МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <1 • 2008
УДК 532.542:532.135
© 2008 г. Н. Н. АРЕФЬЕВ
СВОБОДНОЕ КРУГОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТИ СО СЛОЕМ ГИДРОСМАЗКИ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ КОАКСИАЛЬНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ
Приведено теоретическое исследование свободного кругового течения вязкопластичной жидкости в зазоре между коаксиальными цилиндрами со слоем гидросмазки на внутреннем цилиндре. Получены математические модели скоростей и напряжений сдвига для транспортируемой и смазывающей жидкостей в ламинарном режиме течения.
Ключевые слова: вязкопластичная жидкость, течение, смазывающая жидкость, транспортируемая жидкость, напряжения сдвига, кольцевая щель, реологические характеристики, структурный режим.
При проектировании шнековых грунтонасосных установок для добычи сапропеля [1] решается задача кругового течения вязкопластичной жидкости с гидросмазкой в кольцевой щели, образованной между коаксиально установленными цилиндрами. Основные закономерности кругового течения вязкой ньютоновской однородной жидкости между двумя коаксиально-цилиндрическими поверхностями бесконечной длины были найдены в [2], а также даны в [3, 4]. Некоторые вопросы кругового течения вязкопластичной жидкости рассмотрены в [2, 5-7]. При создании шнековых установок для перекачивания вязкопластичной жидкости на втулке шнека формируется смазывающий слой [1], толщина которого может достигать нескольких миллиметров. Ввиду этого необходимо провести специальные исследования такого течения.
1. Общие положения. Рассмотрим установившееся ламинарное изотермическое круговое течение в кольцевой щели между двумя коаксиальными бесконечными цилиндрами, один из которых (внешний) неподвижен, а второй (внутренний) вращается с постоянной угловой скоростью ю. В щели имеются две жидкости: в цилиндрическом объеме с радиусами от Я1 до г1 с пластической вязкостью п2 и предельным напряжением сдвига р02; и с радиусами от г1 до Я2 соответственно с п1 и р01. Принимаем, что жидкости не смешиваются. Жидкость с реологическими характеристиками п1, р01 назовем транспортируемой, а с п2, Ро2 - смазывающей. Ось г направлена по оси цилиндров. Предполагается случай, когда траектории всех частиц представляют собой концетрические окружности
При этом предположении из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости в цилиндрической системе координат [3] получим
Уг = 0, V, = 0
(1.1)
(1.2)
С учетом (1.1) и (1.2) составляющие тензора скоростей деформации в цилиндрической системе координат [3] определяются как
D„ = 2 ^ = 0, D„ + r & Yi) = r 4í V.
ir
д Vz dVr
D = + — = 0 D
Dn д Г dz
д V. 1 dVz д V. D = —. + - —z = —. D D.z д z Г д ф дz , Dzz
г д. дгV г 2Vг д.
f 1 дЬ + V
дгV г 0
(1.3)
дVz 2 = 0
дz
Согласно (1.3) интенсивность тензора скоростей деформаций (его инвариант) в соответствии с [3, 8] имеет вид
J
2 (Dlr + + Dlz) + Dl. + D. z + Dlz
1/2
i( Г)2)+№ ^
(1.4)
Следуя (1.3) и (1.4), составляющие определяющего уравнения (реологические уравнения) вязкопластичной жидкости [3, 8] в цилиндрической системе координат можно записать
Ргг = - p + (J° + Dr
- p;
Г ф
P0 + ni Dr,
Prz = [ 7 + nJDrz = 0; Рфф
- p +1 j + n J d.9
-p
(1.5)
P
.z
T + n]D.z; Pzz = - p + ípr + n)Dzz = -p
Тогда дифференциальные уравнения движения в напряжениях в цилиндрической системе координат [3] при подстановке (1.1), (1.2) и (1.5) принимают вид
= -1 дР + 1 ЭРП
г рдг р гЭф
дРгФ + дPфz + 2 рггфф = 1 дР дг дг г г Эф
1 дрфг = дР г дф дг
С учетом (1.3), (1.4) и (1.5) имеем
(1.6)
P
.z
Гс ф, z p 0
л/K
+ n ГЮф, z
K1 = (®ф, z)2 + (®Ф, г)2, ю
., z
дгс ф ,
д z , ГСф,Г
дгс ф д Г
где Юф - скорость вращения слоя жидкости на радиусе г (юф = Уф/г) Дифференцируя (1.7) по ф, найдем
дРфг_ „ ®ф, гф + р Юф . г(Ю ф, гЮ ф, гф + Ю ф, гЮф, гф ) + пг ,,
р0 ГГГ + р0 7)372 + пг Юф, гф
дф
K
■3/2 1
(1.7)
22 .. = д Гс. .. = д ГС.
