Письма в ЖЭТФ, том 90, вып. 6, с. 515-520 © 2009 г. 25 сентября
Сверхрешетка на основе графена на полосчатой подложке
Я. В. Ратников1^ Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН, 119991 Москва, Россия
Поступила в редакцию 12 августа 2009 г.
Рассматривается сверхрешетка на основе графена, образующаяся за счет периодической модуляции запрещенной зоны. Такая модуляция возможна в графене, осажденном на полосчатую подложку из диоксида кремния и гексагонального нитрида бора. Обсуждаются преимущества и некоторые возможные проблемы в рассматриваемой сверхрешетке. Предложена модель, описывающая такую сверхрешетку, в рамках которой с помощью метода матрицы переноса получено дисперсионное соотношение, позволяющее определить зависимость энергии носителей от импульса.
PACS: 71.15.Rf, 73.21.Cd, 73.61.Wp
1. Введение. В последнее время возрос интерес к сверхрешеткам (CP) на основе графена. С использованием метода молекулярной динамики проводились расчеты CP на основе графена с периодически расположенными рядами вакансий [1]. Были выполнены расчеты в рамках теории функционала плотности одноатомных по толщине CP, образованных "линиями" пар адсорбированных атомов водорода на графене [2].
Исследовался графен со складками - "риппла-ми" (rippled graphene), который можно рассматривать как CP с одномерным периодическим потенциалом "рипплов" [3-5]. Аналитически исследовались CP, полученные при приложении к графену периодического электростатического потенциала [6-9] или периодически расположенных магнитных барьеров [10-13].
Однако для CP на основе графена с периодическим электростатическим потенциалом не был учтен тот факт, что в случае бесщелевого полупроводника (графен) приложение электростатического потенциала приводит к рождению электронно-дырочных пар и перераспределению зарядов: электроны "перетекут" из области, где потолок валентной зоны лежит выше уровня Ферми, в область, где дно зоны проводимости лежит ниже уровня Ферми. CP по сути станет структурой, представляющей собой чередующиеся положительно заряженные области, где прикладывается электростатический потенциал, смещающий дираковские точки вверх по энергии, и отрицательно заряженные области. Возникнет сильный электростатический потенциал индуцированных зарядов, который существенно исказит исходный ступенчатый электростатический потенциал, а значит, и электронную структуру CP, рассчитанную без уче-
^ e-mail: ratnikoveipi.ru
та электростатического потенциала индуцированных зарядов.
Чтобы избежать рождения электронно-дырочных пар, мы предлагаем рассматривать СР, возникающую за счет периодической модуляции запрещенной зоны.
Ранее предлагалась СР, являющаяся периодической пленарной гетероструктурой из нанополосок графена, между которыми вставлены нанополоски гексагонального нитрида бора (Ь-ВМ) [14]. Проводились численные расчеты зонной структуры такой СР. Однако, по нашему мнению, сделать такую СР очень сложно даже с учетом достижений современной литографии, поскольку неизбежно возникли бы проблемы с контролем периодичности в процессе травления нанополосок в графеном листе и "вставкой" нанополосок Ь-ВМ. Во-вторых, Ь-ВМ является изолятором с энергетической щелью 5.97эВ, что существенно препятствует туннелированию носителей между нано-полосками графена. Такая гетероструктура, скорее, представляет собой набор квантовых ям, в котором волновые функции носителей из соседних квантовых ям почти не перекрываются.
В данной статье предлагается СР, образованная графеновым листом, нанесенным на полосчатую подложку. Полосчатая подложка делается из периодически чередующихся полосок БЮг (или любого другого материала, не влияющего на зонную структуру графена) и Ь-ВМ, как показано на рис.1. Слои Ь-ВМ расположены так, чтобы его гексагональная кристаллическая решетка находилась под гексагональной кристаллической решеткой графена. За счет такого расположения в областях графенового листа над слоями Ь-ВМ открывается энергетическая щель в зонной структуре графена, равная 53мэВ [15, 16] (графен с энергетической
Vy
Ь-ВЫ БЮ2 Ь-ВЫ БЮ2 Ь-ВЫ
Рис.1. Рассматриваемая система - лист графена на полосчатой подложке из периодически чередующихся полосок БЮг и Ь-ВЫ
щелью будем называть щелевой модификацией графена).
Предполагается, что все контакты между областями разной запрещенной зоны являются контактами
I рода (дираковские точки графена по энергии попадают в запрещенные зоны щелевой модификации графена). Такая СР является СР I типа (классификацию СР можно посмотреть, например, в обзоре [17]).
Существуют также и другие щелевые модификации графена. Оказывается, что в графене, эпитак-сиально выращенном на подложке БЮ, энергетическая щель ненулевая [18] и, согласно экспериментам с использованием фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением, она равна 0.26 эВ [19]. Недавно синтезирована гидрированием еще одна модификация графена - графан [20], в которой, согласно расчетам, прямая энергетическая щель в точке Г равна 5.4 эВ [21]. Однако делать вставки эпитаксиально выращенного графена между нанополосками бесщелевого графена не легче, чем делать вставки Ь-1Ш. У графана слишком большая энергетическая щель. Эти щелевые модификации графена, по нашему мнению, не годятся для изготовления СР.
