СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ В СИСТЕМЕ р-ЭПЕКТРОНОВ
Р. О. Зайцев*
Московский физико-тсхничсский институт ЦПОО, Долгопрудный, Московская обл., Россия
Поступила в редакцию 6 марта 2012 г.
Изучается проблема сверхпроводимости в электронной системе с частично заполненной лр-оболочкой. Определены амплитуды рассеяния и получены уравнения сверхпроводимости на основе представления о том, что энергия Хаббарда является наибольшим энергетическим параметром.
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача изучения возможности возникновения сверхпроводимости в соединениях с частично заполненной /¿-оболочкой непосредственно связана с наличием сильного кулоновского взаимодействия электронов, принадлежащих одному и тому же атому. Непосредственные оценки этого взаимодействия, проделанные с помогцыо водородоподобных волновых функций, приводят к следующим соотношениям:
е2
п
и = к-
Гв
г в =
те-
(1)
где г в ло.
радиус Бора, п главное квантовое чис-эффективный заряд ядра, к численный множитель порядка единицы.
В случае 1 «-электронов к = 5/8, = 7 — 5/16, так что ия « 177* [1].
Для 3(1-электронов п = 3, однако для второй половины ряда переходных 3<1-металлов 2* >5, что объясняет возникновение высокотемпературной сверхпроводимости соединений железа, никеля и меди, для которых и4 >10.
В случае 2р-электронов п = 2. Однако уже для углеродных соединений, где 2 = 1, были получены следующие значения: для бензола ир = 16.9 [2], для полиацетилена IIр = 10 [3], для графита и графе-на ир = 17.5 и ир = 17.0 [4]. Учет экранирования приводит к уменьшению заряда почти вдвое: для графита и графеиа соответственно {/* = 8.0 8.1 и и; = 9.3 [4].
Можно предположить, что для соединений азота и кислорода, для которых 7 > 2, значение {/* >10,
Е-таП: годсЫй'таП.ш
что заметно превышает зонную энергию, определяемую перескоком электронов между соседними атомами [5].
Отсюда следует, что при изучении различных взаимодействий и, в частности, для нахождения амплитуды рассеяния возбуждений необходимо прежде всего учесть сильное внутриатомное взаимодействие уже в пулевом приближении. Для достижения этой цели используется метод А'-операторов Хаббарда, а само внутриатомное взаимодействие считается наибольшим энергетическим параметром и ниже считается равным бесконечности.
В дальнейшем удается определить амплитуду рассеяния любой пары возбуждений с противоположным знаком изменения проекции спина. Рассмотрены два наиболее интересных объекта: трехмерная ¿'//-система, где перекрываются электронные .ч-, рх,у,-гоболочки и двумерная «р2-систсма, где перекрываются электронные , „-ободочки. Для этих систем вычисляется амплитуда рассеяния, которая меняет знак внутри каждого целочисленного интервала электронной концентрации. Получены общие уравнения сверхпроводимости (обобщенные уравнения Горькова), а также уравнения для нахождения температуры сверхпроводящего перехода. Частные случаи тг- и <т-электронов, когда заполняются только н-, р-- и (р3.,/>„)-оболочкп, были рассмотрены в работах автора [6 8].
2. ПЕРЕХОД К АТОМНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ
Гамильтониан системы записывается через операторы рождения н уничтожения и в простейшем
случае переходов к ближайшим соседям имеет следующий вид:
г,/с,Г1 ,Г2,ст
+ Е Я-(Г1 )«*,<* (Г2 )*& (П - Г2 ) -
Г1 ,Г2,сг
- Е «I,»«*,<*(*) - II Е <*(*)• (2)
А: ,Г,{Т
В трехмерном случае ¿/-электронов индексы пробегают четыре значения: х.у.г. В двумерном случае индексы пробегают три значения: х, у. Индексы «и», «Ь» соответствуют различным подрешеткам.
Во всей 2л'2/>группе элементов и одноор-битальпые, и разноорбитальные кулоиовские матричные элементы имеют порядок нескольких электрон-вольт и велики по сравнению с интегралами перескока к ближайшим соседям. По этой причине соответствующие значения кулоновских матричных элементов считаются бесконечными.
После перехода к атомному представлению операторы рождения и уничтожения выражаются в виде линейной комбинации А'-операторов Хаббарда:
а ^
Для низших высокоспиновых состояний коэффициенты двыражаются через произведения спиновых и орбитальных коэффициентов векторного сложения, соответствующие отделению одной частицы (см. ниже). Операторы X? это Л'-опера-торы ферми-типа, удовлетворяющие нефермижид-костным перестановочным соотношениям:
{л7"\л^'>} = г- + брпх^т). (31))
Уравнения для нахождения средних чисел заполнения пт находим из определения температурной функции Грина для каждой пары сопряженных Л'-операторов:
Дл"<(г,г;г',г') = ^0(т -Т')(Х?(т)Х$(Т')) +
+ 9(т' — т){х£ (т'(т)). (4)
Для вычисления одпочастичной функции Грина используем простейшее одиопетлевое приближение самосогласованного поля. В этом приближении компоненты Фурье одпочастичной функции Грина О^'^Цр) только множителями отличаются от так называемой виртуальной функции Грина
которая, в свою очередь, удовлетворяет уравнению типа Дайсона:
0У(р) = СУЧР)/*< О)
(с-^р)}" = {^„^¿(«^-^(р). (6)
Здесь €т — еЙ энергия перехода, отвечающая номеру перехода а:; и! = Т(2п + 1)тг.