Гсф,zф = дzдф, Гсф,Гф = дТэ.
После подстановки (1.2) в выше написанное уравнение на основании известной теоремы о смешанных производных второго порядка [9] получим
д Р
ф, г
дф
0
Из подстановки (1.8) в третье уравнение системы (1.6) вытекает, что
др = о
дг
С учетом (1.3), (1.4) и (1.5) имеем
(1.8)
(1.9)
Р
Гф
Ро
Ж
+ п г
ю
ф, Г
(1.10)
Дифференцируя (1.10) по ф, получим
д Р
Гф
Ро
дФ ТК
Юф, Гф +
юф, Г(юф, гюф , гф + Юф, гЮф, гф)
К
Из полученного уравнения с учетом того, что дЮф/дф = 0, имеем дРГф/дф = 0. Тогда первое уравнение системы (1.6) можно представить как
уф _ 1 др
г рдг Дифференцируя это уравнение по г
2 У ф д У ф _ 1 д_(дР) _ 1 д(дР
г дг рдг 1.д г) рдг1.дг
с учетом (1.9) получим д У ф
д г
ф
= 0
(1.11)
Таким образом, круговое движение вязкопластичной жидкости плоско-параллельное.
Второе уравнение системы (1.6) с учетом (1.11) и (1.7) можно представить в виде
д Р
гф
2 Ргф _ 1 др
дг г г дф После преобразования левой части уравнения (1.12) имеем
1 д (г2 Р ) _ дР г Ргф) дф
г д Л
(1.12)
(1.13)
Правая часть уравнения (1.13) зависит от ф, а левая часть не зависит, следовательно, обе части равны одной и той же постоянной величине. Далее рассмотрим случай кругового течения вязкопластичной жидкости с гидросмазкой, когда др/дф = 0, так называемое свободное течение.
Из (1.13) следует
д(г2Р )
д ггф>
0
(1.14)
Фиг. 1. Схема течения смазывающей жидкости: 1 - неподвижный цилиндр; 2 - вращающийся цилиндр; 3 - транспортируемая жидкость; 4 - смазывающая жидкость; 5 - граница жидкостей; 6 - ю; 7 - юф2 = /(г)
Уравнение (1.14) справедливо для транспортируемой и смазывающей жидкостей. После интегрирования (1.14) получим
r¿ p _ с
' гф1 _ *— 1 i
(1.15)
где Сц - константа интегрирования: при I = 1, 2 - для транспортируемой и смазывающей жидкостей соответственно.
Реологическое уравнение для транспортируемой и смазывающей жидкостей с учетом (1.10) и (1.11) имеет вид
Эю,
Pгфi _ Poi0i + nr ю
ф I
е,
ф;, r
ю
Sign-
ф1, r|
r
дю ф i dr
(1.16)
Подставляя (1.16) в (1.15) и интегрируя, находим
С; Рп;
Юф«- = - г-1^- тг0;1п г+С2;
2ц;г Ч;
(1.17)
где С2; - константа интегрирования.
Принимаем допущение, что течение в структурном режиме возможно только для транспортируемой жидкости, а смазывающая жидкость течет со сдвигом слоев. Это допущение справедливо при условии, что слой смазывающей жидкости мал по сравнению со слоем транспортируемой жидкости и обладает большей текучестью (Я2 - ги > ги - Я1). 2. Исследование течения жидкостей. Рассмотрим три случая течения: а) если при г = ги имеем |Ргф2| < р01, то течет только смазывающая жидкость (фиг. 1). Граничные условия для этого случая течения: на поверхности вращающегося цилиндра
Юф2 = Ю при г = на неподвижной стенке, в данном случае на поверхности квазитвердого цилиндрического стержня транспортируемой жидкости Юф2 = 0 при г = г1. С учетом граничных условий из (1.17) имеем
Г (р02лп К1 ЮЛ2 П2 К2!г2 (21)
с12 = I - Ю] -г—т (2.1)
^ п2 г1 / г1- Я1 2
с22 = -А- (Р^Ы ю]-^Ш г! (2.2)
22 г1- а2 ^2 г: ] П2 1
Подставляя (2.1) и (2.2) в (1.17), получим
2 2 2
(р02 г, Л А г, - г пт г,
Юф2 = I рТ1ПА- + " (2.3)
П2 ] г2 г1-а2 П2 г
Значения напряжений сдвига можно определить из (1.15), применив (2.1) р02, г! Л 2^2а1 г1
Ргф2 = -I Ю + ] 2 2 1 2 (2.4)
V п2 г (г1- А2)
Тогда условие такого режима течения (|Ргф2| < р01 при г = г1) запишем в виде
2 п2 А1 ( Рс^ г1 Л
Р01 ^ -2—2 (Ю + -Пг1пА"
Напряжение на стенке вращающегося цилиндра определим из (2.4) при г = Я1
2
„ ( Р02л г1 Л 2П2г1
= -1Ю +—1п7Г
П2 г1- а1
Если смазывающая жидкость ньютоновская (р02 = 0), то из (2.3) и (2.4) имеем
А1 г1- г2
Юф2 = Ю -ТТ-З (2.5)
г г1-
Ргф2 = -Ю (2.6)
г ( г 1 - А )
где ц2 - динамический коэффициент вязкости ньютоновской смазывающей жидкости.
