Автоматика и телемеханика, № 11, 2013
Линейные системы
© 2013 г. В.Н. ТИМИН, канд. техн. наук (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
СУБОПТИМАЛЬНАЯ АНИЗОТРОПИЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ1
Рассматривается задача робастной фильтрации для конечномерной линейной дискретной стационарной системы с наблюдаемым и оцениваемым выходами. На вход системы подается случайное возмущение с неточно известным вероятностным распределением. Неопределенность входного возмущения определяется в теоретико-информационных терминах функционалом средней анизотропии. Ошибка оценивания количественно характеризуются анизотропийной нормой. Представлено достаточное условие существования фильтра или оценивателя со строгой ограниченностью заданным пороговым значением анизотропийной нормы передаточной функции от внешнего возмущения к ошибке оценивания. Оно выражено в виде выпуклого неравенства относительно детерминанта положительно определенной матрицы и двух линейных матричных неравенств.
1. Введение
Задача оценивания состояния или в общем случае некоторого выхода системы находит широкое применение во многих практических приложениях. При синтезе алгоритмов оптимального управления и фильтрации для линейных систем, действующих в присутствии внешних возмущений, определяющим фактором по выбору критерия оптимальности является априорная информация о внешнем возмущении. В качестве критерия оптимальности используются широко известные Н2- и Нте-нормы (см., например, [1-3]) в соответствующих пространствах Харди матричнозначных передаточных функций.
В калмановской фильтрации (см., например, [4]) модель процесса предполагается известной, а входной сигнал предполагается гауссовским белым шумом с известными статистическими свойствами (ковариационной матрицей или спектральной плотностью). Установившийся фильтр Калмана, или Н2-оцениватель, определяется из условия минимума Н2-нормы матричной передаточной функции от внешнего возмущения к ошибке оценивания.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-08-00714-я).
Н2-норма определяет установившуюся дисперсию ошибки оценивания [5]. Однако Н2-фильтр, синтезированный для заданной модели, не является робаст-ным, т.е. может потерять устойчивость при малых возмущениях математической модели объекта.
Принципиальное отличие робастной Но-фильтрации (см., например, [6, 7]) от Н2-фильтрации состоит в том, что входное возмущение предполагается с неизвестной, но квадратично суммируемой спектральной плотностью. Это означает, что входное возмущение имеет ограниченную дисперсию. Кроме того, Но-фильтрация принадлежит классу минимаксных алгоритмов [7], при которых минимизируется норма ошибка оценивания для наихудшего случая входного возмущения. Особенность Но-нормы состоит в том, что она может использоваться для оценки чувствительности системы к возмущениям математической модели объекта. Это хорошая мера в робастной (грубой) постановке задачи, когда требуется гарантировать устойчивость всего множества систем в некоторой окрестности исходной математической модели. В такой постановке неопределенность в модели объекта интерпретируется как неопределенное входное возмущение, ограниченное по Но-норме.
Оптимальные Н2- и Но-фильтры эффективно функционируют только в том случае, когда предположения о входных возмущениях корректны. Применение Н2-оценивателя в случае с сильно "окрашенным" входным возмущением обычно приводит к неудовлетворительным ошибкам оценивания, а Но-оцениватель, рассчитанный на наихудший случай, при входном возмущении в виде белого или слабо "окрашенного" шума является излишне перестраховочным (консервативным) [8].
Идеи синтеза оценивателей, которые сочетали бы положительные свойства Н2- и Но-фильтров (т.е. были бы менее консервативны, чем Но-фильтры, и более робастны, чем Н2-фильтры), возникли в конце 80-х гг. В первую очередь, необходимо выделить подход [9], основанный на минимизации установившейся дисперсии ошибки оценивания (Н2-нормы передаточной функции от внешнего возмущения к ошибке оценивания) при ограничении на ее П оо-норму. Дальнейшее развитие этого подхода по синтезу регуляторов и фильтров связано с разбиением входного внешнего возмущения на сигналы с ограниченным спектром и ограниченной энергией и применением смешанного Н2/Но-критерия (см., например, [5, 10-12]). Это направление получило название "смешанного" Н2/Но-подхода. В основополагающей статье [5] "смешанная" Н2/Но-задача фильтрации сводится к задаче выпуклой оптимизации, которая решается с использованием техники линейных матричных неравенств (см., например, [13, 14]). Достижение компромисса между Н2-оптимальными и Но-оптимальными фильтрами рассматривается в задаче обобщенной Но-фильтрации [15], в которой минимизируется совместное влияние неизвестных начальных условий и неизмеряемого внешнего возмущения на ошибку оценивания.
