Автоматика и телемеханика, Л- 10, 2007
Оценивание в системах
РАС Б 02.30.Yy. 02.50.Cw
© 2007 г. Н. В. МЕДВЕДЕВА, Г. А. ТИМОФЕЕВА, д-р физ.-мат. наук (Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург)
СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ1
Рассматривается задача доверительного оценивания для статистически неопределенных систем с наблюдением, т.е. для систем, в описании которых присутствуют как случайные возмущения с известными распределениями, так и неопределенные возмущения, информация о которых исчерпывается заданием областей их возможных значений. Доверительные оценки для состояния системы строятся па основе предложенного ранее метода, основанного па использовании случайных информационных множеств. Исследуется поведение доверительных множеств при стремлении к пулю дисперсий случайных возмущений. а также при стягивании в точку множеств неопределенности неслучайных возмущений.
1. Введение
На практике важное значение имеют задачи оценивания состояния динамических объектов, динамика которых зависит как от случайных воздействий, не имеющих точно заданных статистических характеристик, так и от неслучайных воздействий, о которых известна только область их возможных значений.
Задачи оценивания состояния динамической системы в условиях неполной статистической информации о распределениях случайных возмущений исследуются, начиная с [1. 2]. где были построены рекуррентные соотношения для множеств возможных средних значений фазового состояния. В [3 5] исследовались проблемы нахождения оптимальных линейных оценок для статистически неопределенных систем. В [6] предложены линейные рекуррентные процедуры доверительного оценивания состояния многошаговой статистически неопределенной линейной системы.
В [7] предложены нелинейные процедуры оценивания, основанные на минимизации функции невязки. В [8] предложен новый подход к построению доверительных оценок для статистически неопределенных систем с наблюдением, там же приведены примеры, в которых применение этого подхода приводит к значительному уточнению доверительных оценок по сравнению с оценками, полученными с помощью линейных процедур. В [9] проведен сравнительный анализ линейных и нелинейных процедур оценивания.
1 Работа выполнена ири финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00434).
В работе рассмотрены свойства нелинейных оценок для статистически неопределенных систем, в описании которых присутствуют как случайные возмущения с известными распределениями, так и неопределенные возмущения, информация о которых исчерпывается заданием областей их возможных значений. Показано, что. с одной стороны, построенные доверительные множества приближаются к информационным множествам задачи без случайных возмущений при стремлении дисперсий случайных возмущений к нулю. С другой стороны, при стягивании в точку областей неопределенности, доверительные множества для статистически неопределенной системы приближаются к доверительным множествам задачи с полной информацией о распределениях случайных возмущений. Построены примеры, иллюстрирующие данные утверждения.
2. Постановка задачи и основные определения
Рассмотрим простейшую задачу оценивания вектора х из Мп в условиях неполной статистической информации. Задача оценивания состояния линейной многошаговой системы с наблюдением сводится к задаче оценивания вектора. Пусть
(1) х = хо +
у = Сх + V + Q 2^2-
Здесь х - неизвестный п-вектор системы, у — известный ш-вектор наблюдений. Помехи £1, £2 являются независимыми гауссовскими случайными векторами раз-пш
(2) Е£ 1 =0, Е£ 2 =0, Е£1£1 = /(п), Е£ 2$ = 1(т).
Здесь Е - знак математического ожидания, т - знак транспонирования, 1(п) - единичная матрица размера п, Q1, Q2 — невырожденные матрицы размера п х пи ш х ш соответственно.
Статистическая информация о векторах х0 € Мп, V € Мт отсутствует, известны лишь области их возможных значений
(3) хо € Хо, V € V,
где Хо, V — заданные компакты из Мп и Мт соответственно.
Наряду с системой (1) (3), будем рассматривать, как вспомогательную, систему с неслучайными возмущениями различного вида
(4) х = хо + Qldl, хо € Хо,
у = Сх + V + Q2d2, V € V.
Здесь информация о возмущениях ¿1, хо, V исчерпывается заданием множеств их возможных значений, а именно ограничениями (3) и включением
(5) = {¿1, ¿2} € В,
где В - заданное множество из Мт+п.
Для оценивания систем с неполной информацией и без случайных возмущений традиционно используются информационные множества [10].
Определение 1. Информационным множеством системы, (4) (5) называется множество
Х(В) = Х(у, хо, V, В) с мп
такое, что для каждого x е X(D) найдутся значения неопределенных параметров x* е X0, v* е V, d* е D, для которых выполнены соотношения (4) при заданном наблюдении у.
3. Линейные доверительные оценки
Перейдем к построению доверительных оценок для задачи (1) (3). Линейные процедуры оценивания для линейных статистически неопределенных систем с наблюдением хорошо известны [1 3]. а доверительные оценки для задачи (1) (3) могут быть построены, в частности, на основе следующего утверждения.
Утверждение 1 ([9]). Пусть Л - произвольная матрица размера n х m, и множество Ba является доверительным множеством для случайного вектора
(6) e = e(£i,6) = (1 - ЛС^ - Лд2б-
Тогда множество Xa = Х(Л) + Ba является доверительным множеством для вектора x уровня не ниже чем а, т.е. P{x е Ха} > а для любых x0 е X0, v е V. Здесь
(7) X = ХХ(Л) = (/ - ЛС)Хо +Л(у - V).
Утверждение 1 следует непосредственно из условий (1) (3).
