ЖЭТФ, 2012, том 142, вып. 1 (7), стр. 151 155 © 2012
СВЕРХПРОВОДЯЩАЯ ПЛАСТИНА В ПОПЕРЕЧНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ: НОВОЕ СОСТОЯНИЕ
Э. Г. Батыев
Институт физики полупроводников им. А. В. Ржмнова Сибирского отделения Российской академии наук
630090, Новосибирск, Россия
Поступила в редакцию 28 сентября 2011 1".
Предлагается модель для описания куперовских пар вблизи точки перехода (по температуре и магнитному полю), когда расстояние между ними больше их размеров. Суть модели: функционал Гинзбурга-Ландау записывается в операторном виде через полевые операторы бозевского типа, так чтобы среднее значение оператора плотности давало концентрацию куперовских пар, а для бозе-конденсата получалось прежнее выражение Гинзбурга-Ландау. В качестве применения модели рассматривается сверхпроводящая пластина толщиной меньше размера пары в поперечном магнитном поле вблизи верхнего критического значения Н,:2. Получено новое состояние, которое энергетически более выгодно в некотором интервале вблизи точки перехода, чем вихревое состояние Абрикосова. Волновая функция системы в этом состоянии типа функции Лафлина, использованной в дробном квантовом эффекте Холла (естественно, в нашем случае применительно к куперовским парам как бозе-частицам) и соответствует однородной несжимаемой жидкости. Энергия состояния пропорциональна первой степени величины (1 — Н/Нс2) в отличие от энергии вихревого состояния, содержащей квадрат этой величины. Интервал существования нового состояния тем больше, чем грязнее образец.
1. ВВЕДЕНИЕ
В теории Гинзбурга Ландау (ГЛ) разность свободных энергий сверхпроводящего и нормального Рх состояний записывается в виде
- / (1т
2 М
2 р
(У-ДА)Ф(г)
а
Ф
Ф
(1)
Здесь учтена только часть, явно зависящая от параметра порядка Ф(г).
Величину Ф(г) можно трактовать как волновую функцию куперовской пары (с точностью до коэффициента). Все пары находятся в одном состоянии (образуют бозе-конденсат), поэтому достаточно функции от одной координаты. Такая интерпретация позволяет пойти дальше и описывать систему куперовских пар при помощи гамильтониана:
Е-та11: batyevifflisp.nsc.ru
н =
Ф+(г)
V
г|А(г
Ф(г)
• а:ф+(г)ф(г) + -Ф+(г)Ф+(г)Ф(г)Ф(г)
(2)
Здесь Ф(г), Ф+(г) операторы бозевского типа во вторичном квантовании. Если заменить их просто функциями (для описания бозе-конденсата), то получим выражение (1).
Такое обобщение теории ГЛ было предложено много лет назад в работе [1], но безуспешно. В настоящей работе показывается, что в некоторых случаях такой подход приводит к новому состоянию, которое энергетически более выгодно, чем состояние, следующее из обычной формулировки теории ГЛ. Именно, новое состояние получается в квазидвумерном случае (сверхпроводящая пластина) в поперечном магнитном поле вблизи верхнего критического поля Нс2. Видимо, это может быть проверено экспериментально.
Сначала о соображениях в пользу нового подхода с использованием оператора (2).
1) В работе [2] рассматривался фазовый переход в сверхпроводнике. Главное, что сделано в этой работе, это показано, что вблизи точки перехода
диаграммная техника для особой части двухчастичной функции Грина такая же, как для системы бо-зе-частиц. Эта особая часть как раз описывает купе-ровскую пару.
2) Можно показать, что из использованного в работе [2] диаграммного подхода для двухчастичной функции Грина следуют в точности те же соотношения для коэффициентов теории ГЛ, которые ранее были получены Горьковым (см., например, [3]). Таким образом, сначала мы ставим в соответствие куперовским парам бозе-гамильтониан, для которого получается такая же диаграммная техника, как для двухчастичной функции Грина, а затем для бо-зе-конденсата получаем результат, как в теории ГЛ.
3) Взаимодействие (вклад четвертого порядка) в теории Г Л возникает из-за того, что ку перовские пары перекрываются, т. е. из-за принципа Паули. Если же этого пет, т.е. если они разъединены, то нет и взаимодействия. В традиционном подходе этого не видно, потому что всегда остается самодействие.
Отметим, что размер пары по порядку величины не изменяется с температурой, в то время как их число уменьшается. Поэтому вблизи точки перехода возможно говорить об отдельных парах. Кстати, утверждение о том, что размер ку перовской пары по порядку величины остается неизменным вплоть до точки перехода, нетрудно проверить непосредственно. Именно, в модели сверхпроводника (например, Бардина Купера Шриффера) надо вычислить среднее {Ф-|-(г)Ф^(г')) (Ф^-д(г) это операторы электронов с разными проекциями спина) и найти зависимость от разности координат.
Приведенные аргументы являются обоснованием предложенного обобщения. Следует подчеркнуть, что описание сверхпроводящего состояния как совокупности частиц (куперовских пар), как это предлагается, хотя представляется естественным, но строго не обосновано, поэтому есть не более, чем модель.
2. ОБСУЖДЕНИЕ МОДЕЛИ
Пусть сверхпроводящая пластина находится в поперечном магнитном поле Н. Вблизи поля Нс2 образуется вихревая решетка Абрикосова. Решетка может расплавиться аналогично плавлению любого кристалла. При обсуждении плавления (см., например, обзор [3]) считается, что вихри остаются, но пропадает дальний порядок в их расположении. Оказывается, что вблизи Нс2 возможно жидкое состояние другого типа, которое отличается от всего того, что рассматривалось раньше [3]. Именно, ви-
хрен нет, а есть однородная система жидкость из ку перовских пар (без бозе-конденсата и без вихрей). Такая картина естественно возникает при описании ку перовских пар при помощи гамильтониана (2).