Другое стохастическое направление создания "промежуточных" оценива-телей связано с синтезом регуляторов и оценивателей, функционирующих в присутствии случайных внешних возмущений, вероятностное распределение которых задано неточно. Характеристикой неопределенности входного сигнала выступает функционал средней анизотропии случайной многомерной
дискретной последовательности. Это направление в робастном стохастическом управлении, в основном разработанное И.Г. Владимировым, использует теоретико-информационные основы и получило название стохастической Нте-оптимизации, или анизотропийный подход [16-19].
Анизотропийная теория использует в качестве критерия качества а-ани-зотропийную норму, которая зависит от задаваемого уровня средней анизотропии а € [0, то) входного сигнала. Она включает в себя стандартные масштабированные Н2- и Нте-нормы в качестве двух предельных случаев. Эта норма, точнее семейство норм, зависящее от уровня средней анизотропии а входного сигнала, характеризует меру чувствительности выхода системы к "цветным" входным сигналам. Уровень "цветности" входного сигнала определяется значением а уровня средней анизотропии. "Промежуточные" (между масштабированной Н2- и Нте-нормами) в анизотропийном смысле свойства регуляторов и оценивателей обеспечиваются заданием уровня а средней анизотропии входного сигнала. При приближении а к нулю свойства регулятора и оценивателя стремятся к Н2-регулятору и оценивателю, а при стремлении а к бесконечности - к Нте-регулятору и оценивателю.
Впервые задача оптимальной анизотропийной фильтрации была поставлена и решена И.Г. Владимировым в [20]. Она сводится к решению двух связанных матричных уравнений Риккати и нелинейного алгебраического уравнения относительно логарифма детерминанта положительно определенной матрицы. Решение задачи оптимальной анизотропийной фильтрации является единственным. Совместное решение уравнений осуществляется с помощью метода гомотопии [21], адаптированного для данной задачи И.Г. Владимировым. Одним из существенных недостатков данного метода является то, что для организации численной процедуры поиска решения необходимо предварительно аналитически вычислять ряд матричных производных.
Синтез субоптимальных анизотропийных фильтров - естественное продолжение оптимального подхода, предложенного в [20]. В данной работе предложен алгоритм, при котором синтезируемый фильтр обеспечивает не ми-нимимальное значение анизотропийной нормы, а ее ограниченность заданным значением. Это гарантирует подавление случайных внешних возмущений, средняя анизотропия которых не превосходит известного уровня, с качеством не хуже заданного. В отличие от синтеза оптимального анизотропийно-го фильтра решение субоптимальной задачи синтеза приводит к некоторому множеству допустимых фильтров, что позволяет накладывать дополнительные ограничения для достижения желаемого качества оценивания. Условия существования и алгоритм нахождения параметров субоптимального анизо-тропийного фильтра в субоптимальной постановке в отличие от оптимальной выражены в терминах линейных матричных неравенств.
Статья организована следующим образом. В разделе 2 приведены краткие сведения по анизотропии случайного вектора, средней анизотропии случайной дискретной последовательности и а-анизотропийной норме линейной дискретной стационарной системы, которые являются основополагающими в анизотропийной теории управления. Сформулирован критерий ограниченности анизотропийной нормы заданным значением (частотная теорема для анизотропийной нормы). Частотная теорема позволяют свести задачу субоп-
тимальной анизотропийной фильтрации к задаче выпуклой оптимизации. Постановка задачи субоптимальной анизотропийной фильтрации и алгоритм ее решения сформулированы в разделе 3. В разделе 4 рассматриваются результаты численного моделирования. Для численного примера выполнено сравнение Н2-, и двух субоптимальных а-анизотропийных фильтров.
2. Обозначения и предварительные сведения
2.1. Принятые обозначения
Обозначим множество вещественных чисел через М, а множество вещественных матриц размерности (п х т) через Мгахт; М* := [т*У - эрмитово сопряжение для комплексной матрицы М = [т^-]; МТ := [т^] для вещественной матрицы М обозначает транспонирование; М >- N для вещественных симметричных матриц М = МТ означает, что матрица М — N положительно определена; 0пхт - нулевая матрица размерности (п х т), а 1п -единичная матрица размерности (п х п). Размерности нулевых и единичных матриц в тех случаях, когда их нетрудно понять из контекста, указываться не будут.
2.2. Краткие предварительные сведения
Кратко приведем некоторые основные сведения по анизотропийной теории управления из [16-19]. Ключевыми понятиями в анизотропийной теории стохастического робастного управления и фильтрации являются анизотропия случайного вектора, средняя анизотропия случайной дискретной последовательности и а-анизотропийная норма линейной дискретной стационарной системы.
Рассмотрим понятие анизотропии случайного вектора. Обозначим через ЦТ" класс Мт-значных квадратично интегрируемых случайных векторов. Предположим, что случайный т-мерный вектор Ш им
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.