Если г1 = А2 (т.е. по всему кольцевому сечению течет ньютоновская жидкость), то (2.5) и (2.6) совпадают с результатами исследований [3, 4].
б) Если при г = г1 имеем |Ргф2| > Р01, то транспортируемая жидкость течет со сдвигом слоев. При этом рассмотрим случай, когда г1 < г0 < Я2 (фиг. 2). Из уравнения (1.15) можно написать для транспортируемой и смазывающей жидкостей при г = г1
Р = Р = ^11 = С12
■ггф1 гф2 2 2
г1 г1
откуда получим, что Сп = С12 = С1. Кроме того, из уравнения (1.16) для слоя транспортируемой жидкости при г = г0 имеем Ргф1 = Р01Э1. При этом производная дюф1/дг
Фиг. 2. Схема течения смазывающей и транспортируемой жидкостей, когда г1 < г0 < Г2: 1 - неподвижный цилиндр; 2 - вращающийся цилиндр; 3 - транспортируемая жидкость; 4 - смазывающая жидкость; 5 - граница жидкостей; 6 - граница движения транспортируемой жидкости; 7 - ю; 8 - ю^ 9 - юф2 = /(г); 10 - юф1 = /(г)
для г = г0 + У г и У г ^ 0 при свободном круговом течении имеет отрицательный знак, откуда
Г 2
- -г0р01
Для течения смазывающей жидкости имеем граничные условия: юф2 = ю при г = Я1. Из уравнения (1.17) получим
2
С22 - ю- ^ -Р-02Ы^ 2цЖ п2
2 (2.7)
Рщ r r0 Р02 f 1 1 J
ю*2 = ю + П21п*riñ2 I^r^J
Для течения транспортируемой жидкости выполнено: юф1 = ю1 при г = г1; юф1 = 0, г = г0. Из (1.17) следует
2
ют, - ю, + -1п---- (
2П ^
2
ю, - -—1п- + -
^ ч '0'
Для смазывающей жидкости также имеем юф2 = ю1 при г = г1. Тогда из (2.7)
2
"1- ю + Г-^(М) <2.9)
п2 г1 2п2 (г2 г2)
2
Рои Г r0Р01 f 1 1 J
(2.8)
= -lp0iinr0+ r0pp01 f 1_1
Ti! ^ 2^1Г11 Ь r2
Приравнивая правые части (2.8) и (1.14), найдем выражение для определения г0
22
1 Ртл г0 (
+---1п—+ - Ю -
П г1 1 2П1 П2 А
2 p01
z nz • 1 - r 1 ,2 2
v^2ri ri П?
(2.10)
Уравнение (2.10) может быть решено относительно г0 численными методами. Как показали исследования, достаточную степень точности можно получить, взяв лишь первые три члена ряда Тейлора 1п(г0/г1)
'о i' 0
11
1( Го
"2Iг1"
(2.11)
Погрешность приближения применительно для случая исследования не превышает 2.5%. Тогда уравнение (2.10) после подстановки в него (2.11) преобразуется в квадратное, в результате аналитического решения которого получим г0 в явном виде
- b +
JiT-
4 ac
2a
22
•i - R + 1
n 2 2 2 ^2r1 г1 п? r1.
P01
±Pjn. 2 г? п 1'
b = -2
p 01 П iri
с = - ю-Р01 + 3 РП01-РП021п П
2П1 2 П2 А
Условие такого режима течения записывается в виде г1 < г0 < А2. Если вязкопластич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.