Сначала надо определиться с тем, что брать в качестве концентрации частиц (куперовских пар). Естественно было бы считать таковой |Ф|2, т.е. без внешних полей \п\/3 (в единице объема в трехмерном случае). Однако в теории Г Л эта величина не определена, потому что в качестве параметра порядка можно взять любую величину, отличающуюся от Ф постоянным множителем, лишь бы физические величины оставались неизменными. Этими величинами являются
1) глубина проникновения магнитного поля
А (Г) =
I М(2д 4тг(2е )2|а'|
(3)
2) длина когерентности
£(Л =
V/2М
а:
(4)
3) изменение свободной энергии при переходе в упорядоченное состояние
6£ V
а"
(1-Т/Тс
(5)
(приведено значение, которое дает микроскопическая теория, 7 плотность состояний на поверхности Ферми, А « 3.06). Из этих выражений видно, что из трех параметров теории Г Л а.в.М зафиксированы только два (с зарядом все понятно). В остальном имеется произвол, и отношение \п\/3 остается неопределенным, что для функционала Г Л несущественно. Это все известно.
В операторной формулировке (2), когда речь идет о частицах (куперовских парах) и их количестве, необходимо зафиксировать оставшийся параметр \а\/в, который как раз соответствует концентрации частиц. Для этого нужно оценить число ку-перовских пар Лтср- Покажем, как это можно сделать.
Рассмотрим обычный сверхпроводник. Здесь понятно, как провести оценки. Сначала приведем некоторые известные сведения из теории сверхпроводимости, которые необходимы для оценок. В модели Бардина Купера Шриффера (в гамильтониане учитывается только притяжение электронов с противоположными импульсами и спинами) переход от
операторов электронов арсг к операторам квазичастиц а:рсг осуществляется при помощи преобразования Боголюбова:
«рТ = "рО'рТ +
(6)
(■«р.^'р) = тН !±
-Д
"р''р " 2бг
где 'Р = -^Ср + Д2 спектр квазичастиц, энергия электрона, отсчитанная от фермиевской энергии.
Рассмотрим среднее {Ф-|-(г)Ф^(г')). Оно пропорционально волновой функции электронов в паре. Если вычислить двойной интеграл от квадрата модуля этой величины, то получится число электронов в парах (со спином вверх и вниз), т.е. удвоенное число пар. Итак,
Мср{Т) = -1 ,Ыг'|<Фт(г)Ф4(г'))|
(7)
Здесь операторы Ф^д это обычные полевые электронные операторы, например:
1 ^
%(Г) = —7=: «РТ <^Р('Р ' Г).
Используя переход к операторам квазичастиц и вычисляя среднее значение, имеем
х ехр |ф • (г — г'^ .
Интегрирование по координатам в величине Мср{Т) дает множитель 1/2дР;Ч (р, q импульсы в разных суммах), так что окончательно получим
2 Г
(8)
При пулевой температуре имеем
Аггр(0) = рАо 7Г V 2 4'
Вблизи точки перехода имеем
н _ Л'Гр(Т « тс) _ о Д2
Б
V
(1х
Ш2(.(;)
8Гг ; 1.7.
Б:
О)
Как известно, щель в спектре вблизи точки перехода определяется формулой
л л /, /Г^ТуТГ
(Ю)
Эта величина, так же как отношение а2/в (см. (5)), не изменяется в грязном сверхпроводнике (теорема Андерсона). Кроме того, выражение для числа пар (9) остается прежним. Как оказывается, с примесями изменяется только масса М (см. ниже (12)).
Массу Мо (для чистого случая) нетрудно получить с помощью выражений для других постоянных. Например, для Л (Г) (см. (3)) имеем
А (Г) =
А(0)
\/2(1 -Т/Тс
А(0) =
пи
4 ппе2
(Н)
где использовано известное соотношение для плотности сверхтекучей компоненты вблизи точки перехода для чистого сверхпроводника (иг масса электрона, п концентрация). Этого достаточно для наших целей. В результате
А/о _ 3А2Р Тс Со
н) 16 < I М0 ко I
(/<£о). (12)
Здесь к = А(Т)/£(Т) параметр ГЛ («о для чистого образца), / длина свободного пробега. Подчеркнем, что это для случая, когда под числом частиц подразумевается число куперовских пар.
Приведем еще выражение для длины когерентности (см. (3), (4), (5) и (11)):
сел =
1
■сР/Тс
Vх! - Т/Тс
(13)
Последние три выражения годятся для чистого сверхпроводника (не считая выражения для М).
Наконец, запишем выражение для коэффициента в, которое получается из сравнения (5) и (9) с использованием (10):
/? =
1
а; 7£>2
(14)
Используя соотношение (9), можно получить оценку температурного интервала вблизи точки перехода 6Т/ТС, когда среднее расстояние между купе-ровскими парами становится больше размера купе-ровской пары • Для чистого сверхпроводника Со ~ ~ с/ / У",. так что получается
6Т Тг
Именно в этой области можно говорить о куперов-ских парах как о частицах. Хотя этот интервал еще за пределами флуктуационной области, которая имеет место вблизи точки перехода в интервале 6Т/ТС ~ (Тс/е^)4, н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.