МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014
УДК 533.5
© 2014 г. В. Л. КОВАЛЕВ, В. В. КОСЬЯНЧУК, А. Н. ЯКУНЧИКОВ
СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ЧЕРЕЗ КОЛЕБЛЮЩУЮСЯ
МЕМБРАНУ
Проведено исследование свободномолекулярного течения газа через мембрану, колеблющуюся в своей плоскости. Рассчитана вероятность прохождения мембраны молекулами газа в зависимости от безразмерных параметров, характеризующих геометрию каналов, массы молекул и температуру газа, частоту и амплитуду колебания мембраны. Показано, что можно управлять проводимостью мембраны для того или иного газа с помощью изменения параметров вынужденных колебаний.
Ключевые слова: мембрана, сепарация, разделение газов, высокочастотные колебания, мик-ро-электромеханические системы, свободномолекулярное течение.
Мембранные технологии востребованы во многих областях, главным образом для фильтрации и очистки жидкостей и газов, разделения смесей и как функциональные компоненты современных микро- и нано-электромеханических систем (MEMS, NEMS). Современные технологии производства позволяют получать мембраны с широким диапазоном характеристик. Один из типов мембран — трековые мембраны, которые получаются облучением полимерных пленок потоком высокоэнергетичных частиц [1]. В местах пролета этих частиц (ускоренных тяжелых ионов или осколков деления) образуется сквозное отверстие ("трек"). Получаемые таким образом поры прямолинейны и имеют малый разброс по размерам — менее 5% при их диаметрах 10— 100 нм [1]. Таким образом, главные отличительные свойства трековых мембран — малая толщина и высокая однородность пор по размерам.
В настоящей работе изучается возможность использования колеблющихся с высокой частотой трековых мембран в качестве диффузионных мембран для разделения газов. Высокочастотные вынужденные колебания мембраны рассматривались в связи с предположением, что можно управлять проницаемостью мембраны различными газами, варьируя частоту и амплитуду колебаний. В работе дана постановка задачи о свободномолекулярном течении газа через колеблющуюся в своей плоскости мембрану и исследована возможность разделения газов с помощью такого устройства.
1. Постановка задачи. Изучалось течение многокомпонентного газа в движущейся мембране толщиной L, имеющей прямолинейные цилиндрические каналы радиуса R, ось которых перпендикулярна поверхности мембраны (фиг. 1). Мембрана разделяет два резервуара (1) и (2), давления P], р и температуры T], р в которых поддерживаются постоянными, причем T] = р = Tw, где Tw — температура материала мембраны.
Предполагалось.
1. Течение в канале мембраны свободномолекулярное.
2. Распределение скоростей молекул, попадающих в канал мембраны из резервуаров (1) и (2), равновесное максвелловское, соответствующее температуре резервуара.
3. Все каналы мембраны одинаковые и имеют форму прямого кругового цилиндра длины L и радиуса R.
Фиг. 1. Схема задачи: 1, 2 — резервуары, разделенные мембраной, стрелкой показано направление колебания мембраны
4. Мембрана движется как абсолютно твердое тело. Закон движения точек мембраны: х = х0, y = y0 + A sin (ш + ф), г = z0.
5. Протекающий в мембране газ не оказывает влияние на ее движение.
6. Температура стенки Tw поддерживается постоянной и одинаковой вдоль канала.
7. Взаимодействие молекулы газа сорта i с поверхностью канала мембраны описывается ядром рассеяния Максвелла с полной аккомодацией энергии и импульса.
8. Молекулы газа моделируются как материальные точки, внутренние степени свободы не учитываются.
9. Массовые силы, действующие на молекулы газа, пренебрежимо малы.
Первое предположение дает возможность не учитывать столкновения молекул газа внутри канала и рассчитывать траектории молекулы независимо от других. Второе предположение будет справедливо, если в самих резервуарах течение газа также сво-бодномолекулярное, а стенки имеют постоянную температуру. В противном случае распределение скоростей молекул, попадающих в канал мембраны, будет зависеть от течения в мембране (и параметров движения самой мембраны).
2. Моделирование течения. Задача решалась методом событийного молекулярно-ди-намического моделирования (EDMD). Существенное упрощение состояло в том, что рассматривался случай свободномолекулярного течения, поэтому траектория прохождения канала может быть рассчитана независимо для каждой молекулы. В случае сво-бодномолекулярного течения используемый метод с физической точки зрения идентичен методу прямого статистического моделирования Монте-Карло, различия присутствуют лишь в реализации.
Расчет состоял в следующем. На входном сечении канала создавались молекулы в соответствии с граничными условиями. Затем для каждой молекулы рассчитывались точки столкновения со стенкой канала. Если молекула вылетела из канала, то расчет этой траектории заканчивался. Если же молекула столкнулась с каналом, то по ядру рассеяния рассчитывалась ее новая скорость и новая точка столкновения. Так продолжалось до тех пор, пока молекула не вылетит из канала.