Главным преимуществом предлагаемой СР является простота изготовления и контроля за ее периодичностью. Следует отметить, что в СР могут возникнуть некоторые проблемы. Рассогласование между постоянными решетки Ь-1Ш и графена составляет около 2% [16]. Если в одном периоде СР укладывается порядка 100 гексагональных ячеек графена, то может возникнуть нарушение образования энергетической щели в щелевой модификации графена в областях графенового листа над Ь-1Ш за счет неточного расположения атомов углерода над атомами бора или азота. Поскольку контакты между графеном и его щелевой модификацией не являются гетероконтакта-ми (контактами между веществами с различным химическим составом), края квантовых ям могут оказаться недостаточно резкими, чтобы их можно было рассматривать как прямоугольные квантовые ямы. Вместо резкого края, может быть переходный слой с изменяющейся в пространстве запрещенной зоной.
Наконец, сама подложка может оказаться напряженной. Возникающее периодическое поле напряжений подложки также может оказать влияние на зонную структуру предлагаемой СР, но мы считаем последний эффект крайне незначительным.
2. Модель, описывающая СР. Направим ось х перпендикулярно границам раздела полосок Ь-1Ш и БЮг, а ось у - параллельно им (рис.1). СР описывается уравнением Дирака:
(ьР*р + Аа: + V) Ф(®,у) = ЕФ(®,у), (1)
где г»/? и 108см/с - скорость Ферми; а = (сгх,ау) и сг- - матрицы Паули; р = —¿V - оператор импульса (используется система единиц с Н = 1). Полуширина запрещенной зоны периодически модулирована:
0, с1(п — 1)<х< —йц + йп, Д(Ъ —+ с1п < X < йп,
где п - целое число, нумерующее сверхъячейки СР; д,/ и йц - ширины полосок БЮг и Ь-1Ш, соответственно, а й = ¿1 + йц - период СР (размер сверхъячейки по оси х). Мы вводим также периодический скалярный потенциал V, который может возникнуть за счет несовпадения положения по энергии середины запрещенной зоны щелевой модификации графена
Е
Д =
—d -d¡
Ii
V
n = 0
'V
d x
n = 1
Рис.2. Одномерный периодический потенциал Кронига-Пенни СР, показанной на рис.1: периодически чередующиеся щелевая модификация графена на Ь-ВМ с энергетической щелью 2До = 53 мэВ и бесщелевой графен на БЮг
и положения конусных точек зоны Бриллюэна бесщелевого графена (рис.2):
V =
0, d(n — 1) < х < —du + dn, Va, —du + dn < x < dn.
Для того, чтобы CP была I типа, необходимо выполнение неравенства |Fo| < До- Решение уравнения (1) для 1-й сверхъячейки имеет вид
Ф(х,у) = ф1(х)е*к!>у, 0 <x<d.
о
0
d
о
Для п-й сверхъячейки, учитывая периодичность СР, можно записать:
фп(х) = фг(х + (п - 1 )6).
В области квантовой ямы (0 < х < (¿/) решение уравнения (1) есть плоская волна:
ф(Щх) = Щ1 ( ^ + Щ
Д1)
1 М)
п I ^ — ък\х
4
е
(2)
где Ик1 - нормировочный множитель. Подставляя (2) в (1), получаем соотношение между нижними и верхними компонентами спиноров:
Ь« = А+41), (#) =-А-С*,1), А± =
ур(к\ ± гку Е
Находим связь Е с кг и ку:
Е = + ку.
Выражение (2) удобно переписать в более компактной форме [7]:
ф^(х) = Пк1(х)( ^ V
Пк1(х) = Ик1
1 1
е
ъкгхсгг
. А. —А В случае выполнения неравенства
До + -{Е- > о
(3)
(4)
»0 -Г ирПу
решение уравнения (1) в области барьера (й/ < х < й) имеет вид
ф^(х) = Пк2(х)(а^] V
является осциллирующим, что соответствует замене в приведенном выше решении —^ 1X2-
В дальнейшем мы также рассмотрим вопрос о возможности существования таммовских минизон, образованных локализованными состояниями у границ раздела графена и его щелевой модификации. При этом кг г>с\, а к2 вещественно. Необходимым условием существования таммовских состояний является выполнение неравенства
\ку\ > 1*11.
чтобы энергия Е =
щ оставалась вещест-
венной величинои.
3. Вывод дисперсионного соотношения. Для
вывода дисперсионного соотношения мы воспользуемся методом матрицы переноса (Т-матрицы). Т-матрица связывает значения компонент спинора для п-й сверхъячейки с компонентами спинора того же типа решения для (п + 1)-й сверхъячейки, например, для решения в области квантовой ямы:
®п+1 \ _ т ( ^
с(1) / " I с(1)
сп+1 / \ сп
(Г)
Чтобы найти Т-матрицу, запишем условия непрерывности решения уравнения Дирака, описывающего рассматриваемую СР:
Отсюда получаем равенства:
(2) с(2)
= 0^(^)0 М)
с(1)
Пк2 (х) = Щ2 I ~ ~ | е
где введены обозначения
А±=
мр(к2 ± ку) Е + Д0 - :
(5)
к2 = + в)2.
п«
"п+1 1 _ (1)
С,
п+1
= 0^(0)0^) ¡2)
Согласно определению Т-матрицы (7), из послед-
.2)
них двух равенств следует соотношение'
т = ок11(о)ок2(^)ок21№)ок1№).
(8)
Решение уравнения (1) в области барьера в случае выполнения неравенства
До + У2рк1 ^{Е^ У0)2 < О
(6)
2)Отметим, что в определении Т-матрицы возможен произвол, связанный с циклической перестановкой сомножителей П-матриц, что, конечно, не меняет дисперсионное соотношение (10). В этом можно убедиться, сравнив формулу (8) настоя
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.