Письма в ЖЭТФ, том 89, вып. 5, с. 303-307
© 2009 г. 10 марта
Сумматор на троичных базовых элементах для квантового
компьютера
В. Е. Зобов1), Д. И. Пехтерев Институт физики им. Л.В. Киренского Сибирского отд. РАН, 660036 Красноярск, Россия Сибирский федеральный университет, 660041 Красноярск, Россия
Поступила в редакцию 30 декабря 2008 г. После переработки 2 февраля 2009 г.
Предложена схема из квантовых элементарных логических операторов на кутритах для сумматора в троичной системе счисления. Найдена последовательность импульсов радиочастотного магнитного поля для его реализации методом ядерного магнитного резонанса на цепочке квадрупольных ядер со спином 1=1. Выполнено численное моделирование работы сумматора.
РАСЯ: 03.67.Lx
Введение. Троичная система счисления [1,2] -позиционная система счисления с основанием 3. Существует в двух вариантах: несимметричная (цифры 0, 1, 2 или 0, —1, —2) и симметричная (цифры 1, 0, 1, здесь и далее 1 означает —1). В симметричной системе троичное число записываем в виде (Ап.. .Аз А2 Ах), где Ап = {1, 0, 1} - вычислительный базис. Связь троичного числа с десятичным:
А = АпЗп-1 + ... + А332 + А231 + А13°. (1)
Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса и поэтому наиболее экономна с точки зрения представления чисел. Она обладает многими другими достоинствами [2,3]. Правила суммирования в троичной логике двух одноразрядных чисел А и В [1] представлены в табл. 1.
Таблица 1 Сложение двух троичных чисел А и В
Троичная цифровая техника вызывала интерес с самого начала развития цифровых машин в связи с арифметическими свойствами симметричного кода
^e-mail: rsa®iph.krasn.ru
чисел. Троичная система на трехстабильных элементах памяти (тритах) использовалась в ЭВМ "Сетунь", выпущенных небольшой серией [2].
В последнее время были открыты квантовые вычислительные процессы, обещающие грандиозный прорыв в вычислительной технике [4]. Основная масса исследований посвящена квантовым компьютерам на двухуровневых квантовых системах - кубитах (квантовых аналогах битов), выполняющих вычисления в двоичной системе. В связи с тем, что троичная логика имеет ряд преимуществ перед двоичной, квантовые компьютеры, работающие на трехуровневых квантовых системах - кутритах (квантовых аналогах тритов), могут оказаться более перспективными [5,6], чем работающие на кубитах. Однако это направление изучено недостаточно. В настоящей статье рассмотрен сумматор на кутритах, работа которого, насколько нам известно, не изучалась. Тогда как сумматор на цепочке из кубитов достаточно хорошо изучен теоретически [7-9]. Рассмотренный алгоритм суммирования не является квантовым алгоритмом [4], а является примером классического алгоритма, выполняемого на квантовом компьютере. Хотя квантовый сумматор не ускоряет по сравнению с классическим процесс сложения, тем не менее, он является важным элементом любого компьютера.
Элементарные логические операторы (вентили) и схема сумматора на кутритах. Работа сумматора на кубитах организуется [7-9] с помощью двухкубитного вентиля контролируемого НЕ {СИ ОТ), и трехкубитного вентиля Тоффоли - вентиля, дважды контролируемого НЕ (ССИОТ). Обобщением указанных вентилей на случай кутритов являются, соответственно, двухкутритный вентиль
B\A -1 0 1
-1 -1 1 -1 0
0 -1 0 1
1 0 1 1 -1
SUM и трехкутритный вентиль С SUM [10]. Правила работы вентилей SUM и CSUM приведены в табл.2 и 3 (в жирных рамках выделены значения рабочих
Таблица 2
Оператор SUMAB
B\A -1 0 1
-1 1 -1 0
0 -1 0 1 B
1 0 1 -1
Таблица 3
Результат действия оператора CSUMABC на C = 0
B\A -1 0 1
-1 -1 0 0
0 0 0 0 C
1 0 0 1
кутритов после действия соответствующего оператора); А, В и С, как и в табл.1, означают одноразрядные троичные числа.
Работу сумматора на кутритах можно организовать из этих вентилей по схеме, показанной на рис.1. Горизонтальные линии соответствуют состоя-
A1 Bi
C1 A2 B2
C2 A3
B,
C
i—c 3-
с "N
kJ \J c\ Pi , r
J )
с "N Г
\J C\ \J
1 ^ 1 UJ
5-e 5-
3 '
Рис.1. Логическая схема работы сумматора на кутритах
ниям кутритов в разрядах складываемых чисел (Ах, Аг, Аз) и (Вх, Вг, Вз), а также кутритов, используемых для переноса в следующие разряды (Сх, Сг, Сз).
Вентили обозначены вертикальными линиями, связывающими линии-состояния двух кутритов (SUM) или трех кутритов (CSUM). На рис.1, в качестве примера суммирования, взято два трехразрядных числа (разряд обозначается нижним индексом). Кут-риты объединены в блоки (по три кутрита), которые соответствуют разрядам двух суммируемых чисел Ап и Вп, а также кутриту Сп. Вентили действуют поочередно на каждый разряд чисел Ап и Вп. Итоговая сумма чисел п-го разряда записывается в состоянии кутрита Ап. Суммирование в n-ном разряде, согласно схеме на рис.1, представляется следующей последовательностью вентилей SUM и CSUM:
Fn = SUMcn_1AnCSUMcn_1Ancn x
xSUMBnAnCSUMAnBnCn. (2)
В универсальной логической схеме рис.1 не конкретизируется расположение кутритов в пространстве. Рассмотрим сумматор на цепочке кутритов, в качестве которых могут быть взяты квадрупольные ядра со спином 1=1, управляемые методами ядерного магнитного резонанса (ЯМР) (см. следующий раздел). Схема расположения кутритов и соответствующих им разрядов Ап и Вп двух суммируемых троичных чисел имеет следующий вид:
Ах Вх Сх А-2 В2 С2 A3 Вз Сз ... А„ В„ с 11 •
Адресацию, необходимую для избирательного управления с помощью радиочастотного (РЧ) магнитного поля нужными состояниями спинов, можно обеспечить, например, при изменении величины постоянного магнитного поля вдоль цепочки. Для выполнения условных операций предполагаем, как и в работах [7,8], наличие спин-спинового взаимодействия между ближайшими соседями.