1. Начальные координаты и скорости молекулы. Начальные координаты молекулы находились из естественного предположения, что точка входа молекулы в канал рав-
номерно распределена по площади его входного сечения. Таким образом, плотности распределения для угла ф и радиуса г в цилиндрической системе координат будут
/ф(ф) = ^, гг(г) =
2п Я
По этим распределениям легко получить выражения для генерации координат очередной молекулы: ф = 2п г = , где W1, Ж> — случайные величины, равномерно распределенные от 0 до 1. В декартовой системе координат (относительно центра входного сечения канала)
х = Я^сс^ (2кЖ1 ), у = Я/^т (2пЖ1), г = 0
Функция распределения скорости для молекул ;-го сорта в резервуарах предполагалась максвелловской
т = Щ3 exp(-p2«2), в, = ч2kT
где T — температура резервуара, k — константа Больцмана, mt — масса молекулы '-го сорта газа. Тогда распределение скоростей молекул, влетающих через входное сечение канала, будет
g(u) = ^ exp(-p2«2) п
Для функции g(u) можно в явном виде получить формулы для генерации случайных скоростей влетающей в канал молекулы
«x cos(2nW3), ^^ ^^^sin(2nW3), ^^ = ^^
Pi Pi Pi
где W3, W4, W5 — случайные величины, равномерно распределенные от 0 до 1.
Фаза движения канала ф в момент, когда молекула из резервуара попадает в канал, находилась из естественного предположения, что моменты времени, когда молекулы влетают в канал, равномерно распределены во времени: /ф(ф) = 1/2л. Аналогично случаю начальных координат, ф = 2п W. Таким образом, начальное положение центра входного сечения канала задается
х = Xq , y = Уо + A sin (2nW6 ), z = Zo
где W6 — случайная величина, равномерно распределенная от 0 до 1.
2. Расчет точек столкновения со стенками канала. В сделанных выше предположениях влиянием внешнего поля массовых сил, действующих на молекулу газа, пренебрега-лось. Кроме того, течение в канале предполагается свободномолекулярным. В этом случае траектории молекулы между точками столкновения со стенками канала мембраны суть прямые линии. Направление этих линий определяется вектором скорости, которую молекула получила при очередном столкновении со стенкой канала (или скоростью на входном сечении канала, если молекула еще ни разу не столкнулась со стенками). Таким образом, закон движения молекулы газа между столкновениями можно записать
r(t) = г,- + и,- (t - ti)
где г,- = (x,, y,, Zi ) — координаты предыдущего ('-того) столкновения с каналом (или начальная координата молекулы при влете в канал), u; — скорость молекулы после ''-того
столкновения (или при влете в канал), t¡ — время ¡-того столкновения (или момента влета в канал). Уравнение поверхности канала
(x - xa(t)f + (y - ya(t))2 = R2
где xa, ya определяют положение оси канала: xa(t) = 0, ya(t) = A sin(rat + ф). Тогда время очередного столкновения молекулы с каналом определяется из уравнения (x¡ + u¡ x(t — t¡))2 +
+ (yi + ui y(t -1¡) - A sin (®t + ф))2 - R2 = 0. Численное решение данного уравнения в широком диапазоне изменения параметров A и ю и возможных скоростей u¡ очень трудоемко. Ввиду этого закон движения оси канала ya(t) = A sin(rat + ф) было решено приблизить ломаной линией с равноотстоящими друг от друга узлами. Шаг ломаной выбирался таким, чтобы его дальнейшее уменьшение существенно не влияло на результаты расчетов.
В этом случае задача отыскания времени очередного столкновения с каналом сводится к последовательному решению квадратных уравнений на отрезках ломаной
(( + u^t -1¡))2 + (( + u¡y(t - ti) - (cijt + bj))2 - R2 = 0
где а, Ь, определяюту-тый отрезок ломаной. Эти уравнения решаются до тех пор, пока не будет найден корень, принадлежащий этому же отрезку разбиения ломаной.
3. Взаимодействие молекулы со стенкой. Взаимодействие молекулы газа со стенкой канала мембраны описывалось в терминах ядра рассеяния. Для конкретной комбинации газа и материала мембраны параметры ядра рассеяния (и сама модель рассеяния) могут быть подобраны из траекторных молекулярно-динамических расчетов [2—4]. Выбор теоретической модели для описания рассеяния в некоторых задачах оказывается принципиальным. Использование зеркально-диффузной модели Максвелла в задаче о транспирации приводит к результатам, качественно отличающимся от эксперимента [5], а ядро Черчиньяни—Лэмпис не допускает зависимости коэффициентов аккомодации от энергии падающих на поверхность молекул [6].
В данной работе использована наиболее простая модель рассеяния, так как целью было получить первые качественные оценки касательно возможности использования предложенной системы для разделения смесей. Предполагалось, что при взаимодействии молекулы газа со стенкой канала мембраны происходит полная аккомодация энергии и импульса, а скорости после отражения распределены согласно равновесной максвелловской функции, соответствующей температуре поверхности мембраны Тм. Такое ядро — предельный случай для всех теоретических моделей рассеяния
R(u', u) = 2pt,i-n 1u„exp( - pW.iU2), P„,,¡ = Vm (2kTw) 1
где u, u — векторы скорости молекулы до и после столкновения с поверхностью, ип — нормальная к поверхности компонента векто
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.