ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
СВОЙСТВА МУЛЬТИСКИРМИОНОВ И ИХ КВАНТОВАНИЕ В ОБОБЩЕННОЙ КИРАЛЬНОЙ СОЛИТОННОЙ МОДЕЛИ
© 2004 г. А. М. Шундерюк*
Институт ядерных исследований РАН, Москва; Московский физико-технический институт (государственный университет), Россия
Поступила в редакцию 02.06.2003 г.
Проведено квазиклассическое квантование модели Скирма с членом шестого порядка по производным кирального поля в лагранжиане. Вычислены орбитальный, изотопический, интерференционный и флейворный тензоры инерции. Для данного варианта модели произведены численные расчеты энергий возбуждения флейворов в барионных системах.
1. ВВЕДЕНИЕ
Модель Скирма барионов как солитонов ки-ральных полей позволяет описывать мезоны и ба-рионы с помощью одного и того же эффективного лагранжиана [1]. При этом конфигурации с различными барионными числами рассматриваются как решения этого эффективного лагранжиана, принадлежащие различным топологическим классам.
Динамическим полем модели является унитарная матрица U(ж) е SU(2):
U = eif = cos f + i sin f (n • t),
n2 = 1,
выражающаяся через мезонные поля п, а согласно формулам п = (Fn/2)n sin f, а = (Fn/2) cos f, со связью
п2 + а2 = const. (1)
Граничное условие U(|r| = oo,t) = 1 (что соответствует физическому вакууму) позволяет разбить все полевые конфигурации U(r) на топологические классы в зависимости от кратности отображения пространства r е R3 в пространство внутренней симметрии, а именно в сферу фиксированного радиуса в четырехмерном пространстве (п, а). Существует сохраняющийся (в силу связи (1)) топологический ток
в>и = LvLaLp, (2)
который определяет топологический заряд
B = I B °d3r,
Ckin = -(dß7vd^7v + dßacra) (3)
совпадающий с кратностью отображения. Антиэрмитова матрица Lц = d^UU^ — левая киральная производная. Граничное условие гарантирует, что B — целое число. С физической точки зрения топологический заряд B отождествляется с барионным числом конфигурации мезонного поля [1].
В терминах поля U кирально-симметричный кинетический член в мезонном лагранжиане
1
2<
принимает вид
Ain = Цтг^С/^С/t = -Цтг L^. (4)
Как известно, статическое решение уравнений Лагранжа—Эйлера является минимумом функционала энергии. Но масштабное преобразование r — — ar показывает, что функционал энергии, соответствующий лагранжиану (4), не имеет минимума. Стабилизировать солитон можно добавлением в лагранжиан членов высшего порядка по производным, причем для возможности последующего квантования необходимо ограничиться только первыми производными поля U и степенью производной по времени не выше квадратичной.
До сих пор изучался главным образом оригинальный вариант модели Скирма (Sk(4)), в котором солитон стабилизируется членом четвертого порядка по производным
U = -тг^Тг^,^]2. (5)
32eSfc
Другой вариант модели, удовлетворяющий вышеперечисленным требованиям, содержит член шестого порядка по производным в лагранжиане
E-mail: A.Shunderuk@umail.ru
Le = -CeTr [Lß,Lv ][LV ,La][La,Lß].
(6)
Ранее он исследовался только на классическом уровне [2], а в настоящей работе проведено и квазиклассическое квантование.
Суммарный лагранжиан модели содержит также нарушающий киральную симметрию массовый член:
£ = £кш + £4 + £6 + (7)
где
16
(8)
U (r
= eif (т)п(в,ф)-т.
Функция п(в, ф) определяет отображение степени N единичной двумерной сферы в координатном
пространстве в единичную двумерную сферу в изо-спиновом пространстве (Б2 ^ Б2). В общем случае N = В для конфигураций наименьшей энергии (что означает граничные условия f (0) = п,
I (+~) = 0).
Единичную сферу в координатном пространстве с помощью стереографической проекции можно преобразовать в комплексную плоскость
в
tg26
iф
(10)
Все качественные свойства классических решений (обсуждаемые в следующем разделе) не зависят от наличия массового члена ввиду малой массы п-мезона.
В обобщенной модели содержатся следующие четыре константы: Fn — константа распада п-мезона; mn — масса п-мезона; eSk и c6 — свободные параметры, определяющие коэффициенты перед Sk(4)- и £й(6)-членами соответственно.
2. КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Численные исследования показали, что полевые конфигурации наинизшей энергии обладают различными симметриями для различных барион-ных чисел B. Для B = 1 это сферическая симметрия, для B = 2 — аксиальная [3], для B = 3 — тетраэдральная, для B = 4 — кубическая и т.д. [4]. Симметрии скирмионов с барионными числами до B = 22 включительно определены в [5]. Для B > 6 все из них, за исключением двух случаев, сформированы из 12 пятиугольников и 2B — 14 шестиугольников. Для высших барионных чисел недавно были найдены конфигурации с икосаэдральной симметрией (B = 37, 47, 67, 97) [6]. Численные расчеты для B < 5 в Sk(6) и смешанном вариантах модели продемонстрировали, что и в этом случае скирмионы обладают теми же симметриями [2]. Тороидальное решение в Sk(6)-варианте модели впервые было найдено в [3].
Для описания таких решений в работе [7] было предложено использовать дробно-рациональные отображения (rational map ansatz (RM)). Значения классических масс, полученные с помощью этого метода, с хорошей точностью (~2%) совпадают с результатами численных расчетов.
Основная идея данного подхода заключается в том, что функцию профиля f можно считать зависящей только от расстояния до центра скир-миона, а единичный вектор n — только от угловых переменных, т.е.