При заданных номерах одночастичного перехода /?(т,я) каждый концевой множитель равен сумме средних чисел заполнения начального и конечного состояния. В нашем приближении собственно-энергетическая часть есть сумма произведений концевого множителя на обобщенную матрицу перескоков и одпопетлевой поправки:
/а(Й,т)=ПЙ+Нт, = +
3. АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ
Амплитуды двухчастичного рассеяния ^(р) определяются как коэффициенты при произведениях операторов Х\Х„, полученных в результате вычисления двойных коммутаторов Ха. ' }' гд0 Н оператор Гамильтона (1), выраженный через Л'-операторы.
Покажем, что при заданном значении проекции спина и проекции момента задача сводится к нахождению четырех независимых вершин.
Зафиксируем индексы одночастичного перехода а(п,т) таким образом, что /¿-состояние есть (У — 1 )-частичное состояние с заданной проекцией полного спина — 1/2, а т-состояние есть У-час-тичное состояние с заданной проекцией полного спина Если рассеяние происходит на совокупности виртуальных переходов со спином «вверх», то следует фиксировать переход между (У — 1 )-частичным (/-состоянием и У-частичным е-состоянисм, а затем вычислить антикоммутатор:
= ¿тДМ + 6^пХс'т. (8)
Для того чтобы вычислить амплитуду рассеяния од-ночастичных возбуждений с противоположным знаком изменения проекции спина, необходимо задать переход между (У — 1 )-частичным «-состоянием и У-частичным ^-состоянием, принадлежащими к
771
10*
Рис.1. Графическое изображение вершинной части кинематического взаимодействия при заданной проекции «-состояния
группе одночастичных переходов, с группой «перевернутых» спинов, а затем вычислить коммутатор1^:
= $т,с (дь,пХа'ё — +
+ 6Л,„ • (9)
В нашем случае состояния (а, п, (1) и (Ь, т, с) принадлежат состояниям с различным числом электронов. Поэтому первое и четвертое слагаемые в правой части (9) должны быть отброшены, и это соотношение упрощается:
= + 6Л1П6ь,сХа'т. (10)
Мы ограничиваемся рассмотрением переходов между высокоспиновыми состояниями, когда каждое состояние определяется числом частиц, проекциями полного спина и полного момента. Поскольку, с другой стороны, все одночастпчные возбуждения соответствуют переходам с заданным изменением проекции спина н проекции момента, в первом слагаемом правой части (10) следует считать, что а = п, а во втором слагаемом Ь = т. В результате мы получим чстырсхвсршинныс части, определяющие кинематическое взаимодействие для двух диаграмм, которые представлены на рис. 1а, 2 а.
Если же мы рассматриваем рассеяние на совокупности виртуальных переходов со спином «вниз»,
Появление коммутатора вместо антикоммутатора связано с тем, что операторы и Л"':,т принадлежат к операторам бозе-тина, каждый из которых отвечает переходам без изменения числа частиц.
Рис.2. Графическое изображение вершинной части кинематического взаимодействия при заданной проекции /п-состояния
то следует фиксировать переход между Лг-частич-ным 6-состоянисм и (Лг — 1 )-частичиым «-состоянием, а затем вычислить антикоммутатор:
|л"7''", ХЬ'а | = 6т,ьХп'а + 6а,пХь'т. (11)
Для того чтобы вычислить амплитуду рассеяния одночастичных возбуждений с противоположным знаком изменения проекции спина, необходимо задать переход между (Лг — 1 )-частичным с-состоянисм и Лг-частичным (/-состоянием, принадлежащими к той же группе одночастичных переходов со спином «вниз», а затем вычислить коммутатор:
[х^, (бт,ьх»'а + =
= $т,Ь (бс1{ПХС'а — ба^Х"''4^ +
+ 6п,а • (12)
Рассуждения, аналогичные предыдущим, показывают, что первое и четвертое слагаемые в правой части (12) должны быть отброшены, и вместо (12) имеем:
[х^, (бт1ьХп* + ба,„!"■'")] =
= —йт,ьйа,сХ"''<1 + 6п^а6ь,г1ХС,т . (13)
Кроме того, для одночастичных переходов между высокоспиновыми состояниями, следует считать, что Ь = (1 = т, а во втором слагаемом: а = с = п. В результате мы получим чстырсхвсршинныс части, определяющие кинематическое взаимодействие для двух диаграмм, которые представлены на рис. 16, 26.
4. АНОМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА И УРАВНЕНИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
Для написания уравнений сверхпроводимости запишем обратную функцию Грина с учетом наличия аномальных собственно-энергетических функций 5]
и £ [91,
¿и,(р
(14)
/
Здесь нулевая функция Грина, вычисленная
в нуль-петлевом приближении:
С
,(Р))"
= (ги;„ + 11.)6.1к - АМГ
(15)
где и)п = 7гГ(2п+1), //. химический потенциал, / концевой множитель, определенный для каждого целочисленного интервала изменения концентраций, Ь/, коэффициенты разложения операторов рождения и уничтожения по У-операторам Хаббарда.
Вычисление аномальных собственно-энергетических частей проводится в соответствии с графиками на рис. 3, каждый из которых содержит одну из вершин кинематического взаимодействия с множителем, пропорциональным произведению компоненты Фурье от интеграла перескока и аномальной гриновской функции. Соответствующие
а{п, т)
и {а, п)
а {п, т)
А (т,Ь)
Рис.3. Графическое изображение аномальной собственно-энергетической части кинематического взаимодействия при заданной проекции «-состояния
компоненты аномальной функции Грина определяются через обратную функцию Грина с помо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.