прочности связующего и прочности соединения связующего с наполнителями. Использование для всех учитываемых времен релаксации [3] конкретных структурных функций позволяет точнее находить деградацию (поврежденность) наполненных полимерных материалов, не допуская ее осреднения, как это происходит при использовании только одной функции старения и одной функции вязкости. Таким образом, введение нового варианта НЭТСВУМ помогает находить наиболее опасные с точки зрения накопленных повреждений состояния материалов при разных режимах их нагружения.
Проиллюстрируем нахождение структурных функций на примере использования серии опытов одного определенного вида. Имея для образцов из ВНПМ эксперименты с различными постоянными скоростями деформаций, можно найти общую зависимость этих функций от произвольных скоростей деформаций. Для этого один из экспериментов (например, тот, в котором зафиксировано максимальное время до разрушения) следует взять за базовый и в предположении, что материал описывается линейной теорией вязкоупругости, найти из этого эксперимента соответствующие модули упругости и коэффициенты вязкости. Затем, анализируя оставшиеся эксперименты рассматриваемой серии, и также основываясь на линейных соотношениях Больцмана—Вольтерры, следует представить искомые модули упругости и коэффициенты вязкости в виде произведений найденных из базового эксперимента модулей и коэффициентов на неизвестные множители, подлежащие определению. Эти множители находятся из условия наилучшего приближения анализируемой экспериментальной кривой и теоретической, соответствующей теории Больцмана—Вольтерры. Для этого можно использовать, например, метод наименьших квадратичных отклонений или генетический алгоритм [4]. Найденные в результате неизвестные множители являются дискретными значениями структурных функций при соответствующих скоростях деформаций (значения структурных функций в базисном эксперименте равны
единице). Аппроксимируя эти данные непрерывными функциями, получим искомые аналитические зависимости структурных функций от скоростей деформаций. Аналогично могут быть найдены зависимости структурных функций и от других параметров, характеризующих заданные деформационные процессы.
Преимущество излагаемой здесь обобщенной нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов перед известной НЭТСВУМ заключается в том, что в ней вводятся дополнительные параметры, позволяющие расширить применение определяющих соотношений рассматриваемого типа для описания многих деформационных процессов. В частности, таких, при которых монотонные зависимости напряжений от деформаций могут становиться немонотонными при монотонном изменении параметра, характеризующего класс нагружения.
2. Обобщенная нелинейная вязкоупругая модель Максвелла. Соотношения линейной одномерной обобщенной теории вязкоупругости Максвелла получаются на основе структурной модели, представляющей собой параллельное соединение одной пружины и N элементарных моделей, являющихся последовательным соединением пружины и демпфера. Зависимость напряжений ст(0 от деформаций е(0 в этом случае представляется линейным оператором Больцмана—Вольтерры
г
а (г) = ¡Я (г -т)& (т) (2.1)
0
где ядро релаксации R(t) имеет вид
Я (г) = Е^к ехр Г- — г 1 + Е0 (2.2)
к=1 ^ ц к;
Здесь Ек — модуль упругости пружины в элементарной модели с номером к, k = 0,1...N а цк — соответствующий коэффициент вязкости демпфера, k = 1...N.
Для описания поведения вязкоупругих материалов, у которых вид ядер релаксации зависит от происходящих деформационных процессов, предположим, что для к-го структурного элемента свойство пружины определяется функцией Екфк (а1(г),...а 5 (г)), k = 0,1.Ж, а свойство демпфера — функцией цк/к(а1(г),...а(г)), k = 1...Ж, где а ] (г), 7 = 1...^ — какие-либо из параметров, упомянутых во введении. (В дальнейшем для краткости письма в качестве аргумента функций фк и /к будем указывать только t.)
При сделанных предположениях об упругих модулях и коэффициентах вязкости напряжения и деформации в к-й элементарной модели связаны следующим образом:
®к = ЕкФк (г) еке, ^к = Ик/к О ёки, к= = ЕоФо (О е (23)
Здесь ак — напряжение в элементарной модели с номером к, еке и еки деформации ее упругого и вязкого элементов.
Учитывая, что е (г) = еке (г) + еки (г), и используя (2.3), найдем
= ЕкФк (г) {ехр {-^(г* (г) - г* (т))^е(т) (2.4)
г* = , (к = 1...Ж) (2.5)
/к (т)
о
3* 67
N
Поскольку а (г) = ^ (г), получим соотношения, обобщающие связь напряжений
к=0
и деформаций в нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов [1]
N 1 / \
(г) = £оФо (г) Е (?) + I ЕкЩ (г) |ехр I(г* (г) - г* (т)) к (т)
к=1 0 \ У
(2.6)
Величины г* являются приведенными, или внутренними, временами модели. Очевидно, что при ф0 = фк = ф, /к = / для Ук = 1,...,N, отсюда следуют формулы, полученные в [1], а при ф0 = фк = /к = 1 для У к = 1,..., N будем иметь соотношения линейной теории вязкоупругости (2.1), (2.2).
Проведем для предложенных определяющих соотношений (2.5), (2.6) анализ структуры удельной работы внутренних сил А(?)
А(г) = | с (т) (т) йт
Поскольку на основании (2.3)
е (г) = е ке (г) + е ки (г) =
ст к (г) Ек<к (г)
+ ст к (г)
1 <рк (г) Цк/к(г) ЕкРк(г)
(к =
N
N
к
■ Л N
кФк
= X = X ак / N 2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.