Оценки вида X(Л) + Ba традиционно используются в качестве доверительных
Л
(8) Л = PiGTR-\
(9) Pi = (Ро-1 + GTR-1G)-1, Po = QiQj, R = Q2Ql,
то множество XX = Х(Л) является множеством апостериорных средних значений вектора x [2]. Оценку X + Ba будем далее называть стандартной линейной доверительной оценкой.
Как известно [2]. линейные оценки для статистически неопределенных систем не сходятся к информационному множеству системы без случайных возмущений при стремлении дисперсий случайных возмущений к нулю.
Пример 1. Рассмотрим простейшую задачу оценивания x е R1 по наблюде-у
(10) x = xo +
у = x + v + •
Помехи ^^ ^2 _ независимые гауссовскне случайные величины
(И) = ЕЬ =0, ££2 = = 1.
Известно также, что
(12) xo е Xo = [-1; 1], v е V = [—1; 1] •
Пусть а = 0.1, и ревизовал ось у = 2.
Линейная оценка для данной задачи имеет вид
Xa = X + Ba, Ba = [- Да ; Да] =
где ta - двусторонняя квантиль нормального распределения, т.е. P{|£| < ta} = а X = 0,5X0 + 0,5(у - V) = 0,5[—1; 1] + 0,5[1; 3] = [0; 2].
ta/2a ta/2a
При а = 0,9 получим = 1,65 и Ха = [-0,165; 2,165]. Если бы а = 0,01, то Ха = [-0,0165; 2,0165] Э Х = [0; 2].
Однако если а = 0, т.е. случайных возмущений нет, то оценкой неизвестного параметра х было бы информационное множество: Х= Хо П (у — V) = {1}.
Попробуем построить оценку, используя пересечение доверительных множеств. Возьмем доверительные множества для £1 и £2 вероятноети в = л/а, получим при а = 0,9 а = 0,1:
Ха = (Хо + [—0,195; 0,195]) П (у — V — [—0,195; 0,195]) = = [—1,195; 1,195] П [0,805; 3,195] = [0,805; 1,195].
Однако, если бы реализовалось у = 2,4, то получаем, рассуждая аналогично, пустое доверительное множество Ха = [—1,195; 1,195] П [1,205; 3,595] = 0.
Таким образом, процедуру пересечения доверительных множеств нужно приме-
у
пользуя условные вероятности событий.
В [8] был предложен метод построения доверительных множеств для статистически неопределенных систем, основанный на использовании случайных информационных множеств.
Определение 2 ([11]). Случайным информационным множеством Х(£) =
= Х(у, Хо,У, £) будем называть множество состояний системы (1)-(3), совме-
у
£ = {£1, £2}, т.е.
Х(£) = (Хо + Ql£l) П С+(у — V — Q2£2),
где С+ - обратный оператор, т.е. С+г = {м € Мп : г = См}.
Утверждение 2. {Х(у, Хо, V, £) = 0} ^ {#2£ € у — V — СХо}, г<?е #2£ = = GQl£l + Q2£2.
Доказательство утверждения 2 приведено в Приложении. Отметим, что из утверждения 2 следует, что {Х(у, Хо, V, £) = 0} - случайное событие, так как оно эквивалентно событию, состоящему в том, что случайная величина Н2£ принадлежит измеримому множеству.
Определение 3 ([8]). Множество Ха будем называть доверительным мно-а
условная вероятность
(13) Р{х € Ха | у, хо € Хо, V € V} 4
4 Р{Х(у, Хо, V, £) с Ха | Х(у, Хо, V, £) = 0} = а.
Заменить условную вероятность на безусловную в определении нельзя, так как при этом теряется смысл задачи оценивания, а доверительные множества могут оказаться пустыми, что было проиллюстрировано примером.
4. Свойства нелинейных оценок
х
существуют по крайней мере два возможных подхода. Первый основан на линейных соотношениях и объединении доверительных множеств (утверждение 1), второй связан с определением 3. Необходимо отметить, что процедуры линейного оценивания
значительно проще, чем методы, основанные на определении 3. Для построения нелинейных оценок можно применить следующую теорему.
Теорема 1 ([8]). Пусть множество Dß с Rm+n является доверительным множеством уровня ß для случайной величины т.е. P{£ G Dß} = ß, тогда информационное множество X(Dß) = X(y,X0, V, Dß) системы {4) Щ при D = Dß является доверительным множеством уровня не ниже чем а = 1 — а-1(1 — ß) для неизвестных состояний статистически неопределенной системы (1) (3). Здесь
ai = P {X(y,Xo,V,£) = 0}.
Доверительные множества Xa, полученные по определению 3, приближаются к информационному множеству задачи без случайных возмущений при стремлении дисперсий случайных возмущений к нулю в отличие от линейных оценок.
Теорема 2. Пусть в исходной системе (1) (3) матрицы коэффициентов при случайных возмущениях стремятся к нулю, а именно Q1(e) = sQu Q2(s) = sQ2 и £ ^ 0. Если мможество V имеет внутреннюю точку и для заданного наблюдения y информационное множество задачи без случайных возмущений не пусто:
Xdet = Xo П G+(y — V) = 0,
тогда для любой заданной вероятности a G (0,5; 1) существует семейство вложенных доверительных множеств X% уровня не ниже чем а, таких что X^1 D D X^2 D X
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.