Для реализации сумматора на цепочке кутритов при наличии взаимодействия только ближайших соседей возникает необходимость смены места рабочего спина в операторе CSUM. С этой целью необходимо дополнить схему операторами перестановки местами состояний двух рядом стоящих спинов (операторами SWAP, правило работы которого приведено в табл.4). С учетом новой операции вместо выражения (2) получаем следующую последовательность операторов:
Fn = SUMCn_lAnSWAPBnCnSWAPBnAn х
хCSUMCn_lBn An SWAPA„ Bn SWAPCnBn x
x SUMBn An SWAPBn c„ CSUMAn c„ Bn SWAPCn Bn.
(3)
Оператор SWAPab
Таблица 4
B\A
-1 0 1
-1 0 1
-1,-1 0,-1 1,-1
-1,0 0, 0 1,0 B, A
-1,1 0,1 1,1
Для суммирования всего числа оператор Еп нужно применить к каждому разряду слагаемых.
ЯМР реализация логических операторов и сумматора. Возьмем цепочку квадрупольных ядер со спином 1 = 1, взаимодействующих с аксиально-симметричным градиентом кристаллического поля. С одной стороны, такая система достаточно проста, с другой стороны, ЯМР на сегодняшний день лидирует при экспериментальном моделировании квантовых вычислений. Наконец, такая система является прямым развитием ранее изученной модели сумматора на цепочке кубитов [7,8]. Гамильтониан системы имеет вид [11]
n
n
Но =
п2
n
М-1>
(4)
где u>k = Boj+kgj - ларморовская частота прецессии в сильном постоянном магнитном поле Во, 7 - гиромагнитное отношение, ^-градиент магнитного поля, к - номер спина, q - константа квадрупольного взаимодействия, Jfe - константа спин-спинового взаимодействия ближайших соседей, - оператор проекции спина к на ось Z. Энергию будем измерять в единицах угловой частоты и примем Н = 1.
Каждое ядро рассматривается как отдельный кут-рит, а в качестве вычислительного базиса используются состояния с различной проекцией спина на выделенную ось Z:
\Г = 1) = \1)-, \1~ = 0) = |0); \Р = -1) = \1). (5)
Базис двух спинов организуется как прямое произведение базисных состояний каждого из спинов -\ij) = |г) ® |j); i,j = {1, 0, 1}. Состояния, соответствующие девяти неэквидистантным уровням еп двухкутритной системы, пронумеруем следующим образом:
|1) = |11), |2) = |10), |3) = |11), |4) = |01), ..., |8) = |10), |9) = |11). 4 Письма в ЖЭТФ том 89 вып. 5-6 2009
В таком базисе состояние системы описывается вектор-столбцом (строкой), а двухкутритный вентиль ЗиМ\2 будет представлять собой матрицу 9x9, имеющую блочный вид
SUM12 =
А 0 0
0 Е 0
0 0
А'
где А =
(6)
единичная
А' - транспонированная матрица, а Е матрица.
Для получения оператора виМ^ необходимо РЧ полем осуществить селективные переходы между состояниями кутритов, которые связаны отличными от нуля матричными элементами в матрице (6) [12-14]. Вентиль ЗиМ\2 получается в результате действия следующей последовательности импульсов РЧ поля [13,14]:
М7х 8 М8х 9 МГ (7)
Стрелки указывают порядок следования импульсов во времени. Эта последовательность селективных поворотов на угол 7Г вокруг оси X обеспечивает повороты не только на разрешенных, но и на запрещенных переходах 7-9 и 1-3. Резонансные частоты из РЧ импульсов в (7) принимают следующие значения:
= ш2 - д - ш8-9 = + д -
(8)
~2 = + д + из2 1 = из2 - д + 3.
из
Во вращающейся с частотой РЧ поля из системе координат действие отдельного РЧ импульса задается оператором эволюции [11]
и (г) = еГшг (9)
с не зависящим от времени эффективным гамильтонианом Н:
n n
я = + + (ю)
к=1 к=1
Здесь О = В17, В\ - амплитуда РЧ поля, - оператор проекции спина к на ось X. Селективный 7г-им-пульс получаем из (9) при включении поля с постоянной амплитудой О « (I и частотой из в течение конечного времени Ьр = ж/^/20,
Матрица вентиля СБИМ^ (спины 1 и 3 - контролирующие, спин 2 - рабочий) в базисе трех спинов ¡¿■3 к); = {1,0,1} имеет размер 27 х 27 и выглядит следующим образом:
CSUM132 =
s 0 0
0 Е 0
0 0 s
S =
0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0
(П)
где Е - единичная матрица размером 13 х 13, S1 -транспонированная матрица. Вентиль CSUM^ получается в результате действия следующей последовательности РЧ импульсов:
МГ W4x 1 Mi4-21 Mi7-24. (12)
Нумерация уровней начинается от |1) = |111) и заканчивается 127) = |111).
Вентиль SWAP12 в базисе 2-х спинов \ij), i,j = = {1,0,1} описывается следующей матрицей:
SWAP! 2 =
1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.