так же как и единичную сферу в изоспиновом пространстве — в свою комплексную плоскость:
2ReR 21шЯ
nx -
1 + R
1 + R
(11)
nz =
i-l др i + №
тогда R(z) будет дробно-рациональной функцией степени N.
Пользуясь тем, что \dRfdz\ — якобиан отображения г ^ R(z), легко доказать, что следующая интегральная величина выражается через степень отображения:
2 (1БХ
J r2(dkn)2dQ = (12)
1 п
1 +
TTW
dR
dz
(1 + |z|2 )2;
где (дкп)2 = (дкп, дкп), к = 1... 3, dБz — элемент площади на комплексной плоскости, а dQ — телесный угол в координатном пространстве,
4dБz
dQ =
(13)
(1 + |z|2)2'
Используется обозначение для углового интеграла
о- 1
у = — 8п
Jr4[di n,dk n]2dQ= (14)
1 п
l + |z|2 1 + 1 R\<
dR
dz
dSz
(1 + |z|2 )2'
(9)
Неравенство Коши—Буняковского для интегралов N и 9 дает 9 ^ N2, причем численные расчеты показывают, что для конфигураций наи-
меньшей энергии.
Выберем в качестве единицы длины 2/(^Ле), в качестве единицы энергии 3п2Гп/е, где е = = eskVT^X, А/(1 - А)2 = 48с6Р2е43к. При А = 0 мы получим модель Скирма в оригинальном варианте (без Бк(6)-члена), а при А = 1 — чистый Бк(6)-вариант (без Бк(4)-члена). В последнем случае е =
z
4
СВОЙСТВА МУЛЬТИСКИРМИОНОВ И ИХ КВАНТОВАНИЕ
771
Обезразмеренная таким образом классическая масса скирмиона, полученная из (7) с помощью дробно-рационального отображения в пределе тп = 0, имеет вид [2, 8]
Мс1а8 = ^ I |(г2/,2(Г) + 2Б4)+ (15)
П V
+ (1 - X)sj ( 2Bf\r) + ) + Л3^/,2(r) \dr,
а усредненная по углам плотность барионного числа
рв(г) = 4тг r2B°(r) = -—s2ff'(r). (16)
п f
Здесь и далее Sf = sin f, Cf = cos f. Интегралы по углам взяты с использованием формул (12) и (14). Таким образом, задача минимизации классической массы распалась на две независимые задачи: минимизацию углового интеграла 9 и функционала массы (15), зависящего только от функции профиля
f (r).
Технически основная трудность связана с нахождением величины 9 и конкретного вида отображения сферы на сферу. Как показано в [8, 9], задача минимизации функционала (15) и исследования основных характеристик мультискирмионов в зависимости от параметров B, 9 с хорошей точностью может быть решена аналитически. При этом многие характеристики мультискирмионов слабо зависят от углового распределения, так как параметр 9 либо вообще не входит в формулы, либо входит посредством близкого к единице фактора
■t/Щв2. Из квадратичной структуры функционала (15) можно вывести требующуюся подстановку для функции профиля:
(г/г0)ь - 1 COS / = -—;--Г-7, 17
где b и го — параметры, которые должны быть определены минимизацией функционала массы (15). Очевидно, что r0 имеет смысл радиуса скирмиона. При B » 1 в чистом Sk(4)-случае (Л = = 0) было найдено
/V."11
го
B
(18)
а в чистом Sk(6)-случае (Л = 1)
/V."11
го
0
2
4
6
8
Рис. 1. Функции профиля КМ мультискирмионов для различных барионных чисел, полученные минимизацией функционала массы (15) в Як(6)-варианте модели (Л = 1). Кривые: 1 — численное решение для В = 1; 2 — численное решение для В = 17; 3 — аналитическое приближение для В = 17. Масштаб по радиусу выбран е).
ж
В
_8_ 4/_8_3
Зтг V 15Д2'
(19)
Поскольку 9 ~ B 2, то размер скирмиона r0 ~ у/В, а классическая масса пропорциональна B. Функция профиля f (r) и ее аналитическое приближение изображены на рис. 1.
Из формул (15) и (16) прямо следует, что плотности энергии и барионного числа отличны от нуля только в той области пространства, где происходит непосредственное изменение функции профиля f (r) от п до 0, т.е. внутри некоторой оболочки го — w/2 ^ r ^ r0 + w/2, вне которой f (r <r0 — — w/2) w п, f (r > r0 + w/2) w 0. Ширину оболочки w можно определить как удвоенное расстояние между точками, где cos f = ±1/2, тогда w = = 4(r0/b) ln 3 не зависит от B.
Таким образом, у скирмионов с большими ба-рионными числами масса и барионный заряд сконцентрированы на поверхности сферы, радиус которой растет с барионным числом как у/В, а толщина оболочки постоянна для скирмионов с различными барионными числами (см. рис. 2). Средняя объемная плотность энергии в оболочке Mcias/(4nr^w) также практически не зависит от B [9, 10].
3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ
По каждому статическому решению U(r) можно с помощью вращений в обычном и изоспиновом пространствах построить вырожденное по энергии семейство конфигураций U(r,A,R) = AU(Rr)A^, где A — унитарная SU(2)-матрица, а R — ортогональная 0(3)-матрица. При квантовании этих нулевых мод модели параметры R и A становятся динамическими переменными R(t) и A(t).
2
4
Г
0.08
0.04
Ет{ = 2®аЬиа,ЫЬ + ©аб^Л + ^аЬ^а^Ь,
А А = --ш 2
(ií ЦТ )гк = е^к ПЛ.
1г = в' ^ + в^П
Л
.г = вЛ П + .
в
I ^)
=
- ^ ^лл ♦
Тогда оператор энергии вращения выражаетс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.